《耶鲁大学开放课程：基础物理》第5-8课英中字幕

目录

第5课...........................................................................2

第6课.........................................................................42

第7课.........................................................................81

第8课........................................................................125

第5课

1wasgoingtodoabrandnewtopic我们要讨论一个全新的话题

but1didn'twanttogowithoutmakingsure但在此之前我要确认一下

everyoneunderstandstheloop-the-loopproblem.每个同学都已经理解过山车问题了

Becausethat'soneproblemwhere因为这是一个典型的例子

ifyoudidn'tlearnNewton'slawsandapplythem如果你不能正确地理解和运用牛顿定律

properly,

youjustcouldn'tfigureitout,okay?你就无法解决这个问题

Alltheotherthingswedo,我们讨论的一些其它问题

youknow,blocksslidingdownplanes,friction,比如石块从斜面上滑落摩擦力滑轮

pulleys,

youhaveanintuitivefeelingforthat,你们对这些会有直觉的认识

butthisonereallyisverynon-intuitive,right?但对这个问题真不知道如何下手

Hereisatrolleyatthetopofthetrack.假设小车在轨道的顶端

Theforcesonthetrolley,bothgravityandthe小车受的力有重力和轨道给的作用力

forceofthetrack,

arebothpushingdown.而且两个力都是向下的

Andthequestionis,"Whyisn'tthatfalling问题是"为什么小车没有掉下来"

down?"

Everythingispushingdown.所有的力都是向下的

Whyisn'titfallingdown?为什么它不会落下来

That*sthemystery,这是还没有解答的问题

sowhat'stheansweryou'dgivetosomebody你要怎么回答如果别人问你

whosays,

"Whyisn'titfallingdown?"Yes?"为什么它没掉下来"请讲

Yes,sotheymightsay,是的他们可能会说

"Well,ifyousayit'sfallingdown,"如果你说它会掉下来

howcomeitdoesn'tendupheretothecenterof为什么没有落在圆圈的中心"

thecircle?"

Yes,somebodyhaveananswertothat,yes?有人能回答这个问题吗请说

Pardonme?请再说一遍

No,therearenoforces不对在水平方向上

inthehorizontaldirection;theforcesareall-yes?没有受力力全都是你请说

It'snotnegligible.它不是可忽略的

Thereisanaccelerationthat'sproducingachange这里确实有加速度确实在让速度改变

invelocity.

Butwhenwesayanapplehasadownward但我们说苹果有个向下的加速度

acceleration,

youletitgoanditfallsdown;你一放手它就下落了

that'swhatwethinkisdownwardacceleration.我们就认为有个向下的加速度

Hereissomethingwhichisdownward现在这里也有一个向下的加速度

acceleration,

butit'snotfallingdown.Yes?但是物体却没有下落请说

OK.Yes,I'lltakeonemoreanswer;yes?好的我再听一个回答请讲

Alright.So,letmesummarizeallthedifferent好的让我把所有不同的答案总结起来

answers.

Firstofall,首先

onethingyoushouldremember;你要牢记一件事

therearenohorizontalforceshere.这里没有任何水平方向的力

TheforcesarewhatI'vedrawn;所有的作用力我都画出来了

that'swhyyoushouldbevery,verycareful.这就是你们要格外格外注意的

Justbecausesomethinghasatendencyto因为一个物体只有向左的运动趋势

movetotheleftdoesn'tmeanthere'saforceto不代表它受到了向左的力

theleft.

That'sthewholepointofNewton'slaw,这是牛顿定律的核心思想

forceisconnectedtoaccelerationnottovelocity.力只与加速度有关与速度无关

Soyes,thiswillhaveanacceleration,youcannot没错它确实有加速度你不能回避这

avoidit.一点

F=m•aw川tellyouT+m•g=m•a,F=m•a说明T+m>g=m*a

andtheathatyouwantinthisproblem,这个a就是在这个问题里你所需要的

ifit'smovinginacircle,ism•vA2/R.若物体做圆周运动这个a等于m•

vA2/R

So,itisaccelerating,它确实有加速度

andthedifferencebetweenthisoneaccelerating,和这个加速度不同的是

letussay,1gototheloop-the-loopand1dropan比如说我坐在过山车上掉了一个苹果

apple,

forgetthetrackit*sgotm•gacting,不考虑轨道它受到m•g的作用

it'sacceleratingtoo.苹果也在加速

What'sthedifferencebetweenthesetwo?这两种情况有什么区别呢

Here,westartwithzerovelocity;youaccelerate在这里的初速度为零向下加速运动

downwards.

