专题12立体几何初步专题训练

专题12立体几何初步专题训练一：单项选择题（共8小题，每题3分，共24分）1．水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个上底为1，下底为2，高为10的梯形，则四边形ABCD的实际面积为（

）A．15 B． C．30 D．【答案】D【分析】由已知，先计算出该图形斜二测直观图的面积，然后再根据原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S换算关系，可直接求解出四边形ABCD的实际面积.【解析】由题意得，梯形的面积为，由斜二测画法得，四边形ABCD的实际面积为.故选：D.2．在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为(

)A． B．4 C． D．8【答案】D【分析】设两条母线为AB、AD，则截面面积为，由AB=AD为定值可知当sin∠BAD最大时，截面面积最大，结合图形求出∠BAD的范围即可求解．【解析】如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，∴截面面积为：，由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，∵AB=AD=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，故截面面积最大为．故选：D．3．如图，正四棱锥，M，N为棱PA，PC的中点，平面BMN与棱PD交于点Q，则下列说法正确的是（

）A．四边形MBNQ是菱形B．四边形MBNQ对角线MN中点也是四棱锥高线的中点C．D．【答案】B【分析】如图连接，、，设，连接，设，即可得到，从而判断B正确，延长交于点，连接、，即可判断为上靠近的三等分点，从而得到A、C错误，因为侧棱与底面边长关系无法确定，从而无法判断；【解析】解：如图连接，、，设，连接，设，因为M，N为棱PA，PC的中点，所以，则为的中点，根据正四棱锥的性质可知即为四棱锥的高，故B正确；延长交于点，连接、，则，因为、、三点共线，所以，即，所以为上靠近的三等分点，显然，但是，故四边形不是菱形，且与不相似，故A、C错误；因为正四棱锥的侧棱与底面边长关系无法得知，故无法确定，故D错误；故选：B4．设，，是空间的三条直线，给出以下五个命题，其中正确的命题的个数是（

）①若，，则；②若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；③若和相交，和相交，则和也相交；④若和共面，和共面，则和也共面；⑤若，，则；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由线线的位置关系定义可否定命题①②③④；由平行公理可以得到命题⑤为真命题．【解析】①垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；②与同一直线异面的两直线可能是相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；③与同一直线相交的两直线可能是相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；④若，则和共面；若与相交，则和共面.此时，可以是异面关系也可以是共面关系，故命题不正确；⑤若，，则，是正确命题；综上，仅有⑤正确．故选：B．5．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长.【解析】过直线与射线分别交于，作射线交于，连接交于，如下图示：所以六边形即为面截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点，所以截面为正六边形，故周长为.故选：C6．如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，连接，，推导出是直线与所成的角，利用余弦定理求出即可．【解析】解：取中点，连接，，直三棱柱中，，，为的中点，，，四边形是平行四边形，，是直线与所成的角（或所成角的补角），令，则，且，，，，，直线与所成的角的余弦值为．故选：B．7．已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为（

）A．4π B．6π C．8π D．10π【答案】C【分析】画出圆台、球的轴截面，根据内切球可求母线长与上下底面的半径的关系，从而可求两个底面的周长之和.【解析】设圆台的上、下底面的圆心分别为，圆台、球的轴截面如图所示，其中内切圆与等腰梯形的腰相切于，则，故，因为圆台的侧面积为16π，故，故即，所以圆台上、下两个底面圆的周长之和为，故选：C8．已知圆锥轴截面是等腰直角三角形，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，求出，再求出圆锥和正方体的表面积化简即得解.【解析】解：设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，由轴截面得，因为，所以，所以圆锥的表面积，正方体的表面积所以.故选：B二：多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分）9．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（

）A．长方体中含有两个相同的等腰四面体B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为【答案】ABC【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项．【解析】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确；如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，如图，设的长分别为，不妨设，则，，，最大，其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确；如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错。故选：ABC．10．如图，在长方体中，，BC＝2，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（

）A．A，D，，四点共面 B．AM与BN是异面直线C．平面平面ABCD D．平面ADM【答案】ABCD【分析】由得共面，即可判断A选项；取中点，由，平面即可判断B选项；由平面ABCD，平面ABCD即可判断C选项；由即可判断D选项.【解析】由，知共面，即A，D，，四点共面，A正确；取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形，，又平面，故AM与BN是异面直线，B正确；取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD，又，同理可得平面ABCD，又平面，，则平面平面ABCD，C正确；由，又平面，平面，则平面，D正确.故选：ABCD.11．在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（

）．A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为【答案】AC【分析】根据该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥逐项求解判断.【解析】因为在等腰梯形ABCD中，，，，所以等腰梯形ABCD的高为1，该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，A正确，B错误．该几何体的表面积，体积，C正确，D错误．故选：AC12．正方体的棱长为4，动点，在棱上，，动点在棱上，则三棱锥的体积（

