专题29 综合性问题（解析板）

一、选择题1.（玉林、防城港）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是【】A．1cm＜AB＜4cmB．5cm＜AB＜10cmC．4cm＜AB＜8cmD．4cm＜AB＜10cm考点：1.一元一次不等式组的应用（几何问题）；2.等腰三角形的性质3.三角形三边关系.2.（毕节）下列叙述正确的是【】A．方差越大，说明数据就越稳定B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变C．不在同一直线上的三点确定一个圆D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点：1.方差的意义；2.不等式的性质；3.全等三角形的判定；4.确定圆的条件.3.（毕节）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为【】A．B．C．D．考点：1.一次函数与一元一次不等式；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.数形结合思想的应用.4.（黔东南）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有【】A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B．【解析】试题分析：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故结论①正确；考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.二次函数与方程之间的关系；3.一元二次方程根的判别式；4.转换思想的应用．5.（河北）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为【】A、6厘米B、12厘米C、24厘米D、36厘米考点：1.由实际问题列函数关系式；2.待定系数法的应用；3.正方形的性质；4.解一元二次方程.6.（襄阳）下列命题错误的是【】A．所有的实数都可用数轴上的点表示B．等角的补角相等C．无理数包括正无理数，0，负无理数D．两点之间，线段最短故选C．考点：1.命题与定理；2.实数与数轴关系；3.补角的定义；4.无理数的分类；5.线段公理．7.（孝感）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为【】A．B．C．D．考点：1.一次函数与一元一次不等式；2.数形结合思想的应用．8.（张家界）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是【】A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析：列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率：列表如下：-214-2---（1，-2）（4，-2）1（-2，1）---（4，1）4（-2，4）（1，4）---所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有4种，则.故选D.考点：1.列表法或树状图法；2.概率；3.一元二次方程根的判别式．9.（扬州）若一组数据的极差为7，则x的值是（）A.B.6C.7D.6或考点：1.极差；2.方程思想和分类思想的应用.10.（扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.B.C.D.【答案】B．【解析】11.（呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1，x2判断正确的是【】 A．x1＋x2>1，x1·x2>0 B．x1＋x2<0，x1·x2>0 C．0<x1＋x2<1，x1·x2>0 D．x1＋x2与x1·x2的符号都不确定故选C．考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用.12.（潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值是()A:27B:36C:27或36D:18【答案】B．【解析】3，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选B．考点：1.等腰三角形的性质；2.一元二次方程的解；3.三角形三边关系；4.分类思想的应用．13.（金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【】A．B．C．D．【答案】A.【解析】试题分析：分别求出扇形纸板和圆形纸板的面积即可求得二者之比：如图，在扇形纸板中连接OF，在Rt△OCD中，∵∠AOB=45°，∴△OCD是等腰直角三角形．∴OD=CD=1．∴OE=OD+DE=1+1=2.在Rt△OEF中，根据勾股定理可得：，∴扇形的面积等于.在圆形纸板中连接AC，由勾股定理得，∴圆的面积等于.∴扇形纸板和圆形纸板的面积比是.故选A.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.勾股定理；3.扇形面积和圆面积的计算.14.（重庆B）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线交x轴于点F，交y轴于点G（0，－2），则点F的坐标是【】A、B、C、D、【答案】C.【解析】试题分析：∵A（m，2），∴正方形ABCD的边长为2.∵E（n，），∴.∵反比例函数在第一象限的图象经过A，E，考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的性质.二、填空题1.（玉林、防城港）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①；②阴影部分面积是；③当∠AOC=90°时；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是▲（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．【解析】试题分析：如答图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB=S△COB.∴AE=CF.∴OM=ON.∵S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，∴不能判断AM=CN.∴不能确定|k1|=|k2|.所以③错误.若OABC是菱形，则OA=OC，而OM=ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO.∴AM=CN.∴|k1|=|k2|，∴k1=﹣k2.∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.所以④正确．综上所述，正确的结论是①④．考点：1.反比例函数综合题；2.反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．2.（十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为▲．【答案】.【解析】考点：1.勾股定理；2.扇形面积的计算；3.二次函数的最值；4.转换思想的应用．3.（武汉）如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为▲.【答案】.