福建省2024八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第3课时公式法-两数和差的平方公式课堂学习课件新版华东师大版

第12章整式的乘除12.5因式分解第3课时公式法——两数和(差)的平方公式目

录CONTENTS01新课学习02深挖拓展03课堂小测学

习

目

标了解两数和(差)的平方公式的特点，会运用两数和(差)

的平方公式分解因式.知识点1两数和(差)的平方公式的特征例1

填空：(1)整式乘法(两数和(差)的平方公式)：(

a

＋

b

)2＝

a2＋2

ab

＋

b2；(

a

－

b

)2＝

a2－2

ab

＋

b2.因式分解：

a2＋2

ab

＋

b2＝

⁠；

a2－2

ab

＋

b2＝

⁠.(

a

＋

b

)2

(

a

－

b

)2

①

m2＋2

m

＋1＝

m2＋2·

m

·1＋12＝

⁠；②

m2－10

m

＋25＝

m2－2·

m

·5＋52＝

⁠.(

m

＋1)2

(

m

－5)2

(2)把下列各式因式分解：例1

填空：归纳：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，

等于这两个数的和或差的平方.练1－1

把下列各式因式分解：(1)

m2－10

mn

＋25

n2＝

＝

⁠

⁠；(2)4

x2＋12

xy

＋9

y2＝

＝

⁠

⁠.m2－2·

m

·5

n

＋(5

n

)2

(

m

－5

n

)2

(2

x

)2＋2·2

x

·3

y

＋(3

y

)2

(2

x

＋

3

y

)2

解：原式＝3

a

(

x2＋2

xy

＋

y2)＝3

a

(

x

＋

y

)2.练1－2

因式分解：3

ax2＋6

axy

＋3

ay2.归纳：能用两数和(差)的平方公式分解因式的条件：①三

项式；②首尾能化为平方，中间是首尾底数积的2倍.例2

用两数差的平方公式说明(

a

－

b

)2与(

b

－

a

)2相等.解：(

a

－

b

)2＝

a2－2

ab

＋

b2＝

b2－2

ab

＋

a2＝(

b

－

a

)2.练2

已知一个正方形的面积为25

x2＋40

xy

＋16

y2(

x

，

y

为

正数)，请求出它的边长.

解：25

x2＋40

xy

＋16

y2＝(5

x

)2＋2·5

x

·4

y

＋(4

y

)2＝(5

x

＋4

y

)2，因为

x

，

y

为正数，所以5

x

＋4

y

＞0，所以正方形的边长为5

x

＋4

y

.知识点2利用两数和(差)的平方公式因式分解例3

请用换元法对多项式(

x2－4

x

＋2)(

x2－4

x

＋6)＋4进行

因式分解.解：设

x2－4

x

＝

y

，所以原式＝(

y

＋2)(

y

＋6)＋4＝

y2＋8

y

＋16＝(

y

＋4)2＝(

x2－4

x

＋4)2＝(

x

－2)4.练3

已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数(a、b、c

均不相同)，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC

的最大边c的值.解：因为a2＋b2－10a－12b＋61＝0，所以(a2－10a＋25)＋(b2－12b＋36)＝0，所以(a－5)2＋(b－6)2＝0，所以a－5＝0，b－6＝0，所以a＝5，b＝6.因为6－5＜c＜6＋5，所以1＜c＜11.因为c为△ABC的最大边，且a、b、c均不相同，所以c＞6，所以6＜c＜11.又因为c为正整数，所以△ABC的最大边c的值可能是7、8、9、10.例4

阅读材料解题：(1)利用上述方法分解因式：①

x2＋7

x

＋10；

解：①

x2＋7

x

＋10＝(

x

＋2)(

x

＋5).

②

x2＋5

x

－6.解：②

x2＋5

x

－6＝(

x

＋6)(

x

－1).(2)若3

x2＋

px

＋5可分解为两个一次因式的积，请画好“十

字图”，并求整数

p

的所有可能值.解：分解二次项为3

x2＝3

x

·

x

，分解常数项为5＝(－1)×(－5)＝1×5，画“十字图”如下：所以整数

p

的所有可能值为－8或8或－16或16.1.

能用两数和(差)的平方公式因式分解的是(

A

)A.

a2－4

ab

＋4

b2B.

a2－4

ab

－4

b2C.

－

a2＋4

ab

＋4

b2D.

a2－2

ab

＋4

b2A234512.

分解因式(

x

－1)2－2(

x

－1)＋1的结果是(

D

)A.(

x

－1)(

x

－2)B.

x2C.(

x

＋1)2D.(

x

－2)2D234513.

已知正方形的面积是(16－8

x

＋

x2)cm2(

x

＞4)，则正方形

的边长是

⁠.(

x

－4)cm

234514.

把下列多项式因式分解：(1)

a2＋12

a

＋36；解：(1)

a2＋12

a

＋36＝

a2＋12

a

＋62＝(

a

＋6)2.(2)(

x

－1)(

x

＋3)＋4；解：(2)(

x

－1)(

x

＋3)＋4＝

x2＋2

x

－3＋4＝

x2＋2

x

＋1

＝(

x

＋1)2.23451(3)20

ax2－45

ay2；解：(3)20

ax2－45

ay2＝5

a

(4

x2－9

y2)＝5

a

(2

x

－3

y

)(2

x

＋3

y

).(4)

x2－5

x

＋6.解：(4)

x2－5

x

＋6＝(

x

－2)(

x

－3).4.

把下列多项式因式分解：234515.

已知

a

－

b

＝8，

ab

＋

c2－16

c

＋80＝0，求

a

＋

b

＋

c

的值.解：因为

a

－

b

＝8，所以

b

＝

a

－8，又因为

ab

＋

c2

－16

c

＋80＝0，所以

a

(

a

－8)