专题84直线平面平行的判定及性质（知识点讲解）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题8.4直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α3.判断或证明线面平行的常用方法：利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1.（2023·全国·高三专题练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//nC．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n【答案】D【解析】【分析】举例说明判断A，B，C；利用线面平行的性质判断D作答.【详解】如图，长方体中，平面视为平面，对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确；对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确；对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）.（1）、都垂直于平面r，那么∥.（2）、都平行于平面r，那么∥.（3）、都垂直于直线l，那么∥.（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4.（2022·云南师大附中模拟预测（理））若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；对于B，如图，，可能异面，故B错误；对于C，如图，，可能相交，故C错误；对于D，如图，可能相交，故D错误.故选：A．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，、、、、分别是、、、、的中点，给出下列四个判断：①平面；②平面；③平面；④平面，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接、、、、、、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接、、、、、、、，在三棱柱中，因为且，所以，四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面，同理可证四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，则平面，，故平面平面，平面，则平面，③对；对于①，若平面，，则平面平面，因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过可得出平面，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又平面，平面与平面的交线为，所以，而平面，平面，所以平面PAC.【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得,再根据为的中点可得为的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为平面,平面,且平面平面,所以,又因为为的中点,所以为的中点,所以,因为正方体的棱长为2.所以,所以.故答案为:.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点所在的平面，再由平面几何的性质即可确定的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取，分别为棱和的中点，连接,由题意易知，所以；又易知，故可以证明平面平面；又平面，由面面平行的性质可知平面，所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，过点作，交于点，由题意可知,所以,所以，又，所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；故选：C例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得，结合，即可求解.【详解】由题意，平面平面，所在的平面与，分别交于和，根据面面平行的性质，可得，所以，因为，，，所以.故答案为：.例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以.因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面.同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面.又，平面，所以平面平面例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）证明:平面A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明⊥平面，只要证明垂直于平面内的两条相交直线即可，由已知可证出⊥BD，取的中点为，通过证明四边形为正方形可证⊥．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定