【解析】试题分析：如答图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=3m，则BD=m，在Rt△OCE中，∠COE=60°，则，∴点C坐标为.考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值．4.（襄阳）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是▲．考点：1.列举法；2.概率；3.三角形三边关系．5.（赤峰）一只蚂蚁在图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为▲．【答案】.【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，如答图，根据矩形的中心对称性质，原图阴影部分等价于新图阴影部分，可知阴影部分是矩形的一半.∴蚂蚁停在阴影部分的概率为.考点：1.矩形的中心对称性质；2.概率；3.转换思想和数形结合思想的应用.6.（赤峰）如图，反比例函数的图象与以原点为圆心的圆交于A、B两点，且，图中阴影部分的面积为▲．（结果保留π）【答案】.【解析】考点：1.圆和双曲线的对称性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.扇形面积的计算；6.转换思想和数形结合思想的应用.7.（呼和浩特）以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．②当m>0时，y=–mx＋1与两个函数都是y随着x的增大而减小．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，）则D点坐标为（1，）.④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为．其中正确的命题有▲（只需填正确命题的序号）【答案】①.【解析】②因为当m>0时，函数分别在一、三象限内y随着x的增大而减小，所以命题②错误.③如图，若正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，A点坐标为（1，）则由△AOE≌△DOF，得D点坐标为（1，）.命题③错误.④∵在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，考点：1.命题和证明；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定；4.一次函数和反比例函数的性质；5.正方形的性质，6.全等三角形的判定和性质；7.概率.8.（宁夏）如下图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是▲．【答案】.【解析】试题分析：根据三角形外心的性质，能够完全覆盖△ABC的最小圆是△ABC的外接圆，因此，如答图，作出△ABC的外接圆O，连接AO，AO即为能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径，根据勾股定理，可得.考点：1.网格问题；2.三角形外心的性质；3.勾股定理；4.数形结合思想的应用.9.（滨州）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数的图象经过顶点C，则k的值为▲.考点：1.菱形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系.10.（成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC.若△PBC的面积是20，则点C的坐标为▲.【答案】.【解析】考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.转换思想的应用.11.（天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.（1）计算的值等于▲；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）▲.【答案】（1）11；（2）作图如下，分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求．【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算：.（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理．12.（舟山）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是▲．【答案】①③⑤.【解析】②∵由①知，EF＝2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小.根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.当CD⊥AD时，，∴线段EF的最小值为.结论②错误.考点：1.单动点和轴对称问题；2.轴对称的性质；3.垂直线段的性质；4.圆周角定理；5.含30度角直角三角形的性质；6.等边三角形的性质；7.切线的判定.13.（重庆A）从-1,1,2这三个数字中，随机抽取一个数，记为ａ.那么，使关于x的一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为▲【答案】.【解析】试题分析：将-1，1，2分别代入，求出与x轴、y轴围成的三角形的面积，将-1，1，2分别代入，求出解集，找出有解者,根据概率公式即可求解:当a=-1时，可化为，与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，-1），∴使关于x的一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为P=.考点：1.概率公式；2.解一元一次不等式组；3.一次函数图象上点的坐标特征．14.（重庆B）在一个不透明的盒子里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同其余完全相同，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将该小球上的数字作为的值，则使关于x的不等式组只有一个整数解的概率为▲．【答案】.【解析】当a=3时，不等式组为，无解；当a=4时，不等式组为，无解.∴于x的不等式组只有一个整数解的情况为1.∴所求概率为.考点：1.概率；2.不等式组的整数解；3.分类思想的应用.三、解答题1.（河北）（本小题满分10分）如图，A,B,C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米，四人分别测得∠C的度数如下表：甲乙丙[丁∠C（单位：度）34363840[他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图，如下图.（1）求表中∠C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）试题解析：（1）.（2）∵C处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%，（3）∵AC=100米，∠C=37°，，∴AB=ACtan37°=100×0.75=75（m）.∵运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，∴运垃圾所需的费用为：75×80×0.005=30（元）.答：运垃圾所需的费用为30元．考点：1.