必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美

专题02解三角形【重难点知识点网络】：【正弦定理】

（R为外接圆的半径）.【正弦定理的变形】①②【三角形常用结论】（1）（2）在△ABC中，有.（3)面积公式：①，②.【三角恒等变换公式】（其中是三角形的三个内角）【内角和定理】三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.，题型一：正余弦定理选择例1．（1）中，角所对的边分别为．若，则边【解析】，即，解得或（舍去）．（2）．在中，，，，则的外接圆面积为【解析】因为在中，，，所以，又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为.（3）．（2020·四川省都江堰中学高一期中）在中，已知，则（）.A．2 B． C． D．【详解】由题意知，可得根据正弦定理，可得，所以.故选：A.【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期末（理））在中，若角，，，则角（）A． B． C．或 D．或【详解】由正弦定理可得：，则，因为，所以，故或.故选：D．（2）已知分别为三个内角的对边且，则=____【解析】因为，所以，所以2bccosA=,,.故答案为.（3）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；再由正弦定理可得：，解得，由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：.题型二：边角互换例2．（1）（2020·全国高二课时练习）在中，若，则角的值为（）A． B． C． D．【详解】，，，，，且，，，故选：B（2）（2021·四川成都市·高三月考（文））在中，，，分别为，，的对边，如果，那么的值为（）A． B． C． D．【详解】∵，由正弦定理可得，即：整理得：，对照余弦定理可得故选：A．（3）中，分别是角对边,若,且，则的值为__【解析】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得．【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·树德怀远中学高一期中）在中，内角的对边分别为，若，且，则（）A．1 B． C． D．4【详解】由正弦定理可得由余弦定理可得，解得故选D（2）（2019·四川成都市·双流中学高二期中（文））在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的值为（）A．1 B． C． D．2【详解】，由正弦定理可得，，，，，，，，，化简可得，，，，，为正三角形，则.故选：D（3）（2020·全国高一课时练习）在中，若，则等于（）A． B． C．或 D．或【详解】，由正弦定理得，，，可得，，或.故选：D.题型三：三角形面积例3．（1）（2019·四川成都市·双流中学高三月考（文））在中，的对边分别是，且的面积为，则=()A． B．4 C．2 D．【详解】因为中，，所以的面积为，则又，即即，解得，故选：B（2）（2020·四川宜宾市·高三二模（文））在中，角的平分线交边于，，，，则的面积是（）A． B． C． D．【详解】，在中，由正弦定理得，同理可得，因为中，角的平分线交边于，上述两个等式相除得，，，，，.，.．故选：A．（3）（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在中，、、分别为角、、的对边，它的面积为，则角等于（）A． B． C． D．【详解】因为，且，故可得，即，又因为，故可得.故选：D.【变式训练】．（1）（2021·全国高三专题练习（理））已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（）A． B． C． D．【详解】，解得，由余弦定理：，.故选：A.（2）中，，，，的面积为，则__________．【解析】由题意，在中，，所以的面积为，解得，由余弦定理得，又由，所以.（3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则的面积为【解析】由余弦定理可得，即，解得，则，因此，.题型四：三角形形状判断例4．（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【详解】因为，所以，所以，所以，所以三角形是等腰三角形，故选：B.（2）（2020·四川省泸县第四中学高一期中）在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【详解】因为，所以，所以因为，所以即所以所以，因为，所以因为，所以，即是直角三角形，故选：D（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【详解】因为＝＝，所以由正弦定理可得，所以，又函数在上为递减函数，且，所以，所以△为等边三角形，故选：B【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·双流中学高一开学考试）在中，角、、的对边分别为、、，且，则的形状为（）．A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【详解】因为且，所以，即有，所以可判断为直角三角形，故选：B（2）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高一月考）在中，若，则的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【详解】已知：，利用正弦定理：，解得：，即，所以：或，解得：或，所以：的形状一定是等腰或直角三角形，故选：D．（3）（2020·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知中，，则的形状为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．无法确定.【详解】因为，由两角和差的正弦公式可得，所以，若，即时，此时是直角三角形；若，即，所以，所以是等腰三角形；综上，是等腰三角形或直角三角形；故选：C.题型五：三角形个数例5．（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足，，的恰有一个，那么的取值范围是（）A．B．C． D．或【详解】由题意得，或时，满足的三角形恰有一个，解得或，故选：D（2）（2020·遂宁市·高一期末）已知中，，那么满足条件的（）A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解【详解】由题可知：，，由所以可知有两个解，故选：B（3）．8．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））满足，，的恰有一个，那么的取值范围是（）A． B．C． D．或【详解】如图，由题意得，或时，满足的三角形恰故选：D【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·高一期中（理））在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A．B．C．D．或【详解】C到AB的距离d=bsinA=3，∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C．（2）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在中，已知则此三角形有几个解()A．0 B．1 C．2 D．不确定【解析】因为，所以三角形只有一个解，故选B.（3）（2020·重庆市黔江新华中学校高一期中）已知满足，，的恰有一个，那么的取值范围是_________.【详解】根据正弦定理，，若三角形有一解，即仅有一个解，所以或，即或，解得.因此，的取值范围是.题型六：取值范围例6．（1）（2020·全国高三专题练习）在锐角中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【详解】由题得，因为三角形是锐角三角形，所以.由正弦定理得.所以.选：B.（2）．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（）A． B． C． D．【详解】在锐角三角形中，，即，且，则，即，综上，则，因为，，所以由正弦定理得，得，因为，所以，所以，所以b的取值范围为.故选：C.【变式训练】．（1）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．【解析】因为，，所以..因为，所以.又因为，所以，，..因为，所以.，所以（3）在中，，，则角的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故题型七：射影定理例7.