工程数学 课件 第5、6章 多元函数积分、概率论

第5章多元函数积分第1节二重积分第2节二重积分的计算第3节广义重积分

第1节

二

重

积

分

一、

二重积分的概念

1.引例例5.1如图5.1所示，设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D

的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，这里f(x,y)>0且在D

上连续。这种立体叫作曲顶柱体.现在要求该曲顶柱体的体积V。图5.1

由于曲顶柱体的高f(x,y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用求曲边梯形面积的思想方法，即通过

分割：将区域D

任意分成n

个小区域

近似：在每个Δδi

上任取一点(ξi,ηi)(见图5.1)，则

求和：将上式累加，得

取极限：令Δδi

中的最大直径λ

趋于0，得

例5.2如图5.2所示，设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，这里ρ(x,y)>0且在D

上连续。现在要计算该薄片的质量

M。图5.2

2.二重积分的定义

定义5.1设f(x,y)是有界闭区域D

上的有界函数，将闭区域D

任意分成n个小闭区域

其中Δσi

表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσi

上任取一点(ξi,ηi)，作乘积

并作和

二、

二重积分的性质

性质5.1设α、β为常数，则

性质5.2

如果f(x,y)在有界闭区域D

上可积，D

被连续曲线分成D1、D2

两部分，D=D1∪D2

且D1、D2

无公共内点，则f(x,y)在区域D1、D2

上可积，且

这个性质说明二重积分对积分区域具有可加性。

性质5.3如果在D

上，f(x,y)=1，σ为D

的面积，则

性质5.4如果在D

上，f(x,y)≤g(x,y)，则有

特殊地,由于

又有

性质5.5设

M、m

分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D

的面积，则有

性质5.6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域

D

上连续，σ

是D

的面积，则在D

上至少存在一点(ξ,η)，使得

第2节

二重积分的计算

二重积分是用和式的极限定义的，对一般的函数和区域用定义直接计算二重积分是不可行的。计算二重积分的主要方法是将它化为两次定积分的计算，称为累次积分法。

一、

在直角坐标系下求二重积分

先从几何上研究二重积分的计算问题，在讨论中我们假定f(x,y)≥0。若积分区域D

可表示为

则称D为X型区域，它是由直线x=a、x=b

及曲线y=φ1(x)、y=φ2(x)所围成(图5.3)，其中函数φ1(x)、φ2(x)在区间[a,b]上连续.X

型区域的特点是：任何平行于y轴且穿过区域内部的直线与D

的边界的交点不多于两个。图5.3

求以D

为底，曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(图5.4)。先计算截面积。在区间[a,b]上取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面顶柱体所得的截面是一个以区间[φ1(x0),φ2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形(图5.4)所以这个截面的面积为

一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz

面的平面截曲顶柱体的截面的面积为图5.4

于是,应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式

上式右端的积分是先对y、后对x

的二次积分。就是说,先把x

看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分：然后把算得的结果(是x

的函数)再对x

计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x

的二次积分也常记为

因此，等式(5.1)也写成

这就是把二重积分化为先对y、后对x

的二次积分公式。

在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，实际上公式(5.1)的成立并不受此条件的限制。类似地，若积分区域D

可表示为

则称D

为Y

型区域，它是由直线y=c、y=d及曲线x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所围成，其中函数ψ1(x)、ψ2(x)在区间[c,d]上连续。同样Y

型区域的特点是：任何平行于x

轴且穿过区域内部的直线与D

的边界的交点不多于两个。图5.5

例5.5计算二重积分其中D

是由直线y=x，x=1及x轴所围成的闭区域。

解

画出积分区域D

如图5.6所示，图5.6

它既是X

型，又是Y型。若D

看成X

型，则D

可表示为

于是

若将D看成X型,则D可表示为

于是

例5.6

计算二重积分其中D

是由抛物线y=x2

及直线y=x+2所围成的闭区域。

解

画出积分区域D

如图5.7所示，图5.7

若D

看成X

型，则D可表示为

于是

若将D看成Y型,则由于在区间[0,1]及[1,4]上x

的积分下限不同,所以要用直线y=1把区域D分成D1

和D2

两个部分(图5.8),其中

于是图5.8

例5.9求两个圆柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2

所围成的立体体积.