解直角三角形的应用；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.算术平均数．2.（河南）（9分）如图，在直角梯形OABC中，BC//AO，∠AOC=900，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线（x＞0）经过点D,交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积.【答案】（1）；（2）12.【解析】试题分析：（1）过点B、D作x轴的的垂线，垂足分别为点M、N，由DN∥BM得到△AND∽△ABM，从而求出DN=2，AN=1，得到ON=4，即点D的坐标为(4，2)，代入即可求解.（2）求出各边长，由求解即可.（2）∵点E在BC上，∴点E的纵坐标为6.又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为(，6).∴CE=.∴∴四边形ODBE的面积为12.考点：1.反比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.等腰梯形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.转换思想的应用.3.（黄冈）如图，已知双曲线与两直线、（且）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当C(－1，1)时，A、B、D三点的坐标分别是A(▲，▲)、B(▲，▲)、D(▲，▲)．（2）证明：以A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（3）当k为何值时，ADBC是矩形？【答案】（1），D（1，-1）；（2）证明见解析；（3）4.【解析】（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线与直线，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．试题解析：（1），D（1，-1）.（2）∵双曲线与两直线、（且）分别相交于A、B、C、D四点，且三者都是中心对称图形，整理得：，解得：（不合题意，舍去）或k=4，则当k=4时，ADBC是矩形．考点：1.反比例函数与正比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.平行四边形的判定；4矩形的性质；5.勾股定理；6.反比例函数与正比例函数的中心对称性质.4.（十堰）（8分）如图，点B（3，3）在双曲线（x＞0）上，点D在双曲线（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标．【答案】（1）9.（2）（1，0）．【解析】试题分析：（1）把B的坐标代入求出即可；（2）过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，设MD=a，OM=b，求出ab=4，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．试题解析：解：（1）∵点B（3，3）在双曲线上，∴OA=3﹣a，即AM=b+3﹣a=3，a=b.∵ab=4，∴a=b=2.∴OA=3﹣2=1，即点A的坐标是（1，0）．考点：1.正方形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.全等三角形的判定和性质；3.待定系数法的应用．5.（张家界）(本小题12分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线过过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，），以OB为直径的⊙A经过C点,直线l垂直于x轴于点B.（1）求直线BC的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想的值，并证明你的结论；（4）点P从O出发，以每秒1个单位速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t(0<t≤8)秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值.【答案】（1）；（2），；（3），证明见解析；（4）t=5或或.【解析】试题解析：（1）设直线BC解析式为，把B（10，0）、C（，）代入，得，解得：.∴直线BC的解析式为.（2）∵抛物线过过O、B、C三点，∵EF切⊙A于点M，∴AM⊥EF.在Rt△AOE和Rt△AME中，∵∠AOE=∠AME=90º，AM=AO，AE=AE，∴Rt△AOE≌Rt△AME（HL）.∴.同理可证，.∴.∴易知，Rt△AME∽Rt△FMA.∴.∵AB=10，∴MN=OA=5.∴.∴.（4）依题意有：△OBC为直角三角形，且∠OCB=90º.∵C（，），∴.又∵OB=10，∴BC=8.∴.③当PB=PQ时，如答图，过点P作PHBC于H，则.易证△BPH∽△BOC，∴，即，解得.综上所述，当t=5或或时，△BPQ为等腰三角形.考点：1.二次函数综合题；2.双动点、定值和等腰三角形存在性问题；3.全等三角形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.二次函数的性质；8.分类思想和方程思想的应用.6.（赤峰）（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点D，且于AB交于点E.（1）求反比例函数解析式和E点坐标；（2）若F是OC上一点，且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC和△AFO相似，求F点的坐标.【答案】（1），；（2）或.【解析】∵双曲线的图象经过BC的中点D，∴，解得.∴反比例函数解析式.∵当时，，∴.（2）设考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.方程思想的应用．7.（呼和浩特）（8分）如图，已知反比例函数（x>0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m,n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：∆ACB∽∆NOM；（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），.【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点A的坐标代入即可求出k，从而得到∵点B（m，n）在上，∴.∴.又∵.∴.又∵∠ACB=∠NOM=90°，∴ΔACB∽ΔNOM..（3）∵ΔACB与ΔNOM的相似比为2，∴m–1=2.∴m=3.∴B点坐标为.设AB所在直线的解析式为y=kx＋b，∴，解得.∴AB所在直线的解析式为.考点：1.反比例函数和一次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质.8.（宁夏）（10分）某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1只玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每只亏损3元．以x（0＜x≤80）表示下个月内每天售出的只数，y（单位：元）表示下个月每天销售玫瑰花的利润．根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）如下图：（1）求y关于x的函数关系式；（2）根据频率分布直方图