河南省商丘市二十校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案解析）

2023~2024学年上学期期中考试高二数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：选择性必修一第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点关于轴对称点为，进行求解即可.【详解】点关于轴对称的点的坐标是,故选：D.2.已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得的值.【详解】由椭圆的定义知，所以，故选：C.3.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用两点式求直线斜率，根据直线方向向量与斜率关系确定参数值.【详解】由点，得直线的斜率为，因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以．故选：B4.如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，用表示出即可.【详解】因为，所以，所以．故选：A5.直线与圆的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相离【答案】C【解析】【分析】求出直线所过定点，判断点与圆的位置关系即可得解.【详解】由直线，得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相交或相切．故选：C6.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若动点与两定点的距离之比为，则动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据定义列出方程化简即可得出圆的方程，求圆心得解.【详解】依题意，设，又动点与两定点的距离之比为，即，所以，整理得，即，所以动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为．故选：D7.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可.【详解】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：易知，，;取，，则，所以点到直线的距离为．故选：B.8.已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.经过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】讨论截距，结合截距式求直线方程即可.【详解】若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为，将代入方程，得，则直线的方程为，C正确．故选：AC10.下列圆中与圆相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据圆心距与两圆的半径和、差关系，逐项判断即可得解.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为5．A选项，的圆心为，半径为2，故，由于，所以圆与内切，A正确；B选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与外切，B正确；C选项，的圆心为，半径为2，故，由于，故圆与不相切，C错误；D选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与不相切，D错误．故选：AB11.设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（）A. B.是等边三角形C.的面积为 D.抛物线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线定义及圆可得为正三角形判断B，利用面积求出边长判断A，再由直角三角形得出判断D，由面积公式求面积判断C.【详解】设准线与轴交于点，如图，抛物线定义知，又，所以为正三角形，故B正确；由面积为知边长，故A正确；则由直角三角形可得，所以抛物线的方程为，故D正确；面积为，故C错误.故选：ABD12.如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为中点，则（）A.B.与所成角的余弦值是C.点到平面的距离为D.过点的平面截四棱锥的截面面积为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用判断A，根据向量的夹角公式判断异面直线所成角判断B，利用向量法求点到平面距离判断C，利用向量法确定截面为四边形对角线垂直，求面积判断D.【详解】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，故A正确；，则与所成角的余弦值为，故B错误；，设平面的法向量为n=x,y,z，则令，可得，则点到平面的距离为，故C正确；设过点的平面与线段的交点为，则，因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，即，所以解得，所以，则，因为，所以，所以过点的平面截四棱锥的截面面积为，故D错误．故选：AC【点睛】关键点点睛：利用坐标的方法，确定D选项中的截面与线段的交点为的坐标，再由此确定确定垂直，是解决四边形面积的关键所在.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量，且与垂直，则等于_______．【答案】【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.【详解】因为，且与垂直，所以，解得.故答案为：14.若直线与直线平行，则与之间的距离为_______．【答案】【解析】【分析】根据平行线间的距离公式计算.【详解】因为直线与直线平行，所以与之间的距离．故答案为：15.已知抛物线的焦点为，准线为．若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为_______．【答案】4【解析】【分析】首先由题意求出点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的渐近线方程得到，再利用，即可求出双曲线的实轴长.【详解】由抛物线的焦点为，则，准线为，又，则，则可得点在双曲线的渐近线上，又焦点在轴的双曲线的渐近线为，则可得，即，又双曲线的焦距为，即，由，即可得，则双曲线的实轴长为，故答案为：.16.已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】先确定出中点的轨迹为圆，根据题意构造点到直线的距离，则所求问题可转化为圆上动点到直线的距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．设为的中点，所以，所以点轨迹方程为．即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．设点到直线的距离分别为，所以，，所以．因为点到直线的距离为，所以，即，所以．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的顶点．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求直线的斜率，再结合两直线垂直时，斜率存在的情况下斜率之积为，求高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）先根据中点坐标公式求点的坐标，再利用点斜式求直线方程.【小问1详解】因为直线的斜率，所以所在直线的斜率，则所求直线方程为，即所以边上的高所在直线的方程为．【小问2详解】因为线段的中点，所以边上的中线所在直线的斜率，则所求直线方程为，即所以边上的中线所在直线的方程为．18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出、，利用可得答案；（2）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】，又底面，、底面，，，故以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，，，，所以，，所以，所以，即与所成角的大小为；【小问2详解】由（1）知，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以是平面的一个法向量，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．19.已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．（1）求此双曲线的方程；（2）若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.【小问1详解】设，，则，，，解得：，；又在双曲线上，则，，，双曲线的方程为：.【小问2详解】由（1）得：，，，三点共线，直线斜率显然存在，可设，，，由得：，，即且，，，，，又，，，解得：，满足且，直线方程为：或.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.20.在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上．（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求实数的值．【答案】（1）（2）0或【解析】【分析】（1）设圆心，利用半径相等建立方程求出即可得解；（2）联立直线与圆，根据根与系数的关系及向量数量积为，即可得解.【小问1详解】设圆心，由已知得，从而有，解得．于是圆的圆心，半径．所以圆的方程为．【小问2详解】设，联立直线与圆的方程，，消去，得，由解得，所以，，所以，解得或，满足，故实数的值为0或．21.在直三棱柱中，，点是线段上靠近点的三等分点．（1）求的长；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式计算；（2）利用向量法求二面角的余弦，再由同角三角函数关系转化为正弦值.【小问1详解】因为直棱柱的性质可知，又，故如图，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则，是上靠近点的三等分点，，所以，即长为．【小问2详解】由（1）知，设平面的一个法向量为n=x,y,z，则令，得平面的一个法向量为，又平面，平面的一个法向量为，所以，故二面角的正弦值为．22.已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．（1）求点的轨迹．（2）设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积．【答案】（1）点轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆（2）【解析】【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解；（2）由题意可得出四边形面积为，转化为求三角形面积问题，根据直线斜率为分类讨