Thatmeansyoupickupadownwardvelocity.也就是说你获得了向下的速度

Asitacceleratesyoukeep随着速度增加你会持续下落

fallingdownandpickingupmoreandmore速度也越来越大

speed.

Thesameacceleration'sexperiencedbythecart这里的车也有同样的加速度

also,

andalittlemorebecauseTisalsopushingdown.而且加速度还大点因为T也是向下的

Buttherethechangeinvelocityoveratiny但这个在短时间内变化的速度

amountoftime

isnotaddedtozerovelocity,并不是加在零速度上

buttothislargevelocityithasatthatinstant.而是加在此时的这个很大的速度上

Andthetinyincrementinvelocityifaddedthis如果速度像这样有了一个小的增量

way

willproduceavelocityinthatdirection,则将产生一个在这个方向上的速度

andwhatthatreallymeansifyouwaitasmall这就表明如果你再等一小会儿

amountoftime,

thisthingisgoingalongthenewvelocity这个物体就会沿着新的速度方向运动

direction.

So,that'sthedifferencebetween-这就是两种情况的不同

Sotheaccelerationisthesameforafallingapple在苹果问题和过山车问题里

asfortheloop-the-loopcart.加速度的情况是相同的

Butintheapple'scase,但在苹果模型里

itisaddedtozeroinitialvelocity加速度是加在为零的初速度上

sotheaccelerationandthevelocityarethesame,因此加速度和速度一样即都是向下的

namelydown.

Ifyouhaveahugevelocity如果初始速度就很大

towhichyouaddatinychangeinvelocity,又加上了一个小的速度改变

thedownwarddirection是向下方向的改变

yourotatethevelocityvector就需要旋转速度矢量的方向了

thatjustmeansthatasitgoesaroundthecircle,这就意味着在它做圆周运动时

thevelocityvectorisconstantlytangenttothe速度矢量一直与圆轨道相切

circle.

There'sanotherwayinwhichpeopleunderstand还有另一种理解方式

this.

IfyouareontheEarthandyouarestanding,say,假如你在地球上站在比如说一栋大

onabuilding楼上

andyoufireagun,然后开了一枪

itgoeslikethatandithitstheground子弹应该是这样打到地上的

becauseofaccelerationduetogravity.因为有重力引起的加速度

Ifyoufireitalittlefasterit'llgothere.若子弹的速度再快一些它就落在这里

There'llbeacertainspeed总会有一个速度

atwhichitkeepsfalling使得子弹一直在下落

butdoesn'tgetanyclosertothecenter.但不会接近圆心

Thatisinfacthowyoulaunchabulletintoorbit.这就是把子弹打进轨道的方法

So,what'sthefirstthingyoushoulddowhenyou那么当你开枪时你首先要做什么

firethisgun?

Moveawaybecauseit'sgoingtocomeback快闪开因为它会飞回来

andgetyoufrombehind.并从后面击中你

Alrightthat'saveryusefullesson.所以这是非常重要的一课

So,youmightthink,"Hey,1shotitinthat你可能想"我是向那个方向发射的

direction,

it'snotmyproblem."不关我事"

Likeeverythingelseit'llcomeback像所有事情一样它会返回来

andgetyouwhenyouleastexpectit.在你意想不到之时击中你

Thisishowyouhave";这就是你得到的结果

So,isthisthingfallingornot?那么物体是不是在下落呢

Itisconstantlyfalling,它确实在不断下落

buttheEarthisfallingunderit,但地球也在它下方下落

soit'sendlesssearchtocometotheEarth.因此这是落回地球的无穷之旅

Whereasifyoudropthebullet,当你向下扔子弹

it'lljustfallandit'llhittheground;它只会下落打在地上

that'swhatwealwaysthinkasdrop.和我们通常所认为的"下落"