解

由对称性知,所求立体的体积V

是该立体位于第一卦限部分的体积V1的8倍(见图5.11).图5.11

立体在第一卦限部分可以看成一个曲顶柱体，它的底为

它的顶是柱面

于是

二、

在极坐标系下求二重积分

在平面上选定一点O，从点O

出发引一条射线Ox，并在射线上规定一个单位长度，这就得到了极坐标系(如图5.12)，其中点P

称为极点，射线Ox

称为极轴。

平面上每一点

M

都可以用它的极径r

和极角θ来确定其位置，称有序数对(r,θ)为点

M

的极坐标。图5.12

如果我们将直角坐标系中的原点O

和x轴的正半轴选为极坐标系中的极点和极轴，如图5.13所示，则平面上点M

的直角坐标(x,y)与其极坐标(r,θ)有以下的关系图5.13

在二重积分的定义中，若函数f(x,y)可积，则二重积分的存在与区域D

的划分无关。在直角坐标系中，我们是用平行于x

轴和y

轴的两组直线来分割区域D的，此时面积元素dσ=dxdy。所以有

在极坐标系中，点的极坐标是(r,θ)，r=常数，是一簇圆心在极点的同心圆；θ=常数,是一簇从极点出发的射线。我们用上述的同心圆和射线将区域

D

分成多个小区域，如图5.14所示，其中，任一小区域Δσ

是由极角为θ

和θ+Δθ

的两射线与半径为r和r+Δr的两圆弧所围成的区域，则由扇形面积公式得图5.14

在极坐标系下计算二重积分，仍然需要化为二次积分来计算，通常是按先r后θ的顺序进行，下面分三种情况予以介绍。

(1)极点O

在区域D之外，且D

由射线θ=α，θ=β和连续曲线r=r1(θ)，r=r2(θ)所围成，如图5.15所示，这时区域D

可表示为

于是图5.15

(2)极点O

在区域D

的边界上，且D

由射线θ=α，θ=β和连续曲线r=r(θ)所围成，如图5.16所示，这时区域D

可表示为

于是图5.16

(3)极点O

在区域D

内部，且

D的边界曲线为连续封闭曲线r=r(θ)，如图5.17所示，这时区域D

可表示为

于是图5.17

例5.10计算二重积分其中D

是由圆x2+y2=a2(a>0)围成的闭区域.

解

由于区域D

在极坐标系下表示为

所以

例5.11

计算二重积分其中D

是由圆x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所围成的闭区域。

解

积分区域D是由两个圆所围成的圆环，在极坐标系下表示为

于是

例5.12

计算二重积分其中D

是第一象限中同时满足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的点所组成的区域.