）A．与点的位置有关 B．与点，的位置有关C．与点，，的位置均无关 D．三棱锥的体积恒为【答案】CD【分析】由等体积法结合体积公式判断即可.【解析】解：，的面积为定值，点到所在平面的距离为定值4，故三棱锥的体积与点，，位置均无关，是定值．故选：CD．三：填空题（共4小题，每小题3分，共12分）13．水平桌面上放置了三个半径为6的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小球与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．【答案】2【分析】先判断出三个球的球心与桌面的三个切点构成了正三棱柱，作出小球球心在上下底面的投影，通过相切求出及，再通过勾股定理解出半径即可.【解析】设三个半径为6的球球心分别为，与桌面的三个切点分别为，则三棱柱是一个底面边长为12，高为6的正三棱柱，小球球心在平面上的投影必为的中心，在平面上的投影必为的中心，连接并延长交于，则为中点，设小球半径为，在中，由小球与原来的三个球以及桌面都相切可得，，则，，则，即，解得.故答案为：2.14．已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的轴截面面积为_________.【答案】【分析】将圆锥侧面沿过A的母线展开，设所得扇形的圆弧一端为A，另外一端为B，则弦AB=9，根据圆锥的母线与底面半径之比为3可求展开扇形的圆心角，从而可求出母线和圆锥底面半径，根据几何关系即可求出圆锥轴截面的面积．【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，如图所示，设母线长为l，即OA=OB=l，圆锥底面半径为r，即的长度为2πr，设侧面展开图的圆心角∠AOB=θ，则，由已知得，联立解得，从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB，则，则在等腰△OAB中，易得，则，圆锥轴截面为以母线l为腰，2r为底边的等腰三角形，其底边上高为，∴轴截面面积为﹒故答案为：．15．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于______________．【答案】【分析】先由异面直线夹角的定义确定和所成的角，再通过解三角形求夹角的大小.【解析】取的中点，连接，因为E，F分别是棱，的中点，所以，,，,又，且，所以，,因为，所以为异面直线和的夹角，在中，，所以，故和所成的角等于，故答案为：.16．已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为2的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，则此正四棱台的体积为______．（参考公式：，其中，是棱台上、下底面的面积，h是棱台的高）【答案】【分析】先根据已知判断外接球的球心位置，然后可得正四棱台的高，然后可得.【解析】由题可知，下底面的外接圆圆心即为外接球的球心如图，记正四棱台上底面的外接圆圆心为，下底面外接圆圆心为O由题知，，易知，所以记上、下底面面积分别为，则所以正四棱台的体积故答案为：四：解答题（共6小题，52分）17.（8分）如图所示，正方体的棱长为1，过顶点B、D、截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积V；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出正方体的体积和截下的三棱锥的体积即可计算作答.（2）根据给定条件，确定异面直线与所成的角，再在直角三角形中计算作答.【解析】(1)依题意，正方体的体积：，截去的三棱锥体积为：，所以剩余部分的体积是.(2)连，如图，，或其补角为异面直线与所成角，在中，，，，则，所以异面直线与所成角的余弦值．18.（8分）如图所示棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，PD＝3，且PD是四棱锥的高．设AB＝x．(1)当x＝3时，求三棱锥A﹣PBC的体积；(2)四棱锥外接球的表面积的最小值．【答案】(1)；(2)17π.【分析】（1）应用棱锥的体积公式，求A﹣PBC的体积．（2）将四棱锥补成长方体，根据它们的外接球相同，由长方体外接球的特征求出球体半径，利用二次函数的性质及球的表面积公式求表面积的最小值．【解析】(1)当x＝3时，AB＝3，BC＝1，则△ABC的面积为S△ABC，∴三棱锥A﹣PBC的体积为：VA﹣PBC＝VP﹣ABC．(2)将四棱锥P﹣ABCD补成长方体ABCD﹣A1B1C1P，如下图，则四棱锥P﹣ABCD外接球和长方体ABCD﹣A1B1C1P的外接球相同，设AB＝x，则BC＝4﹣x，则四棱锥P﹣ABCD外接球半径：R，当x＝2时，R取得最小值为，此时外接球的表面积的最小值Smin＝4π×()2＝17π．19.（8分）已知在四棱锥中，，，，为的中点，若正视图方向与向量的方向相同时，四棱锥的正视图为三角形．(1)证明：平面；(2)若三角形为直角三角形，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由已知可得出平面，利用线面垂直的定义可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）推导出平面，分析可知，结合锥体的体积公式可求得结果.【解析】(1)证明：因为正视图方向与向量的方向相同时，四棱锥的正视图为三角形，则平面，平面，，因为，为的中点，所以，，，平面.(2)解：因为且三角形为直角三角形，则，又因为，，平面，因为，，，所以，，因为为的中点，则.20.（8分）如图，已知在长方体中，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明；(2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出的值，结合余弦定理计算即可.【解析】(1)连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点，又因为E为的中点，连接，则，∵平面EBD，平面EBD，平面EBD；(2)由(1)知，，所以为异面直线与所成角的平面角，在中，，，由余弦定理，得，故异面直线与所成角的余弦值为.21.（10分）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点．(1)若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：平面CDF；(2)若，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)最大值．【分析】（1）连接，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到为的中点，从而得到，即可得证；（2）设，，即可得到，，再根据比例关系，表示出，，表示出三棱锥与三棱锥的高，根据锥体的体积公式得到，令，则，再令，根据函数的性质求出最大值；【解析】(1)证明：如图连接，根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，(2)解：中，设，，则，，所以