专题03平面向量（选填题8种考法）（原卷版）

专题03平面向量（选填题8种考法）考法一平面向量的坐标运算【例11】（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例12】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【例13】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知向量，若与共线，则等于（

）A． B． C． D．2【例14】（2022·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【例15】（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知向量，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则考法二平面向量的基本定理【例21】（2023·全国·模拟预测）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（

）A． B．C． D．【例22】（2023·四川资阳·统考模拟预测）如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（

）A． B． C． D．【例23】（2023·山西·统考一模）已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（

）A． B．C． D．【例24】（2023·甘肃兰州·校考一模）如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（

）A． B． C．2 D．考法三平面向量的数量积【例31】（2023·江苏南通·统考一模）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．2【例32】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（

）A．4 B． C． D．【例33】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．8【例34】（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．【例35】（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.考法四平面向量的共线定理【例41】（2023·山西临汾·统考一模）已知，为不共线的非零向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【例42】（2022·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【例43】（2022·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．考法五平面向量中的取值范围【例51】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为1，动点满足．若，则的最小值为（

）A． B． C．0 D．3【例52】（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（

）A． B．C． D．【例53】（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．考法六平面向量与其他知识综合【例61】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（

）A． B． C． D．【例62】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且，则（

）A． B． C． D．【例63】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．考法七平面向量巧建坐标【例71】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【例72】（2023·北京顺义·统考一模）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【例73】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例74】（2023·安徽合肥·统考一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（

）A． B． C． D．考法八平面向量中的新定义【例81】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）设向量与的夹角为，定义，已知，，则（

）A． B． C． D．【例82】（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．设在中，，，则D．（为任意非零向量）1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则2．（2023·四川南充·校考模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）平面向量，若，则（

）A．6 B．5 C． D．4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．（2023·吉林·统考二模）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则（

）A． B． C． D．6．（2023·内蒙古·模拟预测）已知向量，，且，则向量的夹角是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．29．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（

）A． B． C． D．10．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．11．（2023·甘肃兰州·校考一模）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（

）A． B．C． D．12（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）在中，，．若，则（

）．A． B． C． D．13．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．14．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．15．（2023·陕西榆林·统考一模）在平行四边形中，，则（

）A．4 B． C． D．316．（2023·福建漳州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（

）A． B． C． D．17．（2023·山东威海·统考一模）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量的夹角为，且是函数的两个零点.若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（

）A． B．3 C． D．20．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，，，则（

）A． B．C． D．21．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在中，，则（

）A．9 B．18 C．6 D．1222．（2023·陕西渭南·统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（

）A． B． C．4 D．523．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知平面单位向量，，满足，则（

）A．0 B．1 C． D．24．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．025．（2022春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若﹐则中最小角的余弦值等于（

）A． B． C． D．26．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．427．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．28．（2023·安徽宿州·统考一模）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角29．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（

）A． B．C． D．点的坐标为30．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）（多选）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（

）A． B．C．的坐标为 D．的坐标为31．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点，，，则（

）A． B．C． D．.32．（2023·福建·统考一模）（多选）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为33．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选）设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则不与垂直 D．不与垂直34（2023·全国·模拟预测）（多选）已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（

）A．2 B． C． D．135．（2023·全国·模拟预测）（多选）在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O为△ABC内的一点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若点O为△ABC的外心，BC＝4，则36．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．37．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则__________．38．（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则______________．39．（2022·天津河北·天津五十七中校考模拟预测）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．40．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.41（2023·重庆·统考一模）在中，，点Q满足，则的最大值为___________.42．（2023·河南郑州·统考一模）若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．43（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知向量，若，则______44．（2023·全国·模拟预测）若平面向量，，且，则______.45．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知向量，，若，则______．46（2023·新疆·校联考模拟预测）已知平面向量，，则与的夹角为______.47．（2023·上海·统考模拟预测）在中，，点是的中点，则___________.48．（2023·宁夏吴忠·校联考一模）设向量，则与的夹角等于__________．49．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，若，则_________．50．（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则________．51．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.52．（2021·全国·统考高考真题）已知向量，，，_______．53．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．54．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是________．55．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________．56．（2023·广西南宁·南宁