Okay,sothisissomething1didinarush,刚才这些内容我上节课讲得很匆忙

and1didn'twantthat我本不想这样的

becausethisisreallythepartofphysicswhichis因为这的确是个不太直观的物理问题

notintuitive,

and1thinkweallknowwhatthemainpointis.我想我们都知道关键问题在哪

Themainpointisvelocityisavector关键在于速度是一个矢量

anditsvaluecanchangeduetochangein可以因方向的变化而变化

direction,

notchangeinmagnitude.不一定需要有模长的变化

Yessir?请讲

Okay,ifyouwaitacertaintime△t,假设你等待了At的忖间

thentheaccelerationisvA2/r,加速度为vA2/r

putthev,putther,getsomenumber,代入v代入r得到某个值

multiplybythe△t,1/10ofasecond.乘以At比如0.1秒

That'llbethechangeinthattime.就得到了这段时间对应的变化量

So,inthattime因此在这段时间里

alsotheguywouldhavemovedoverinthecircle车应该在圆圈内挪动一些

alittlebit,

justpreciselysothatatthatpoint正好使得那一点的

yournewvelocityvectoristangenttoyournew新的速度矢量与你的新位置相切

location.

Sothislittle△v1drewisnotafixednumber;我画的这个小Av并不是某个确定值

itdependsonhowlongyouwanttowait.这取决于你打算等多久时间

Calculussayswaitaninfinitesimalamountof微积分要求经过一个无穷短的时间

time,

inpracticewait1/10ofasecondandit'llbefine.实际中等0.1秒就够了

Todaythereisavery,veryimportantconcept1今天我要引入的概念非常非常重要

wanttointroduce.

It'saveryrobustandpowerfulconcept;这是一个非常有活力非常强大的概念

ithastodowithenergy.是关于能量问题的

Itispowerful说它强大

becauseafterthelawsofquantummechanics是因为在亚原子世界里

werediscoveredinthesubatomicworld,发现量子力学的定律之后

webasicallygaveuponmanycherishednotions.我们原则上放弃了很多原来重视的理论

Youmusthaveheard你肯定听说过

thatparticlescannothaveadefiniteposition在给定的某个时刻粒子不可能

anddefinitevelocityatagiventime.同时具有确定的位置和速度

Theydon'thaveanytrajectories.它们没有确定的运动轨迹

Youseeaparticleherenow,你现在在这里看见一个粒子

thenyouseeitthere.然后你又在那儿看到它

That'struebecausethey'reobservedevents.这是真的因为确实有人观察到过

Whathappensinbetween?在这期间发生了什么

Youmightthinktheyhaveatrajectorybutthey你可能认为有轨迹其实没有

don't.

Theforcesarenotwelldefined我们无法恰当地定义作用力

becauseifyoudon'tknowwheretheguyis,因为如果你不知道物体的位置

youdon'tknowwhatthevelocityis,就没法知道它的速度

youdon'tknowwhattheaccelerationis.你不知道加速度是什么

SomostoftheideasofNewtonianmechanicsare因此大多数牛顿力学的思想都基本上被

basicallysurrendered,摒弃了

butthenotionofenergyturnsouttobevery而能量概念却依然很有生命力

robust

andsurvivesallthequantumrevolution.并在量子革命中存活了下来

Infact,thereisaperiod事实上曾经有段时间

whenpeoplearestudyingnuclearreactions当人们研究核反应时

andtheenergyyoubeganwithdidn'tseemtobe发现初态的能量似乎并不等于末态的能

theenergyyouendedupwith.hl

Sosomethingwasmissing.说明我们漏掉了什么

SoNeilsBohr,FatheroftheAtomsaid,因此尼尔斯•玻尔原子结构学说之父说

过

"MaybetheLawofConservationofEnergyisnot"也许能量守恒定律是错的"

valid."

ThenPaulisaid,但是泡利说

"1think1putmymoneyontheLawof"我赌能量守恒定律是对的

ConservationofEnergy.

1wouldpostulatethat我假设

someothertinyparticlesthatyouguyscannot有某种肉眼看不到的小质点

see,

that'scarryingawayallthemissingenergy."是它们带走了所有损失的能量"

Thatwasaveryradicalthingtodointhosedays这在当时是个非常激进的观点

whenpeopledidnotlightlypostulatenew那时人们不轻易假设新粒子的存在

particles.

Nowadays,ifyoudon'tpostulateaparticle若放在当今你不假设存在新的粒子

youdon'tgetyourPhDinparticlephysics.你就拿不到粒子物理的博士学位

Inthosedaysitwasveryradical,但在那时这是很激进的

andtheparticlewasnotseenformany,many泡利说的这种粒子很多年都没有被发现

years.

