2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1平均变化率课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价一平均变更率(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是()A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定【解析】选B.由图象知乙的斜率比甲的斜率小,但乙的斜率肯定值大,即变更快.【误区警示】甲的斜率大,误认为甲的治污效果好;这里应当强调图象越陡,治污效果越明显.2.质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度等于()A.Δt B.-6ΔtC.-3Δt-6 D.3Δt+6【解析】选C.因为Δs=5-3(1+Δt)2-(5-3×12)=-3(Δt)2-6Δt,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-3Δt-6.【补偿训练】函数y=f(x)=lnx+1从e到e2的平均变更率为____________.

【解析】因为Δy=f(e2)-f(e)=(lne2+1)-(lne+1)=1,Δx=e2-e,所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.已知函数y=f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则QUOTE等于 ()A.4 B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2 D.4x【解析】选B.因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2所以QUOTE=QUOTE=4+2Δx.4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变更率等于 ()A.1 B.-1C.QUOTE D.3【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.所以函数y=f(x)在A,B两点间的平均变更率等于-1.【补偿训练】某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间[1,1+d]上的平均速度为____________.

【解析】平均速度为QUOTE=QUOTE=-4-2d.答案:-4-2d5.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变更率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变更率为k2,则k1,k2的大小关系为 ()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不确定【解析】选D.因为k1=QUOTE=2x0+Δx,k2=QUOTE=2x0-Δx,又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定.【误区警示】本题易因对平均变更率的定义式理解不透而导致错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变更率最小的一个区间是____________,平均变更率最大的一个区间是____________.

【解析】由平均变更率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变更率分别为:QUOTE,QUOTE,QUOTE,结合图象可以发觉函数y=f(x)的平均变更率最小的一个区间是[x2,x3],平均变更率最大的一个区间是[x3,x4].答案:[x2,x3][x3,x4]7.已知函数y=QUOTE与函数y=-QUOTEx+2在区间[1,t]上的平均变更率相等,则实数t=____________.

【解析】由QUOTE=-QUOTE=QUOTE,得:t=2.答案:28.已知A,B两车在十字路口相遇后,又沿不同方向接着前进,已知A车向北行驶,速度为30km/h,B车向东行驶,速度为40km/h,那么【解析】设经过th两车间的距离为skm,则s=QUOTE=50t(km),增加的速度为QUOTE=50(km/h).答案:50km/h三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2-2x,分别计算函数f(x)在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变更率.【解析】函数f(x)在[-3,-1]上的平均变更率为QUOTE==-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变更率为QUOTE=QUOTE=4.【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=f(t)=QUOTEgt2,计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2).【解题指南】先求出Δs,再求出QUOTE=QUOTE,即为各段时间内的平均速度.【解析】设Δt=(t+d)-t指时间变更量,Δs=f(t+d)-f(t)指位移变更量.则Δs=f(t+d)-f(t)=QUOTEg(t+d)2-QUOTEgt2=gtd+QUOTEgd2,QUOTE=QUOTE=QUOTE=gt+QUOTEgd,所以t从3秒到3.1秒的平均速度QUOTE=29.89(m/s);t从3秒到3.001秒的平均速度QUOTE=29.4049(m/s);t从3秒到3.0001秒的平均速度QUOTE=29.40049(m/s).10.已知函数f(x)=x2+3x在[0,m]上的平均变更率是函数g(x)=2x+1在[1,4]上的平均变更率的3倍,求实数m的值.【解析】函数g(x)在[1,4]上的平均变更率为QUOTE=QUOTE=2.函数f(x)在[0,m]上的平均变更率为QUOTE=QUOTE=m+3.令m+3=2×3,得m=3.(20分钟·40分)1.(5分)在平均变更率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx与0的大小关系为 ()A.Δx=0B.Δx>0C.Δx<0D.Δx≠0【解析】选D.Δx可以大于零,也可以小于零,但不等于零.2.(5分)(多选)如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变更状况,下列说法错误的是 ()A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选ABD.在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为QUOTE,故A和B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为QUOTE,乙的平均速度为QUOTE.因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以QUOTE>QUOTE,故C正确,D错误.3.(5分)视察函数f(x)的图象(如图),平均变更率QUOTE表示____________.

【解析】直线AB的斜率为QUOTE,表示从x1到x2的函数f(x)的平均变更率.答案:割线AB的斜率4.(5分)将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为QUOTE,则m的值为____________.

【解析】ΔV=QUOTEm3-QUOTE=QUOTE(m3-1),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以m2+m+1=7,所以m=2或m=-3(舍).答案:25.(10分)若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变更率不大于-1,求Δx的范围.【解析】因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变更率为:QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).6.(10分)巍巍泰山为我国五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路途图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较