所以得图5.18

第3节

广

义

重

积

分

和一元函数类似，二重积分也可以推广到无界区域上的广义二重积分，它在概率统计中是一种广泛应用的积分形式。

定义5.2

设函数f(x,y)在无界区域

D

上有定义，用任意光滑或分段光滑的曲线γ在D中划出有界区域Dγ，如图5.19所示，若二重积分存在，且当曲线γ

连续变动，区域Dγ无限扩展而趋于区域D

时，如果不论γ

的形状如何，也不论γ

扩展的过程怎样，极限

有同一极限值I，则称I

是函数f(x,y)在无界区域D

上的广义二重积分，记为

这时也称函数f(x,y)在D

上的积分收敛。否则，称为发散的。图5.19第6章

概率论第1节

随机事件第2节

概率的定义与性质第3节

条件概率第4节

独立性第5节

随机变量的分布第6节

数学期望与方差第7节

常见随机变量的分布

第1节

随

机

事

件

一、

随机事件

1.随机试验满足下列三个条件的试验称为随机试验：

(1)试验可在相同条件下重复进行；

(2)试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；

(3)每次试验哪个结果出现是未知的。

随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：

E1：掷一骰子，观察出现的点数；

E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；

E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2.随机事件

在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件，常记为A,B,C

等。

例如，在E1

中，A

表示“掷出2点”，B

表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3.必然事件与不可能事件

每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为⌀。

例如,在E1

中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件。

随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4.基本事件

试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件。

例如，在E1

中，“掷出1点”，“掷出2点”,…,

“掷出6点”均为此试验的基本事件；“掷出偶数点”便是复合事件。

5.样本空间

从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间，记为Ω。

例如，在

E1

中，Ω={1,2,3,4,5,6}；在

E2

中，Ω={(H,H)，(H,T)，(T,H)，(T,T)}；在E3

中，Ω={0,1,2,…}

二、

事件间的关系与运算

1.包含关系

若事件A

的发生必导致事件B

发生，则称事件B

包含事件A，记为A⊂B

或B⊃A。

例如，在E1

中，令A

表示“掷出2点”的事件，即A={2},B

表示“掷出偶数”的事件，即B={2,4,6}，则A⊂B。

2.相等关系

若A⊂B

且B⊂A，则称事件A

等于事件B，记为A=B(图6.1)。

例如，从一副54张的扑克牌中任取4张，令A

表示“取得至少有3张红桃”的事件；B表示”取得至多有一张不是红桃”的事件，显然A=B。

图6.1

3.和关系

称事件A

与B

至少有一个发生的事件为A与B

的和事件，简称为和，记为

A∪B

或A+B(图6.2)。

例如，甲、乙两人向目标射击，令A

表示“甲击中目标”的事件，B

表示“乙击中目标”的事件，则A∪B

表示“目标被击中”的事件。

图6.2

4.积关系

称事件A

与事件B

同时发生的事件为A

与B的积事件，简称为积，记为A∩B

或AB(图6.3)。

例如，在E3中，观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到2的位数次呼唤}，B={接到3的倍数次呼唤}，则A∩B={接到6的倍数次呼唤}。

图6.3

5.差关系

称事件A

发生但事件B不发生的事件为A

减B

的差事件，简称为差，记为

A-B(图6.4)

例如，测量晶体管的β参数值，令

A={测得β

值不超过50}，B={测得β

值不超过100}，则A-B=⌀，B-A={测得β值为50<β≤100}。

图6.4

6.互不相容关系

若事件A

与事件B不能同时发生，即AB=⌀，则称A

与B

是互不相容的事件，或称A

与B

为互斥事件(图6.5)。

例如，观察某交通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A

与B便是互不相容的。

图6.5

图6.6

第2节

概率的定义与性质

一、

概率的定义所谓事件A的概率是指事件A

发生可能性程度的数值度量，记为P

(A)。规定P(A)≥0，P(Ω)=1。以下从不同角度给出概率的定义。

1.古典概型中概率的定义

满足下列两个条件的试验模型称为古典概型。

(1)所有基本事件是有限个；

(2)各基本事件发生的可能性相同。

定义6.1

在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为

NΩ

，而事件

A

所含的样本数，即有利于事件

A

发生的基本事件数为NA

，则事件

A的概率便定义为

古典概型中所定义的概率有以下基本性质：

(1)P(A)≥0；(2)P(Ω)=1

例6.1

将n

个球随机地放到n

个瓶子中去，问每个瓶子恰有1个球的概率是多少?

例6.2

将3个不同的球随机地放入4个不同的盒子中,问盒子中球的个数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?

例6.3

将一枚质地均匀的硬币抛三次，求恰有一次正面向上的概率。

解

用

H

表示正面，T

表示反面，则该试验的样本空间

2.概率的统计定义

频率：在n次重复试验中，设事件A

出现了nA

次，则称

为事件A

的频率。

频率具有一定的稳定性，示例如表6.1所示。

频率有以下基本性质:

(1)fn(A)≥0；

(2)fn(Ω)=1；

(3)若A1A2,…Ak，两两互不相容，则

定义6.2

在相同条件下，将试验重复n

次，如果随着重复试验次数n

的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p

附近摆动，则称常数p

为事件A

的概率，即P(A)=p。

3.概率的公理化定义

定义6.3

设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A

定义一个实数P(A)，如果它满足下列三条公理：(1)P(A)≥0(非负性)；

(2)P(Ω)=1，P(⌀)=0(规范性)：

(3)若A1,A2,…,An两两互不相容，则

(称为可加性)；则称P(A)为A

的概率。

例6.7甲、乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35，而同时下雨的概率为0.15，求在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。

解

令A={甲城下雨}，B={乙城下雨},按题意所要求的是

第3节

条

件

概

率

一、

条件概率的概念及计算

例6.8

一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶体管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，问第二次取得的也是好的晶体管的概率为多少?