Itwascalledaneutrino.人们称它为中微子

Nowadays,neutrinosareoneofthemostexciting当今社会中微子是最热门的研究之一

thingsonecouldstudy.

There'salotofmysteriesintheuniverse有很多宇宙的未解之谜与中微子有关

connectedwithneutrinos.

Okay,soenergyisaconceptyou'regoingtolearn.那么能量是你们今天要学习的概念

Here'sagainaplacewhere1askyou,这里又要我要求你们

don'tmemorizetheformulasandstartplugging不要只是记方程代数据

themin.

Trytofollowthelogicbywhichyouaredrivento试着跟学会这种概念推导的逻辑

thisnotion,

becausethenit'llbelessluggageforyoutocarry因为这样你的记忆负担要小一点

inyourhead.

AndI'lltrytomakethenotionasnaturalas我试着尽量自然地把这个概念传授给你

possible们

ratherthansaying,"Thisismydefinitionof而不是只说"能量是这样定义的

energy,

thisisthedefinitionofkineticenergy."动能是这样定义的"

Let'saskwheredoesallthatcomefrom.让我们探求一下结果是从何而来的

Howmanypeoplehaveseenkineticandpotential有多少人之前就知道动能和势能

energiesinyourpast?

Okay,ifyouhaven'tseenitthat'sfine,若你之前不知道没关系

thisisnotsomethingyou'resupposedtoknow.不要求你一定要知道这个

Ifyouknowitandyoulearneditproperlyit'llbe若你知道并正确地理解它会很有帮助

helpful,

butyoudon'thavetoknowthat.不过你不必非得知道

Youjusthavetoknowwhatwehavedonesofar.你只需要知道现在为止我们做了什么

Solet*sgobackandaskasimplequestion.那么我们来回顾一下问个简单的问题

Whenaforceactsonabody,当一个外力作用在物体上时

whatisitsmaineffect?对它主要有什么影响

Whatdoesitdo?可以让物体做什么

Yes?请讲

Bemoreprecisebyitwhenyousay"changesits更精确点阐述"改变它的运动状态"

motion."

Whatdoesitmeantochangeitsmotion?改变运动状态意味着什么

Yes?请讲

Right,that'sfromNewton'sLaw;对了这是依据牛顿定律

thatmeansitchangesthevelocity.说明这个力改变了物体的速度

Solet'sforamoment,让我们小结一下

infactfortheentirelecturetoday,事实上今天的全部课程内容

gobacktoonedimension.都回到了i维空间

Then,wewilldothewholebusinessinhigher之后我们将在多维里进行整体的探讨

dimensions.

Inonedimensionchangingthevelocitysimply在一维空间里改变速度意味着提速

meansspeedingup.

Sobodiesaregoingtospeedupandforcesacton因此外力作用于物体物体会加速

them.

Thatweknow.这是我们清楚的

We'regoingtofindtherelation我们现在要弄清楚

betweenhowmuchspeedisaccumulated当物体受到力的作用时

whenaforceactsonabody;速度是如何增加的

We'regoingtoderivethat.我们要把它推导出来

So,letustakeanexample举一个例子

wheretheforceisinthexdirectionanditissome假设一个在X轴方向的恒定外力

constant.

"Constant"meaningit'snotvaryingwithtime;"恒定"的意思是不随时间变化

somebodyjusthastojustapply10newtons有人用10牛的恒力推物体

constantlytoabody.

Whatdoesthatdo?这会怎么样

ThatproducesanaccelerationwhichisF/m,这会产生一个加速度即F/m

right?That'sNewton'sLaw.对吧这是牛顿定律

That*saconstantacceleration.这是个恒定的加速度

So,let'sgobacktoLectureNo.l.我们回顾一下第一课的内容

LectureNo.lwelearned在第一课里我们知道

thatifabodyhasconstantacceleration,如果一个物体有着恒定的加速度

thenthevelocityattheendisthevelocity那么末速度等于初速度的平方

squaredatthebeginning

plus2timesatimesthedistancetraveled.加上2乘以a乘以运动路程

That*swhatwelearnedlongback,那是我们很久以前就学过的

thisisjustkinematics.这是从运动学角度讲的

Inthosedayswedidn'task,在那时我们从来不问

"Whyisithavingaconstantacceleration?""为什么一定是一个恒定的加速度"

Youwerejusttold,"It^aconstantacceleration,你只知道"加速度恒定继续讲"

justgoahead."

