第二章控制系统的数学模型

第二章

控制系统的数学模型1控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式.在静态条件下(即变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型;而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型.

如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此对系统进行性能分析.建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法在自动控制理论中,数学模型有多种形式.时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程;复域中有传递函数、结构图;频域中有频率特性等.22.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复域数学模型2.3控制系统的结构图与信号流图附录拉氏变换32.1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集中参量控制系统的微分方程的建立和求解方法.42.1.1线性元件的微分方程现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写.

例2-1

图2-1是由电阻R、电感L电容C组成的无源网络,试列写以ur(t)为输入量,以uc(t)为输出量的网络微分方程.解:设回路电流为i(t),由克希霍夫定律可写出回路方程为图2-1

RLC无源网络ur(t)uc(t)CRLi(t)5消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为(2-1)显然,这是一个二阶线性微分方程,也就是图2-1无源网络的时域数学模型.6分析质量m上的受力情况如图2-2b)所示。根据牛顿第二运动定律有：（2-2）例2-2图2-2a)所示为弹簧、质量、阻尼系统。当受外力F(t)作用时，要求写出系统的微分方程。设外作用力为输入量，位移x(t)为输出量。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)图2-2机械位移系统b)F(t)x(t)mKfa)7式中:——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向与运动方向相反，阻尼系数为f，即：——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：K——弹簧刚度联立以上三式并整理得：（2-3）8综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下:①根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量;②分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程;③消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便是元件时域的数学模型.92.2控制系统的复域数学模型

微分方程是在时间域描述控制系统动态性能的数学模型,当给定外作用及初始条件时,求解微分方程就可以得到系统的输出响应.这种方法比较直观,但当系统的结构改变或某个参数变化时,就要重新列写并求解微分方程,不便于对系统的分析和设计.用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型----传递函数.传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响.102.2.1传递函数的定义和性质⑴定义线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:(2-4)注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态.设线性定常系统的n阶线性常微分方程为(2-5)11设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零,即零初始条件,对上式中各项分别求拉氏变换,可得s的代数方程为于是,由定义得系统的传递函数为式中(2-6)12例2-3试求例2-1RLC无源网络的传递函数解:该网络的微分方程已求出,如式(2-1)所示在零初始条件下,对上式求拉氏变换得由传递函数定义得网络传递函数为(2-7)13⑵性质①传递函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质.且所有系数均为实数.图2-8传递函数的图示G(s)R(s)C(s)②传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用图2-8的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统.③传递函数与微分方程有相通性.若将微分方程的算符d/dt

用复数s置换便得到传递函数;反之亦可.④传递函数只反映系统在零初始条件下的运动状态，只适用于线性定常系统142.2.2传递函数的零点和极点传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,可写为如下形式(2-41)式中,---------称为传递函数的零点;-------称为传递函数的极点.传递函数的零点和极点可以是实数,也可以是复数,系数称为传递系数或根轨迹增益.这种用零点和极点表示传递函数的方法,在根轨迹法中使用较多.15传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后,也可以写为如下因子连乘积的形式(时间常数形式)在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函数的零极点分布图.在图中一般用表示零点,用表示极点.式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于复数零极点.

称为时间常数,称为传递系数或增益.传递函数的这种表示形式在频率法在使用较多.(2-42)162.3控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形,它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法.与结构图相比,信号流图符号简单,更便于绘制和应用.但是,信号流图只适用于线性系统,而结构图也可用于非线性系统.172.3.1系统结构图的组成和绘制图2-18结构图的基本组成单元控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方块和一些信号流向线组成,它包含四种基本单元:r(t)R(s)u(t)U(s)(c)u(t),U(s)(a)u(t)U(s)u(t),U(s)(b)G(s)u(t)U(s)c(t)C(s)(d)⑴信号线.带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,如图2-18a);⑵引出点.表示信号引出或测量的位置,如图2-18b);⑶比较点.对两个以上的信号进行加减运算,如图2-18c);⑷方块.对信号进行的数学变换,方块内为传递函数,如图2-18d).18绘制系统结构图时,首先考虑负载效应,分别列写各元部件的微分方程或传递函数,并用方块表示;然后根据信号流向将各方块连接便得到系统的结构图.所以,结构图也是控制系统的一种数学模型.但要注意,结构图中的方块与实际系统的元部件并非是一一对应的.19图2-21RC无源网络例2-12绘制如图2-21所示RC无源网络的结构图R1R2uruc解:应用复数阻抗概念,根据克希霍夫定律写出以下方程20图2-22RC无源网络结构图212.3.2结构图的等效变换和简化结构图的变换一定要保证其等效性⑴串联方块的简化(等效)⑵并联方块的简化(等效)G1(s)G2(s)U(s)R(s)C(s)(a)图2-26方块串联连接及其简化G1(s)G2(s)C(s)(b)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)C(s)(b)图2-27方块并联连接及其简化22⑶反馈连接方块的简化(等效)G(s)H(s)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)图2-28方块的反馈连接及其简化⑷比较点和引出点的移动移动前后必须保持信号的等效性;而且,比较点和引出点之间一般不宜交换其位置;此外,“-”号可以在信号线上越过方块移动,但不能越过比较点和引出点.表2-1汇集了结构图简化(等效变换)的基本规则,可供查用.R(s)C(s)(b)

