2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|−2<x<2}，则A∩B=(

)A.{−2,−1,0,1,2} B.{−2,−1,0,1} C.{−1,0,1,2} D.{−1,0,1}2.复数z=2−4i1+i，则z的虚部为(

)A.3 B.−3 C.−i D.−13.已知等比数列{an}为递增数列，若a3⋅a6A.16 B.6 C.23 4.已知函数f(x)=f(x−π4)+t,x>0sinx,x≤0，满足f(πA.14 B.12 C.1 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos2C2=b(1−cosA)+a，则A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1CA.152 B.154 C.527.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.5 B.455 C.8.某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为110，第二个月为19，第三个月为18，则平均每个人摇上需要的时间为(    )A.7 B.8 C.9 D.10二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n(m≠n)为实数，随机变量X～N(1,σ2)，且P(X≤m)=P(X≥n)，则A.mn<1 B.2m+2n>4 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方体的上底面A1B1C1A.三棱锥Q−PCD的体积是定值

B.存在点P，使得PQ与AA1所成的角为60°

C.直线PQ与平面A1ADD1所成角的正弦值的取值范围为(0,22)

D.若PD1=PQ，则P的轨迹的长度为3A.lnn<1+12+13+⋯+1n−1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，已知AB=1，AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重心，则OG⋅BC=13.已知ω∈R，φ∈[0,2π)，若对任意实数x都有sin(x−π3)=sin14.已知函数f(x)=xa−logb四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an−4n+2．

(1)求证：数列{an+4}16.(本小题15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=1,A=π3，且满足(1)求c+b的值；

(2)设AB=BD,AC17.(本小题15分)

如图所示，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的动点，PC⊥平面ABC，E，F分别为PA，PC的中点．

(1)求证：EF⊥平面PBC；

(2)若PC=2,AB=22，二面角B−PA−C的正弦值为6318.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(−1,−32).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x19.(本小题17分)

已知x∈(π4,π)．

(1)将sinx，cosx，x，−12x2+1按由小到大排列，并证明；

(2)令f(x)=x参考答案1.D

2.B

3.D

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.4313.(1,53π)14.(e15.解：(1)证明：由Sn=2an−4n+2可得，

当n=1时，a1=2a1−4+2，解得a1=2，

当n≥2时，Sn−1=2an−1−4(n−1)+2，即Sn−1=2an−1−4n+6，

则an=Sn−Sn−1=(2an−4n+2)−(2an−1−4n+6)

an=2an−2an−1−4，即an=2an−1+4，

即an+4=2(an−1+4)，即an+4an−1+4=2，

又16.解：(1)由asinC+bsinA=2csinB，结合正弦定理，得ac+ab=2bc．

因为a=1，所以2bc=c+b．

由余弦定理，得cosA=b2+c2−12bc=12，

所以b2+c2−1=bc，所以(b+c)2−2bc−1=bc，

即(c+b)2−1=3bc=32(c+b)，

整理，得2(c+b)2−3(c+b)−2=0，

解得c+b=2(舍负)．

(2)由c+b=2，2bc=c+b，得b=c=1．

又a=1，所以△ABC是边长为1的正三角形．

由AB=BD，知A，B，D三点共线，且AD=2AB=2．

由AC=17.解：(1)证明：由PC⊥平面ABC，知PC⊥AC，

由AB是⊙O的直径，知AC⊥BC，

∵AC∩BC=C，

∴AC⊥平面PBC，

由E，F分别是PA，PC的中点，知EF/​/AC，

∴EF⊥平面PBC．

(2)以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，

设A(a,0,0)，B(0,b,0)，且a2+b2=8(a>0,b>0)，

易知平面PAC的一个法向量m=(0,1,0)，

设平面PAB的一个法向量n=(x,y,z)，则

则 n⊥PA=0n⊥PB=0，即n⋅PA=0,n⋅PB=0,∴ax−2z=0,bx−2z=0.

取z=ab，得x=2b，y=2a，则n=(2b,2a,ab)，

∵二面角B−PA−C的正弦值为18.解：(1)由题意，

ca=12a2=b2+c21a2+94b2=1，解得a=2b=3c=1．

∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(2)在x轴上假设存在点Q，使得QA，QB恰好关于x轴对称，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

再设直线l：x=my+1，Q(t,0)，

联立x=my+1319.(1)解：设g(x)=cosx+12x2−1，则g′(x)=−sinx+x，设ℎ(x)=g′(x)=−sinx+x，则ℎ′(x)=−cosx+1，

因为x∈(π4,π)时，ℎ′(x)>0恒成立．

所以ℎ(x)在(π4,π)上单调递增，即g′(x)在(π4,π)上单调递增；

所以g′(x)>g′(π4)=π−224>0，

所以g(x)在(π4,π)上单调递增，

从而g(x)>