Nowthatwelearneddynamics,现在我们学了动力学

weknowaccelerationhasacause,我们知道加速度的产生是有原因的

namelyacertainforce.就是一个恒定的外力

So,I'mgoingtowritehere我要写在这里

asyoucanimagineF/mintheplaceofa,你可以想到F/m就是a

butI'mgoingtomakeonemorecosmeticchange但我现在要对这个符号进行一下改动

innotation.

Inalltheseenergyformulas,在所有能量方程中

ratherthancallingtheinitialvelocityorinitial初速度或任何初始量的下标为0

anything

withsubscriptzeroandthefinalisnosubscript,而末态量没有下标

wearegoingtouseanotationwhere我们要用符号标注一下

thefinalquantitiesaredenotedwithasubscript令末态量的下标为2

2,

initialquantitiesaredenotedbyasubscript1.初始量的下标为1

Inotherwords,initially,thebodyhadavelocityof换种说法开始物体的速度为

vl,v{\fsl0}l{\fsl8}

andthenithadanaccelerationaforadistanced,然后在d距离里有一个加速度a

thentherelationbetweenfinalinitialvelocitiesis那么初速度和末速度的关系是这样的

this.

Solet'sputthatF/mhereandlet'sputad.代入F/m再乘以d

Sinceweareinterestedintheeffectoftheforce,因为我们对外力所产生的影响有兴趣

wewanttoseewhattheforcedidtothevelocity.于是我们想看看外力对速度有什么影响

Whatyoufindhere在这里你发现

isthatifyouwanttofindthechangeinthe如果你想知道速度的改变量

velocity,

ofcourseyoushouldtakethisguytotheleft-hand当然你得把这•项弄到左边来是吧

side,right?

Takeittotheothersideandyouwanttoisolate把它移到另一边你需要求出力F

theforce,

sobringm/2totheleft-handside.将m/2乘到左边

So,dothatinyourheadandwhatdoyouget?那么心算一下你会得到什么结果

(m/2)・v2A2-(m/2)・vlA2=F,d.(m/2)•v{\fslO}2{\fsl8)A2-(m/2)•

v{\fslO}l{\fsl8}A2=F•d

Thisisaveryimportantconcept.这是非常重要的概念

Itsays,whentheforceactsonabody这表明当力作用于物体上

itchangesthevelocity,它会改变物体的运动速度

anditdependsonhowfartheforcehasbeen这还取决于在力的作用下运动了多少距

acting,离

howmanymetersyou'vebeenpushingthe你推着物体走了多少米

object.

It*sclearthatifyoudidn'tpushitatall,当你一点都不推时情况很清楚

theneventheforcesacting,即使仍有外力作用

velocityhasn'thadtimetochange.速度也来不及发生变化

So,itseemstodependonhowfartheforceacted,看起来它取决于外力作用了多远

andthechangeisnotsimplyinvelocitybutin改变的不是速度本身而是速度平方

velocitysquared.

That*swhatcomesout;这就是结果

thenyourealizethatit'sthemostnaturalthingin你发现给这一项命名是世界上

theworld

togivethiscombinationanamebecausethat's最自然的事因为这就是我们得到的结

whatcomesoutofthis.果

Thatcombinationiscalledkineticenergy,这一部分就叫做动能

andI'mgoingtocallitK2,我称它为K{\fsl0}2{\fsl8}

meaningKattheendminusKatthebeginningis就是末态的K减去初始的K等于F•

Ftimesd.d

SoFtimesdisdenotedbythesymbolW,用W来表示F•d

andthat'scalledtheworkdonebyF.这个W表示F做的功

That'showweintroduceanotion这样我们就介绍了一种表述

ofaforcetimesdistanceasthedefinitionofwork.功的定义就是力乘以距离

Thisishowpeople-youcansay,这就是人们怎样也许你会问

"Whydidanyonethinkoftakingthecombination"为什么会有人想到让F乘以d呢"

Ftimesd?H

Well,thisishowithappens.他就是这么想到的

So,youneedtohaveaunitforthis,你需要给这个一个单位

whichisactuallynewtonmeters,这实际上是牛顿米

butwearetiredofcallingeverythinganewton但每次都讲牛顿米很烦

meter;

sowe'regoingtocallitajoule.所以我们叫它焦耳

SojouleorJ,isjustashorthandfornewton所以焦耳或者J是牛顿米的简写

meters.