(s)23242526例2-14试简化图2-29的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).图2-29例2-14系统结构图解:由简化结果图2-30可求得系统的传递函数为27-__-__解:28___29在方块图简化中,应记住两条原则:①前向通道中传递函数的乘积必须保持不变;②回路中传递函数的乘积必须保持不变;图2-30例2-14系统结构图的简化30本例经简化后,可以得到闭环传递函数为:由此可以看出:①的分子等于前向通道传递函数的乘积;②的分母等于:注意:正反馈回路在分母中给出的是负项。31例2-15试简化图2-31的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).图2-31例2-15系统结构图解:由简化结果图2-32可求得系统的传递函数为32图2-32例2-15系统结构图的简化33见课本29页例2-9例2-10342.3.3信号流图的组成和性质

信号流图可以认为是方块图的一种简化符号,也可以解释为一组线性代数方程变量间输入、输出关系的图解表示。

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络，网络中的节点表示一个系统变量，用小圆圈表示;连接两个节点的定向线段叫支路，支路旁标的增益表示两个变量的因果关系，因此支路相当于乘法器;信号只能沿箭头方向流通。35

y2＝g12y1的信号流图如图所示，节点为y1、y2，且y1为输入，y2为输出，故箭头指向y2，g12

即为该支路的增益。的信流图例如：36例.下列一组代数方程构成的信号流图如图2-35所示规定：节点的信号为各支路送入信号之和，而节点向各支路输出的信号均为节点本身。图2-35信号流图37信号流图的基本性质可归纳如下①节点标志系统的变量.一般,节点自左向右顺序设置,每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和.②支路相当于乘法器,信号流经支路时,被乘以支路增益而变换为另一信号.③信号在支路上只能沿箭头单向传递,即只有前因后果的因果关系.④对于给定的系统,节点变量的设置是任意的,因此信号流图不是唯一的.38在信号流图中常使用以下名词术语输入节点(源)：只有输出支路的节点，如图2-34中的y1,

它对应于自变量。输出节点(阱)：只有输入支路的节点，如图2-34中的y5,

它对应于应变量。混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。

混合节点可以变换为输出节点，如图2-35中的y3变换为输出节点，如图2-36所示，但混合节点不能变换为输入节点。图2－36混合节点y3变换为输出节点y2y3y3y4139通路：从某一点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点（或同一节点）的路径，统称为通路。一个信号流图可以有很多通路。前向通路：从输入节点开始，终止于输出节点，且每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益的乘积,称前向通路总增益.如图2-35中前向通道有三条,其增益分别为：回路：就是闭通路。如图2-35中有四个回路：40信号流图代数⑴节点变量值等于进入节点的所有信号与其增益乘积的总和。如图中：节点变量值y1y2y3g13g23⑵串联支路总增益等于所有支路增益的乘积。如图：串联支路y1y2y3g12g23y1y3g12g2341⑶通过增益相加,可以将并联支路合并为单一支路。如图：并联支路y1y2g1g2y1y2g1+g2⑷混合节点可以消掉，如图：消掉混合节点y1y2y3y4g13g23g34y1y2y4g13g34g23g3442⑸回路可以消掉y3=g12g23y1+g32g23y3y3=y1g12g231－g32g23y3=g23y2y2=g12y1+g32y3}消掉回路1－g32g23g12g23y1y3y2y1y3g23g12g32y1y3g32g23g12g23见课本34页表2-143⑵由系统结构图绘制信号流图图2-38由结构图绘制信号流图的过程2.3.4信号流图的绘制⑴由系统微分方程绘制信号流图44由系统结构图绘制信号流图时的注意点及技巧问题,如图2-38及图2-39所示.在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号.便得到节点;用标有传递函数的线段代替结构图中的方框,便得到支路.于是,结构图变为相应的信号流图,如图2-38所示.图2-39比较点与节点对应关系45例2-18试绘制图2-40所示系统结构图对应的信号流图

