3.1.4空间向量运算的坐标表示

点的坐标与有向线段的坐标坐标规律引入知识要点本课小结空间向量的正交分解及其坐标表示1类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?NOCM2AO然后证唯一性DCB证明思路：先证存在E注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：3推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z使OABCP例1课本94页例44空间向量的正交分解及其坐标表示5单位正交基底：

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用来表示.下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系6

在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.x

轴、y

轴、z轴，都叫做叫做坐标轴,点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.xyzOkij

对空间任一向量,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使空间直角坐标系7坐标化规律在空间直角坐标系O–x

y

z

中，对空间任一点A,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).

显然,向量的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOA(x,y,z)ijk

也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.8练习

.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－

a+b+c

122312(C)a+b

－

c

122312(D)a+b

－c

122323B9补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底

表示向量COABMNG解：在△OMG中，10空间向量运算的坐标规律:,则设空间向量运算坐标表示11练习1:已知

求解:12结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求?1314继续解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则

例5如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

1516小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。1718191答案2答案A1D1C1B1ACBDFE20证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE21221.