五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编专题09 计数原理与概率统计（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题09计数原理与概率统计考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1二项式定理（5年5考）2024天津卷：求指定项的系数；2023天津卷：求指定项的系数；2022天津卷：求指定项的系数；2021天津卷：求指定项的系数；2020天津卷：求指定项的系数；1.二项式定理在高考的考查主要包含了，求指定项的系数，常数项等。2.条件概率与乘法公式在高考的考查主要包含了，组合数的计算，全概率公式，条件概率与乘法公式等。3.线性相关在高考的考查主要包含了，散点图判断是否线性相关，正、负相关，相关系数的意义4.古典概型中的概率问题在高考的考查主要包含了，古典概型问题的概率，独立事件的乘法公式。5.频率分布直方图在高考的考查主要包含了，频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量等。考点2条件概率与乘法公式（5年4考）2024天津卷：实际问题中的组合计数问题!计算古典概型问题的概率计算条件概率；2022天津卷：计算条件概率乘法公式；2021天津卷：独立重复试验的概率问题；2020天津卷：利用对立事件的概率公式求概率独立事件的乘法公式；考点3线性相关（5年2考）2024天津卷：根据散点图判断是否线性相关；2023天津卷：判断正、负相关相关系数的意义及辨析；考点4古典概型中的概率问题（5年1考）2023天津卷：计算古典概型问题的概率独立事件的乘法公式；考点5频率分布直方图（5年3考）2022天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；2021天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；2020天津卷：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；考点01二项式定理1．（2024·天津·高考真题）在3x3+x3【答案】20〖祥解〗根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详析】因为3x3+令6r-3所以常数项为30故答案为：20.2．（2023·天津·高考真题）在2x3-1x6【答案】60〖祥解〗由二项式展开式的通项公式写出其通项公式Tk+1=-1k×2【详析】展开式的通项公式Tk令18-4k=2可得，则x2项的系数为-故答案为：60.3．（2022·天津·高考真题）在x+3x【答案】15〖祥解〗由题意结合二项式定理可得x+3x25的展开式的通项为【详析】由题意x+3x令5-5r2=0即r所以x+3x故答案为：15.【『点石成金』】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4．（2021·天津·高考真题）在2x3+1x6的展开式中，【答案】160〖祥解〗求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.【详析】2x3+令18-4r=6，解得所以x6的系数是2故答案为：160.5．（2020·天津·高考真题）在x+2x25的展开式中，x【答案】10〖祥解〗写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为2，即可求出．【详析】因为(x+2x2)5所以x2的系数为C故答案为：10．【『点石成金』】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．考点02条件概率与乘法公式6．（2024·天津·高考真题）A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为【答案】35〖祥解〗结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率.【详析】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD,ABE其中甲选到A有6种可能性：ABC,则甲选到A得概率为：P=乙选A活动有6种可能性：ABC,其中再选则B有3种可能性：ABC,故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为36解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为PM=乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P故答案为：35；7．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为【答案】1221〖祥解〗由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则P(故答案为：1221；8．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为【答案】23〖祥解〗根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为56则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C3故答案为：23；209．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为【答案】16〖祥解〗根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为12且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1-1所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23故答案为：16；2【『点石成金』】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.考点03线性相关10．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗由点的分布特征可直接判断【详析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r值相比于其他3图更接近1.故选：A11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为r=0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B．花瓣长度和花萼长度负相关C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642【答案】C〖祥解〗根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.【详析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，把x=7代入y=0.7501x+0.6105可得由于r=0.8642是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8642，D故选：C考点04古典概型中的概率问题12．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为【答案】0.0535/〖祥解〗先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n所以甲盒中黑球个数为40%×5n乙盒中黑球个数为25%×4n丙盒中黑球个数为50%×6n记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，PA记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有2n+n所以，PB故答案为：0.05；35考点05频率分布直方图13．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：∘C），共100个数据，分成6[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有（

A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【答案】B〖祥解〗由频率分布直方图可得所求区间的频率，进而可以求得结果.【详析】全球年平均气温在区间[14.55,14.75]内的频率为0.50+0.65×0.2=0.23则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有100×0.23=23年.故选：B.14．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、⋯、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（

）A．20 B．40 C．64 D．80【答案】D〖祥解〗利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量.【详析】由频率分布直方图可知，评分在区间82,86内的影视作品数量为400×0.05×4=80.故选：D.15．（2020·天津·高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（

）A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B〖祥解〗根据直方图确定直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25+5.00)×0.02=0.225，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80×0.225=18.故选：B.【『点石成金』】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.16．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（

）A．85 B．86 C．86.5 D．87【答案】B〖祥解〗由频率分布直方图性质求a，根据百分位数定义，结合数据求解即可.【详析】由10×(2a+3a+3a+6a+5a+设这组数据的第85百分位数为x，则0.7+(x-80)×0.025=0.85故选：B17．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】B〖祥解〗根据题意，首先选取1种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案．【详析】根据题意，分2步进行分析：首先选取1种相同课外读物的选法有C5再选取另外两种课外读物需不同，则共有C4所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5×12=60种．故选：B．18．（2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（

