四川省成都市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度上期高2025届半期考试高三数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数的虚部是（）A. B. C. D.2.式子的值为（）A. B.2 C. D.3.由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则等于（）A. B. C. D.4.在的展开式中，含项的系数是（）A. B. C. D.5.已知函数对都有，且其导函数满足当时，则当时，有（）A. B.C. D.6.若向量，，满足，，则的最大值为（）A.10 B.12 C. D.7.若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.在三棱柱中，，，在面的投影为的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于样本相关系数，下列说法正确的是（）A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强D.样本相关系数10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度11.正实数，满足，则下列选项一定成立的是（）A. B. C. D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“，”的否定是__________.13.若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为__________.14.椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为__________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设的内角，，的对边分别为，，，已知，且.（I）求角的大小；（II）若向量与共线，求，的值.16.（本小题满分15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望.17.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点.（I）求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）椭圆左焦点和，构成一个面积为的，且.（I）求椭圆的标准方程；（II）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于①求四边形的面积；②求面积最大值及相应点的坐标.19.（本小题满分17分）已知函数.（其中）（I）当时，证明：（II）若时，，求实数的取值范围；（III）记函数的最小值为，求证：

2024~2025学年度上期高2025届半期考试高三数学试卷参考答案一、单选题DABCDBCC二、多选题9.ABD10.AC11.BCD三、填空题12.，13.14.四、解答题15.【解】（I），，即，，，解得。 ……（6分）（II）与共线，。由正弦定理，得①，，由余弦定理，得②，联立①②， ……（13分）16.【解】（I）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4 ……（5分）（II）设甲获得优秀为事件，乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件，，，， ……（11分）的分布列为0123 ……（15分）17.【解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.（I）依题意，，，从而，所以； ……（4分）（II）依题意，是平面的一个法向量，，.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.，.所以，二面角的正弦值为； ……（10分）（III）依题意，.由（II）知为平面的一个法向量，于是.所以，直线与平面所成角的正弦值为. ……（15分）18.【解】：（I）设，由，得，再由面积，解得椭圆方程 ……（4分）（II）①解：设，解得，，直线；直线；解得，四边形的面积由点在椭圆上， ……（11分）②解：即需求出最大值即可，椭圆三象限的点到的距离 此时，最大值为面积最大值为 ……（17分）注：此问也可用参数方程求解，酌情给分19.【解】（I）当时， 当时，，，单调递增当时，，，单调递减得证 ……（3分）（II）法一：由，，①当时，，，，单调递增，，单调递增，，成立；②当时，当，，∴单调递减，，单调递减，，与条件矛盾，不成立：综上所述： ……（8分）法二：由，即成立，设，设，，单调递增，，单调递增即，单调递增，由洛必达法则， ……（8分）（I