（2020·四川省广元市八二一中学高一期中）在中，角所对应的边分别为．已知，则______．【详解】将，利用正弦定理可得：，即，∵，∴，可得：，则，故答案为．【变式训练】．（2020·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试）在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，，则的外接圆面积为__________．【详解】由正弦定理知：，即，，，即.故.故答案为题型八：解析几何中运用例8．（1）如图,在,已知点在边上,,,,,则的长为【解析】由题意，∴，．（2）的两边长分别为1，，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为【解析】，设，在中，，即，①在中，同理可得，②，①+②得，为等边三角形，，的外接圆直径为.（3）（2020·全国高三专题练习）在中，，的平分线交边于.若.，则___________.【详解】中，由正弦定理可得，，所以，为的平分线即，.故答案为：.【变式训练】．（1）如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．【解析】连接BD，在中，，在中，，所以=，因为，所以，所以，则，所以四边形面积，故答案为.（2）四边形中，，，，，，则的长为______【解析】连接AC,设,则，故在中，，，又在中由余弦定理有,解得,即，故答案为.（3）在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．【解析】，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则.考点八：综合运用例8．（1）在中，，向量在上的投影的数量为，则【解析】∵向量在上的投影的数量为，∴．①∵，∴，∴．②由①②得，∵为的内角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴．（2）（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求．（2）若，，求的面积．【详解】（1），由正弦定理可得：，，，，，，，．（2）由，，由余弦定理得，，即有，，故的面积为．（3）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）已知向量，，函数.（1）求函数单调递增区间；（2）已知的内角的对边分别为，，，且，求角.【详解】（1）由，所以单调递增区间是（2）由（1）知，，，，，，于是，由正弦定理，，，两个解均成立，或【变式训练】．（1）（2020·四川成都市·（理））在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求的大小；（2）若，求的面积．【详解】（1）由得，由正弦定理得，又,∴,∵,∴（2）∵，且．∴，∴，∴，∴（2）（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考（理））已知函数.（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）中，角的对边分别为.若，，求的面积的取值范围.【详解】（1），∴的周期，由，得所以的单调递增区间是，.（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有∴∵，∴，∴（3）（2020·四川成都市·高一期末（理））在中，三角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求的值；（2）若，求的面积．【详解】在中，，，，因为，得①．（1）因为，所以．所以②．如果，则与③矛盾，所以．所以．（2）因为，由，得，则，．将（1）中②代入（1）中③解得：，．于是．将及（1）①代入正弦定理，，得．所以的面积．课后训练1.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二开学考试（理））在中，若，则角B为（）A． B． C． D．【解析】因为,所以.2.（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（理））设的内角，，的对边分别为，，，且，则的大小为（）A． B． C． D．【详解】根据题意,由正弦定理可得：，即，因为,，，，，解得，，.故选：C3.（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在中，，，的面积为，则外接圆面积为（）A． B． C． D．【详解】在中，，则，根据余弦定理：，则，外接圆直径，则，外接圆面积．故选：C4.（2020·四川眉山市·高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】因为，所以，即，即，因为，所以，所以，所以在方向上的投影为：．故选：A．5.（2020·四川成都市·双流中学高三月考（理））的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．6.（2019·四川成都市·树德中学高二开学考试）如果满足条件：，，的恰有两个，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．或【详解】要使满足条件的恰有两个，只需满足，即，所以，故选：C7.（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【详解】因为，由正弦定理得，所以，即，所以，又，所以，即，所以为等腰三角形，故选：A8.（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）在△ABC中，角的对边分别是，若，，则()A． B． C． D．【解析】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B.9.（2020·四川成都市·高一期末）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．【详解】由已知条件可知：，因为，，，所以，又，则，则.故选：D.10.（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1km，参考数据：）A．11.4km B．6.6km C．6.5km D．5.6km【详解】在中，根据正弦定理，,所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5km.故选：C11.（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期末（理））如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（）A． B． C． D．【详解】设，则，在中，由余弦定理可得，，所以，在中，由正弦定理得，，则，所以，在中，由正弦定理得，则，选：D11.（2020·广西南宁市·南宁三中高三其他模拟（理））已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.【详解】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理得，.故答案为．12.（2019·四川省成都市第八中学校高二期中（理））已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的面积为______．【详解】∵在中，，则，∴，故有或．①，则有，又，．在中，由余弦定理可得，代入整理可得，即，此时，．②即，为直角三角形，又，，∴，，此时．故答案为：或．13．（2020·四川成都市·高一期中（理））已知函数，若为锐角三角形且，则的取值范围为_____.【详解】，即，，则，，，，则，即的取值范围为故答案为：14.（2020·成都市·四川电子科大实验中学高一期中）如图，海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在方位角的方向上，则灯塔与处之间的距离为_______海里.【详解】在中,由正弦定理可得,代入可得解得在中,由余弦定理可得代入可得，即所以，故答案为:15.（2020·四川省泸县第一中学高一月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面积.【详解】（1）在中，根据正弦定理，由，可得，所以，因为为内角，所以，所以因为为内角，所以，（2）在中，，，由余弦定理得,解得，所以.16.（2020·四川成都市·高一期末）在中，角的对边分别是，且角是锐角，若的外接圆半径为，.（1）求角；（2）若，求的周长.【详解】（1）由题知：，所以.解得，又角是锐角，所以.（2）因为，所以.又因为，所以，即，.所以的周长为.17.在中，，，分别