）分A．84 B．85 C．86 D．87【答案】C〖祥解〗根据百分位数定义，结合数据求解即可.【详析】由10×(2a+3a所以前4组频率之和为14×0.005×10=0.7，前5组频率之和为19×0.005×10=0.95，设这组数据的第85百分位数为x，则0.7+(x-80)×0.025=0.85故选：C19．（2024·天津武清·模拟预测）某校高三共有200人参加体育测试，将体测得分情况进行了统计，把得分数据按照40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成6组，绘制了如图所示的频率分布直方图A．25 B．50 C．75 D．100【答案】B〖祥解〗根据频率分布直方图求获得A的频率，进而可得相应的人数.【详析】由题意可知：估计获得A的频率为0.025×90-82所以获得A的考生人数约为0.25×200=50.故选：B.20．（2024·天津·二模）为深入贯彻落实对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：40,50,50,60,60,70,

A．89.09 B．86.52 C．84.55 D．81.32【答案】C〖祥解〗利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解．【详析】由题意得0.004+a解得a=0.006因为前4组数据的频率之和为0.04＋前5组数据的频率之和为0.04＋则70%分位数在80,90内，设70%分位数为则0.6+(x-80)×0.022所以70%分位数约为84.55故选：C．21．（2024·天津·二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按60,70，70,80，80,90，90,100分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（

）A．a的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人【答案】C〖祥解〗利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.【详析】易知10a+0.020×10+0.050×10+0.025×10=1，解得a=0.005由频率分布直方图可知众数落在80,90区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+0.020×10=0.25，前三组频率之和为0.005×10+0.020×10+0.050×10=0.75，故第60百分位数落在区间80,90，设第60百分位数为x，则0.25+x-80×0.050=0.60，解得成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×10=0.25，所以估计总体有1000×0.25=250，故D错误.故选：C.22．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为12，甲、丙两人都回答正确的概率是13，乙、丙两人都回答正确的概率是16．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为12，16，【答案】78/0.875〖祥解〗根据题意，设甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，先由相互独立事件的概率公式求出PB、P【详析】根据题意，设甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，则PA=12，所以PC=2若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率P1若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为12，16，则这个问题回答正确的概率P2故答案为：78；3723．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.【答案】13〖祥解〗利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率.【详析】记事件A表示“至少抽到一个红球”，事件B表示“2个球都是红球”，P(A)=所以PB设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件C表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则P(所以P(所以PC故答案为：①13，②224．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为14，乙每次投篮的命中率均为13.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为12.第2次投篮的人是甲的概率为；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为【答案】1124〖祥解〗设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求PA2；结合条件概率求【详析】设“第i∈N*次是甲投篮”为事件Ai，“投篮命中由题意可知：PA1=则PB所以第2次投篮的人是甲的概率为P=1且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为PA故答案为：1124；925．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为；3次结果中最多一次正面向上的概率为.【答案】34/0.7512〖祥解〗借助概率的乘法公式计算即可得.【详析】设X为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数，事件A为3次结果中有正面向上，也有反面向上，事件B为3次结果中最多一次正面向上，则PAPB故答案为：34；126．（2024·天津南开·二模）在x-32x25【答案】452/〖祥解〗借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详析】对x-32则有T3即，x-1的系数为故答案为：45227．（2024·天津北辰·三模）若2x3+1xn展开式的二项式系数和为128【答案】280〖祥解〗根据二项式系数和可得n=7，再结合二项展开式的通项分析求解即可【详析】由题意可知：二项式系数和为2n=128，解得则2x3+令21-72r所以展开式中x7的系数为2故答案为：280.28．（2023·天津和平·三模）在(x4+2)(【答案】-〖祥解〗求出(x-【详析】二项式(x-1由6-2r=0或6-2r=-4，得所以展开式的常数项为2×(-1)故答案为：-29．（2023·天津和平·三模）拋掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件A为“白色骰子的点数为4或5”，事件B为“两颗骰子点数之和大于8”，则PBA=；PA【答案】51212〖祥解〗分别求出事件A，事件B和事件AB同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可.【详析】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为36，事件A的基本事件数为6，易知P(用(x,y)中的x,y表示抛掷白、黑两颗骰子的点数，则事件所以P(B)=所以PBA=故答案为：512，130．（2024·天津·模拟预测）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为；设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则PAB=【答案】45/0.825〖祥解〗根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出第二空.【详析】男生甲和女生乙都没有选中的概率为C4所以男生甲或女生乙被选中的概率为1-1PB所以PA故答案为：45；231．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束.在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为13，每局比赛的结果相互独立.现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为【答案】427〖祥解〗直接用古典概型方