例6.9某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94，使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87。有一块集成电路已工作了2000小时，问它还能再工作1000小时的概率为多大?

二、

条件概率的三个重要公式

1.乘法公式

定理6.1

如果P(B)>0，那么

同样，如果P(A)>0，则

例6.10

已知某产品的不合格品率为4%，而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件，求取得的为一级品的概率。

解

令A={任取一件产品为一级品}，B={任取一件产品为合格品}，显然

A⊂B，即有AB=A，故P(AB)=P(A)。于是，所求概率为

2.全概率公式

定义6.5

如果一组事件

H1,H2,…,Hn

在每次试验中必发生且仅发生一个，即则称此事件组为该试验的一个完备事件组。

定理6.2设

H1,H2,…,Hn

为一完备事件组，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，则对于任意事件A

有

例6.11

某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如图6.7所示，根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。

图6.7

3.贝叶斯公式

定理6.3

设

H1,H2,…,Hn为一完备事件组，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，又设A为任意事件，且P(A)>0，则有

例6.12某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少?

第4节

独

立

性

一、

事件的独立性如果事件B

的发生不影响事件A

的概率(例如：某人掷一颗骰子两次，第一次骰子出现的点数A

并不会影响第二次骰子出现的点数B)，且P(B)>0时，有P(A|B)=P(A)，则称事件A对事件B

独立；反之，如果事件A

的发生不影响事件B

的概率，且P(A)>0时，有P(B|A)=P(B)，则称事件B

对事件A

独立．当P(A)>0，P(B)>0，上述两个式子是等价的，因此有下面定义：

定义6.6对任意两个事件A

与B，若P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件

A

与B

相互独立．

定理6.4事件A

与B

独立的充要条件是

例6.13

袋中有3个白球2个黑球，现从袋中分别有放回、无放回的各取两次球，每次取一球，令A={第一次取出的是白球}，B={第二次取出的是白球}，问A,B是否独立?

例6.14

统计浙江浦阳江甲乙两地在1964-1966年3年内6月份90天中降雨的天数。甲地降雨46天，乙地降雨45天，两地同时降雨42天．假定两地6月份任一天为雨日的频率稳定，试问：

(1)6月份两地降雨是否相互独立?

(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率为多少?

定义6.7

设A,B,C

为三个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C

是相互独立的。

定义6.8设A1,A2,…,An为n个事件，如果对任意正整数k(k≤n)及上述事件中的任意k

个事件Ai1

，Ai2,…,Aik，有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，则称这n

个事件A1,A2,…,An是相互独立的。

例如：(1)将一骰子掷10次观察出现6点的次数——10重伯努利试验；(2)在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个,观察取得次品的次数——5重伯努利试验；(3)向目标独立地射击n

次，每次击中目标的概率为p,观察击中目标的次数——n

重伯努利试验等等。

在n

重伯努利实验中，假定每次实验事件A

出现的概率为p(0<p<1)，则在n

重伯努利试验中，事件A

恰好出现了k次的概率为

其中q=1-p。

例6.18

某彩票每周开奖一次，每次只有百万分之一中奖的概率。若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年(每年52周)之久，但你从未中过奖的概率是多少?

解

每周买一张彩票,不中奖的概率是1-10-6，十年中共购买520次，且每次开奖都相互独立，所以十年中从未中过奖的概率为

例6.19一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张”A”的概率.

解

设A={任取的13张牌中至少有一张”A”}，并设Ai={任取的13张牌中恰有i张”A”}，i=1,2,3,4,则A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4

两两互斥.

