图形的平移与旋转

第十单元

图形的变换第39讲图形的平移与旋转内容索引备考基础温故知新，明确考向重点突破分类讲练，以例求法易错防范辨析错因，提升考能备考基础返回

考点梳理

图形的平移1.定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形

上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形

的平移.2.性质：(1)平移后，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行(或在

同一直线上)且相等.(2)平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.特别提醒

画平移后的图形的步骤方法：(1)首先作出平移的方向；(2)确定平移的距离；(3)画出和已知图形相对应的对应点，顺次连接对应点；(4)按原来图形的连接方式补充为完整图形.

图形的旋转1.定义：在平面内，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形

上的所有点都绕一个固定的点，按同一方向，转动同一个角度，这样的

图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心.2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等.(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.(3)旋转前、后的图形全等.特别提醒

旋转作图的步骤方法：(1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转角；(2)分析所作图形，找出构成图形的关键点；(3)沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法作出旋转各个关键点；(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；(5)写出结论.1.如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF(

)基础诊断AA.把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位B.把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位C.把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位D.把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位2.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边

形ABFD的周长为(

)A.6 B.8

C.10 D.12C解

根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC，∵AB＋BC＋AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10.3.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D

恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是(

)A.34° B.36° C.38° D.40°C解

由题意得，∠AOD＝∠BOC＝31°，∵∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°－31°－31°＝38°.4.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O(0,0)，P(4,3)，

将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为(

)A.(3,4) B.(－4,3)

C.(－3,4) D.(4,－3)C解

如图，OA＝3，PA＝4，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′O＝∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，∴点P′的坐标为(－3,4).5.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处.若将

△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′

的值为____.解

过点C作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.返回重点突破返回【例1】

(2017·海南)如图，在平面直角坐标系中，

△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与

△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2

的坐标是(

)类型一

图形的平移点拨

首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案.A.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解点拨解

如图所示，点A的对应点A2的坐标是(2，－3).【例1】

(2017·海南)如图，在平面直角坐标系中，

△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与

△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2

的坐标是(

)类型一

图形的平移点拨

首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案.BA.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解点拨答案解【变式1】

(2017·大连)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐

标分别为A(－1，－1)，B(1,2)，平移线段AB，得到线段A′B′，已

知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(

)

A.(4，2) B.(5，2) C.(6，2) D.(5，3)B解

∵A(－1，－1)平移后得到点A′的坐标为(3，－1)，∴向右平移4个单位，∴B(1，2)的对应点坐标为(1＋4，2)，即(5，2).解题要领

图形平移有两个基本条件：①图形平移的方法就是这个图形上的某一点到平移后图形对应点的方向；②图形平移的距离就是连接一对对应点的线段的长度.【例2】

(1)(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数

字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得

到的数字是(

)A.96 B.69 C.66 D.99类型二

图形的旋转B点拨

直接利用中心对称图形的性质结合“69”的特点得出答案.解

现将数字“69”旋转180°，得到的数字是69.答案解点拨(2)(2017·宁波)在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.①在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可)；点拨

根据轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可；解点拨解

如图所示；②将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.点拨

根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可.解点拨解

如图所示；答案解【变式2】

(2017·福建)如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是(

)A.1区

B.2区

C.3区

D.4区解

如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个点按逆时针方向旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区.答案解【变式2】

(2017·福建)如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是(

)DA.1区

B.2区

C.3区

D.4区解题要领

旋转前后图形上的每一点都绕着旋转中心转了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.解题时，要注意是顺时针还是逆时针旋转多少度，要正确利用旋转的性质，抓住其中的不变量是解决问题的关键.解点拨类型三

网格或直角坐标系中的图形变换【例3】

(2017·金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标

分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4).(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；点拨

分别作出点A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可；解

如图所示，△A1B1C1即为所求；(2)作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围.点拨

由点A′坐标为(－2，2)可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，据此可得a的取值范围.解

∵点A′坐标为(－2，2)，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6.解点拨解【变式3】

(2017·宁夏)在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分

别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1).

(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4，5)，画出平移后得到的

△A1B1C1；解

如图，△A1B1C1即为所求；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.解

如图，△A2B2C2即为所求.解解题要领

解题时，体会图形变换中的转化思想，会利用其中的全等关系，通过变换，使图形中的条件得以重新分布和结合，实现变难为易、变未知为已知，从而解决问题.【例4】

(2017·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，

小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的

三个顶点的坐标分别为A(－3,4)，B(－5,2)，C(－2,1).(1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；类型四

与旋转有关的证明、计算问题点拨

分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；解点拨解

如图，△A1B1C1即为所求；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；点拨

根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；解点拨解

如图，△A2B2C2即为所求；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积.点拨

利用扇形的面积公式即可得出结论.解点拨【变式4】

(2017·盐城)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC

绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为_______.答案解解

如图，作线段AA′、CC′的垂直平分线，相交于点P，点P即为旋转中心.观察图象可知，旋转角为90°(逆时针旋转)时B运动的路径长最短，【变式4】

(2017·盐城)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC

绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为_______.答案解解题要领

旋转变换是几何证明题中一种很重要的解题技巧，在同一平面内，将图形的某一部分按特定的条件旋转一个角度，把分散的条件和结论相对集中，使图形中的相关部分发生新的联系，从而使问题化难为易，迎刃而解.返回易错防范返回试题如图，有一条河流，两岸分别有A、B两地，

假设河岸为两条平行线，现要在河上造一座垂直

于河岸的桥MN.问桥造在何处，才能使从A到B的

路径AM＋MN＋NB最短？易错警示系列

39利用平行变换确定两点间的最短距离正确解答分析与反思剖析错误答案展示