Alright,soletusnowwritedownthisfollowing现在让我们把接下来的表达式写下来

expressionhere.

△K,△inanythingwedoisthechangeinanyAK任何符号中的A都是指数量的变

quantity,化

it'scalleddeltaofthatquantity,它叫这个量的变化量

AKisachangeinK△K是K的变化量

isequaltotheFtimesthedistancetraveled.它等于F乘以走过的距离

Letthedistancetraveledbesometinyamount△我们让这个距离等于一个微小量Ax

X.

Thisformulaisvalidevenifdis1km,这条公式即使在d等于一千米时都适用

aslongasforceisconstant.只要力为恒定就行

ButI'msaying,let'sfocusonaproblem,但我是说让我们专注于一个问题

whethertheforceisconstantornot,即物体在很短的时间里走过Ax的距离

overatinyintervalinwhichthebodymovesthe不管力是否恒等

distanceAx.

Then,wefindthatthechangeinkineticenergyis然后我们发现动能变化量等于力乘以△

forcetimes△x.X

Now,whatifthereare36forcesactingonthe如果有三十六个力作用于物体上怎么办

body?

Whichoneshould1use?我应该用哪一个

I'mpullingandyou'repushingand—我在拉你在推还有

It'sgottobethenetforce我们要用合力

becauseNewton'sLawconnectsthenetforceto因为牛顿定律是把合力和加速度联系起

theacceleration.来

Ifyouand1haveatugofwar如果我们拔河

andwecanceleachotherouttozero我们相互抵消使合力为零

thenthere'snoacceleration.那就没有加速度

So,you'vegottogobacktothedefinition;所以你要回到定义上来

thisisvery,veryimportant.这非常非常重要

ThisFbetterbethetotalforce.这个F最好是合力

1shouldreallyuseasubscriptTfortotal,这里我应该标个下标T表示全部

but1don'twanttodothatandwewriteF=但我不想这样做我们写F=m•a时

m•a;

itisunderstoodFiseverything.就应该明白F是指合力

We'llcomebacklatertothenotionofwhat我们晚点会讲

happens

ifFismadeupoftwoparts.F由两部分组成时怎么办

So,maybeI'lljustgiveyouasimpleexample.举个简单的例子

Here'sabody,right,这有个物体

andI'mpushingitthiswayandyou'repushingit我从这个方向推你从那个方向推

thatway,

let'ssaywithequalforce.两个力相等

Andthebodycouldbeatrest这个物体可能静止

orifthebodyhadinitialvelocity或者如果这个物体有初速度

it'llmaintaintheinitialvelocity它会保持以这个速度运动

becausevelocityisforfree.因为保持速度是不需要外力的

Then,youcanask,"Whatdoesthistheoremsay?"你会问"这个定理说明了什么"

ThisiscalledaWorkEnergyTheorem.这叫功能原理

TheWorkEnergyTheoremsays,功能原理讲的是

"Thechangeinenergyis"能量的变化量

isequaltotheworkdonebyalltheforces."等于所有力做功的总和"

Inthiscase,thereisnochangeinenergy,在这个问题里能量没有改变

buttherearetwoforcesatworkthatcancel.而是做功的两个力相互抵消

Then,itturnsout我们发现原来

thatitissensibletodefinetheworkdonebyme,分别定义你我所做的功会很有用

whichisequaltoFtimesthedistancetraveled,我做的功等于F乘以移动的距离

andtheworkdonebyyouwillbeinfactgivena而你做的功则用负号表示

minussign.

