江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 含解析

2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷高二数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（）A.－4 B.－2 C. D.22.若直线与平行，则（）A. B. C. D.23.已知数列满足，且，则（）A. B.0 C.1 D.24.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（）A. B.30 C.80 D.不存在5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.36.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（）A. B.C. D.7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（）A.5 B. C. D.108.已知是圆一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（）A. B.C D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.斜率之积为的两直线相互垂直C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线10.下列四个命题中，正确的是（）A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线C.要唯一确定以坐标原点为中心椭圆，只需给出椭圆上两点D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（）A. B.C. D.，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：_______________.13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.（1）若直线的斜率为1，求；（2）求证：.16.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.17.已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.18.已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.（1）求的方程；（2）若直线的斜率为，求直线的斜率；（3）若四边形的面积为，求直线的方程.19.记等差数列的前项和为，公差为.（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；（2）等差数列公差为，且.①求的通项公式；②记数列前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷高二数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（）A.－4 B.－2 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由两点间斜率公式得到方程，求出答案.【详解】，故，解得.故选：D2.若直线与平行，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可.【详解】由题意可得：，解得，若，则直线、，两直线平行，综上所述：.故选：A.3.已知数列满足，且，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据递推公式直接代入运算求解.【详解】因，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；故选：C.4.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（）A. B.30 C.80 D.不存在【答案】B【解析】【分析】根据题意分析的符号性，进而可得前项和的最值.【详解】由题意可知：，且数列an为递减数列，当时，；当时，；当时，；所以数列an的前项和的最大项数为5或6，最大值为.故选：B.5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（）A B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线准线可得，根据离心率可得顶点和渐近线，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线的准线为，则为双曲线的焦点，即，又因为离心率为，可得，且，解得，取渐近线为，即，取顶点为，所以的顶点到渐近线的距离为.故选：A.6.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B.【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误；对于B：令，可得，解得或，不合题意；故选：A.7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（）A.5 B. C. D.10【答案】D【解析】【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到.【详解】由题意得，故，故，因为的面积为20，所以面积为10，设，则，解得，将代入中得，故，则.故选：D8.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知点的轨迹是以O0,0为圆心，半径的圆C，且以为直径的圆与圆C相交，以外切为临界求解即可.【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，因为，则，可知点的轨迹是以O0,0为圆心，半径的圆C，设的中点为，因为为钝角，可知以为直径的圆与圆C相交，且O0,0到直线的距离，可知，以外切为临界，可得，可得，若使得存在两点，满足题意，则，所以AB的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.斜率之积为的两直线相互垂直C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线【答案】BD【解析】【分析】对于A：根据倾斜角定义分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线的一般方程分析判断.【详解】对于A：直线的倾斜角的取值范围是，故A错误；对于B：斜率之积为的两直线相互垂直，故B正确；对于C：例如直线，此时在两坐标轴上截距均0，相等，但斜率不为，故C错误；对于D：直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线，故D正确；故选：BD.10.下列四个命题中，正确的是（）A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据三角形外接圆分析判断；对于B：根据抛物线的定义分析判断；对于C：根据椭圆形状分析判断；对于D：根据双曲线的性质分析判断.【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确；对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确；对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误；对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点，可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确；故选：ABD.11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（）A. B.C. D.，【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用得到，为常数列，A正确；B选项，推出，，不妨设，举出反例；CD选项，均可得到，为充分条件.【详解】A选项，当时，，当时，，故an的通项公式为，为常数列，故A正确；B选项，，，不妨设，则此时an不为常数列，B错误；C选项，，，两者相减得，故，即，故an为常数列，故C正确；D选项，时，，即，又，故在上恒成立，an为常数列，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：_______________.【答案】（答案不唯一，符合题意即可）【解析】【分析】所求圆的圆心为，则，结合两圆位置关系列式求解即可.【详解】因为圆的圆心为，半径，设所求圆的圆心为，则，且或，若，，解得，可得圆心为，所求圆的方程为；若，，无解，不合题意；若，，解得或，可得圆心为或，所求圆的方程为或；若，，解得，可得圆心为，所求圆的方程为；故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.【答案】7【解析】【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.【详解】由题意可知：（公和），则，可得，可知数列是以2为周期的周期数列，可得，，所以公和.故答案为：7.14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.【答案】①.##0.5②.5【解析】【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为F1,0，准线为，设，圆，即为，则；因为，则，当且仅当三点共线时，等号成立，设点到准线的距离为，则，当且仅当为坐标原点时，等号成立，综上所述：，当且仅当为坐标原点，为0,3时，等号成立，所以的最小值为5.故答案为：；5.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.（1）若直线的斜率为1，求；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到；（2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系.【小问1详解】直线的方程为，联立得，设Ax1,则；【小问2详解】当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线的方程为，与联立得，设Ax1,则，故，故.16.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.【答案】（1）（2）,证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式.（2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列.【小问1详解】已知，根据等差数列通项公式可得.又因为，根据等差数列前项和公式，可得，即.联立方程组，可得，即.将代入，可得.所以数列的通项公式为.【小问2详解】由，，可得.所以.因为，，成等差数列，则....故：.解得.当时，.，为常数.故bn为等差数列.17.已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程；（2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可知：的圆心为，半径为4，且，则，可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，所以的方程为.【小问2详解】因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设直线，，则，联立方程，消去x可得，则，又因为，若，则，即，可得，解得，所以的方程为，即.18.已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.（1）求的方程；（2）若直线斜率为，求直线的斜率；（3）若四边形的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根据题意结合等轴双曲线的定义列式求，即可得方程；（2）设直线，Ax1,y1,B（3）根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得，，结合面积关系可得，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由（1）可知：，设直线，Ax1联立方程，消去可得，则，可得，因为，