.图2-40例2-18系统的结构图46图2-41例2-18系统的信号流图解：首先在系统结构图的信号线上,用小圆圈标注各变量对应的节点,如图2-41a)所示;其次,将各节点按原来顺序自左向右排列,连接各节点的支路与结构图中的方块相对应,即得到系统的信号流图如图2-41b)所示.47式中：P——阱节点c和源节点

r间的总增益；c——输出节点阱节点变量；r——输入节点源节点变量；n——前向通道总数；——信号流图特征式；——第K条前向通道总增益；2.3.5梅逊增益公式(2-57)48----第K条前向通道上特征式的余因式。注：所谓两个互不接触回环，是指两个回环没有公共节点。即去掉与第K条前向通道相接触的回环后的△值，或与第K条前向通道不接触部分的△值；——所有不同回环增益之和;——所有两个互不接触回环增益乘积之和；——所有三个互不接触回环增益乘积之和；49例2-19试用梅逊公式求例2-14系统的传递函数C(s)/R(s).(图2-29例2-14系统结构图)50解:对应的信号流图如图2-43所示.前向通路有一条:p1=G1G2G3G4.图2-43与图2-29对应的信号流图回路有三个:没有不接触回路,且前向通路与所有回路都接触,故51例2-20试用梅逊公式求图2-44所示系统的传递函数C(s)/R(s).图2-44例2-20系统结构图和信号流图52前向通路有二条:p1=G1G2G3,p2=G1G4.回路有五个:没有不接触回路,且两条前向通路与所有回路都接触,故解:由信号流图可见53例2-21试求图2-45系统信号流图的传递函数X4/X1及X2/X1.图2-45例2-21的信号流图X1X2X3X4abc-def-g图中,有三个单独回路,即有两个互不接触回路,即因此,信号流图特征式为解:对于给定的系统信号流图(或结构图),梅逊公式中的特征式是确定不变的,只是对于不同的源节点和阱节点,其前向通路和余因式是不同的.54从X1到X4:从X1到X2:前向通路有两条:且故其传递函数为前向通路有一条:且.故其传递函数为55例2-22试求图2-46信号流图中的传递函数C(s)/R(s).图2-46例2-22的信号流图三个互不接触的回路有一组,即两个互不接触的回路有四组,即解:单独回路有四个即56于是,信号流图特征式为前向通路共有四条,其增益及余因式分别为因此,系统的传递函数为57例2-23试求图2-47信号流图中的传递函数C(s)/R(s).图2-47例2-23的信号流图解:前向通路共有三条,其增益为单独回路有三个,即没有不接触回路,且,则58由上式不难求出与其对应的微分方程式为系统的传递函数为592.3.6闭环系统的传递函数反馈控制系统的传递函数,一般可以由组成系统的元部件运动方程式求得,但更为方便的是由系统结构图或信号流图求取.一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如图2-48所示.图中:R(s)-----输入信号;N(s)------扰动信号;C(s)------输出信号.图2-48反馈控制系统的典型结构图和信号流图B(S)60应用叠加原理,令N(s)=0,可直接求得输入信号R(s)到输出信号C(s)之间的传递函数为⑴输入信号下的闭环传递函数由可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为(2-65)(2-66)61⑵扰动作用下的闭环传递函数应用叠加原理,令R(s)=0,可直接由梅逊公式求得扰动作用N(s)到输出量C(s)之间的闭环传递函数同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为(2-67)62显然,当输入信号R(s)和扰动作用N(s)同时作用时,系统的输出C(s)为在上式中,如果满足的条件则可简化为式(2-68)表明,系统的输出只取决于反馈传递函数H(s)及输入信号R(s),而与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用的影响.特别当H(s)=1时,.从而实现了对输入信号的完全复现,且对扰动具有较强的抑制能力.(2-68)63⑶闭环系统的误差传递函数闭环系统在输入信号和扰动作用时,以误差信号E(s)作为输出量时的传递函数称为误差传递函数,它们可由梅逊公式求得为(2-69)(2-70)64注意:对于图2-47的典型反馈控制系统,其各种闭环系统传递函数的分母形式均相同,这是因为它们都是同一个信号流图的特征式,即,式中是回路增益,并称它为该系统的开环传递函数,它等效为主反馈断开时,从输入信号R(s)到反馈信号B(s)之间的传递函数.65附录拉氏变换⑴定义：（2—71）式中：——时间的原函数，且当时；

——复变数，；

——运算符号；放在某量之前表示该量用拉普拉斯积分进行变换。——的拉氏变换，象函数。66⑵拉氏变换表表2－1拉氏变