So,whendoweattachaplussign那么我们什么情况下加正号

andwhendoweattachaminussign?什么情况下加负号呢

Ifyougobacktothewholederivation,如果你看回整个推导

itwasunderstoodthatawasapositivequantity.大家知道a是正数

Theneverythingworks.然后一切正常运作

Butifthebodyismovingtotheright,但如果物体向右运动

andI'mpushingtotheright,我向右推

thentheworkdonebymeispositive.那么我做的功就是正功

Andifyouwerepushingtotheleft而如果你向左推

andthebodystillmovedtotheright,但物体依然向右运动

theworkdonebyyouisnegative.你做的就是负功

Inotherwords,换句话说

ifyougetyourway,namely,如果你能随便推也就是

thingsmovethewayyou'repushing,你向哪边推物体就向哪边运动

theworkdonebyyouispositive.你做的功就是正功

Ifpeoplearepushingyoucountertoyourwill,如果有人跟你对着干

intheoppositedirectiontoyourforce,向你的反方向推

workdonebyyouisnegative.做的功就是负功

See,hereisasimpleexample.我们看一个简单的例子

1haveapieceofchalk我有一支粉笔

andI'mliftingitatconstantvelocityfromthe我把它从地面匀速抬起

ground.

Itskineticenergyisnotchanging.它的动能不变

Thatmeansthetotalworkdoneonitiszero,说明总功为零

butit'snotbecausetherearenoforcesonit.但那并不是因为没有作用力存在

Thereisgravityactingdown有方向向下的重力

andthereismecounteringgravitywithexactly还有我施加的与重力等大反向的力

therightamount.

I'mapplyingtheforcem,g.我施的力等于m-g

So,workdonebymewouldbepositive所以我做的功是正功

because1wantittogoup,因为我想它向上移动

anditgoesup.而它也确实在向上运动

So,ifitgoesupbyanamounth所以如果它向上移动了距离h

workdonebymeism•g•h.我做的功就是m•g•h

Workdonebygravityinthemeantimeisminus同时重力所做的功等于负的m•g•h

m•g•h,

sothetotalworkdoneiszero.于是总功为零

So,thisformulasaysthisisthetotalforce,所以在这条公式里这是合力

butI'mtellingyouifyoutaketheworkdoneand但如果你把所做的功定义为AW

callitAW

itmaybearesultofmanyworks,它可能是许多力共同做功的结果

workdonebyme,workdoneyou,workdoneby我做的功你做的功和别人做的功

somebodyelse,

somearepositive,somearenegative,有些是正功有些是负功

youaddthemallup.你把它们都加起来

So,thatisthenotionofwork所以这表示

donebyoneofmanyforcesactingonabody.作用在物体上的其中一个力所做的功

Andthetotalworkdone而总功就是

isthealgebraicsumoftheworkdonebyallthe所有力所做的功的代数和

forces.

Alright,sowe'vegotthisresult,好了得到这个结果后

let'sdothefollowing.我们继续下面的推导

Letusimagineallofthisoccursinatime△t.假设这些都发生在时间At里

Then△K/At,那么AK/At

whichwilleventuallybecomedK/dt会最终变成dK/dt

ifyoutakealltheproperlimits取适当的极限

becomesFtimesdx/dt,会得到F•(dx/dt)

whichisforcetimesvelocityandthat'scalled也就是力乘以速度我们称之为功率

power.

So,poweristherateatwhichworkisdone.所以功率就是做功的快慢

Forexample,例如

if1climba12-storybuildingI'vedonesomework;如果我爬十二层高的楼我做的功

mymtimesgtimestheheightofthebuilding.等于我的m-g乘以楼高

1canclimbthebuildinginoneminute,我可能一分种内爬上楼

1canclimbthebuildinginonehour;也可能要一小时

theworkdoneisthesame,做的功是一样的

butthepowerisameasureofhowrapidlyworkis但功率是用来表达做功的快慢

done.

That'swhyit'stheproductofforceandvelocity.这就是为什么它是力和速度的乘积

So,theunitsforpowerarejoulespersecond;因此功率的单位是焦耳每秒

now,thatalsohasanewname,它也有一个新名字

whichiswattorjustW.就是瓦特或者W

Youmayuseakilowatt,你也会用到千瓦

whichiskW,也就是kW

littlekthenWisthousandwatts.k接上W就是一千瓦特

So,ifyou'vegota60-wattbulb,所以如果你有一个六十瓦的灯泡

it'sconsumingenergyattherateof60joulesper表示它每秒消耗六十焦耳的能量

second.

That'sthemeaningofa60-wattbulb.这就是六十瓦灯泡的意思

Okay,nowI'mgoingtodothenextgeneralization,我接下来要把这些内容再推广一下

whichiswhentheforceisnotaconstantbut就是当力随着X改变而不是恒定值的情

varieswithx.