因此

用另一方法来计算这一概率：

从而

例6.20某射手向某目标射击5次，每次击中目标的概率为p，不击中目标的概率为q，且每次是否击中目标是相互独立的，求5次射击当中恰好击中目标3次的概率P5(3)

第5节

随机变量的分布

一、

随机变量定义6.9一个变量

X

的取值取决于随机试验E(现象)的基本结果ω，则该变量X(ω)称为随机变量。随机变量常用大写字母X、Y、Z

等表示，其取值用小写字母x、y、z

等表示。例如：掷一颗骰子得到的点数，分别用1、2、3、4、5、6来表示；测试一个灯泡的使用寿命，结果对应着(0,+∞)中的一个实数；投篮一次”命中”可用1表示，”没有命中”可用0表示；从一批产品中随机抽取一个检验，”次品”用0表示，”合格品”用1表示等等。

定义6.10

设X

是一个随机变量，对于任意实数x，令F(x)=P{X≤x}，称F(x)为随机变量

X

的概率分布函数，简称分布函数。

分布函数的性质：

二、

离散型随机变量的分布

定义6.11

设

X

为离散型随机变量,其可能取值为x1,x2,…,且

称上式为随机变量

X

的概率分布或分布列.

随机变量

X的概率分布可用如下形式的表格来表示:

离散型随机变量的概率分布有如下的性质:

例6.21

设随机变量的

X

的概率分布为

试确定常数a。

三、

连续型随机变量的分布

定义6.12如果对于随机变量X

的分布函数F(x)，存在函数f(x)≥0(-∞<x<+∞)，使得对于任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，函

数f(x)称为

X的概率密度函数(简称密度函数)。

密度函数的性质和意义:

定义6.13

设X是一个随机变量，g(x)为连续实函数，则Y=g(X)称为一维随机变量的函数，显然Y

也是一个随机变量。

离散型随机变量函数分布的求法如下：首先将

X

的取值代入函数关系式，求出随机变量Y

相应的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y

的概

率分布为

如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现相同的函数值，如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k)，则在Y

的概率分布列中,Y

取yi

的概率为

例6.23

设随机变量X

的概率分布为

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。

解

由Y=2X+1和

X

可能的取值，得Y

相应的取值为-3，-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y与X

是一一对应关系可得Y

的概率分布为

Z=X2

可能取的值为0,1,4,9,相应的概率值为

即Z

的概率分布为

第6节

数学期望与方差

一、

数学期望的概念分布函数在概率意义上给随机变量以完整的刻画，但在许多实际问题的研究中，要确定某一随机变量的概率分布往往并不容易。就某些实际问题而言，我们更关心随机变量的某些特征。例如：在研究水稻品种的优劣时，往往关心的是稻穗的平均稻谷粒数；在评价两名射手的射击水平时，通常是通过比较两名射手在多次射击试验中命中环数的平均值来区别水平高低。

例6.25

某商店从工厂进货,该货物有四个等级：一等、二等、三等和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每销出一件一等品获利10.5元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元,问平均销出一件产品获利多少元?

二、

离散型随机变量的数学期望

三、

连续型随机变量的数学期望

例6.28

设

X

的概率分布为

求E[X-E(X)]2。

五、

数学期望和方差的性质

1.数学期望的性质

(1)设c为任意一个常数，则E(c)=c；

(2)设

X

为一随机变量，且E(X)存在，c为常数，则有E(cX)=cE(X)。

由(1)、(2)可得E(aX+b)=aE(X)+b(a,b

为任意常数)。

2.方差的性质

(1)设c为常数，则D(c)=0；

(2)如果

X

为随机变量，c为常数，则D(cX)=c2D(X)；

(3)如果

X

为随机变量，c为常数，则有D(X+c)=D(X)。

由(2)、(3)可得

D(aX+b)=a2D(X)(a,b

为任意常数)。

第7节

常见随机变量的分布

一、

离散型随机变量的分布

1.一点分布(退化分布)一个随机变量

X

以概率1取某一常数a，即P{X=a}=1，则称X服从点a

处的一点分布(退化分布)。数学期望E(X)=a，方差D(X)=0。

2.两点分布(伯努利分布)

若随机变量X只有两个可能的取值0和1,其概率分布为

或

则称

X

服从参数为p(p>0)的两点分布(也称0-1分布)。

数学期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)=pq(q=1-p)。

3.二项分布

设X

表示n

重伯努利试验中事件A

发生的次数，则X