2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价五简洁复合函数的导数(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=cos2x的导数为 ()A.y′=sin2x B.y′=-sin2xC.y′=-2sin2x D.y′=2sin2x【解析】选C.y′=-sin2x·(2x)′=-2sin2x.2.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f′(x0)=6,则x0的值为 ()A.0B.QUOTEC.3D.6【解析】选B.由f(x)=ln(3x-1),得f′(x)=QUOTE.由f′(x0)=QUOTE=6,解得x0=QUOTE.3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于y轴对称,则f′(0)=_________.(其中f′(x)是f(x)的导函数) ()

A.0 B.ω C.φ D.1【解析】选A.因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于y轴对称,所以f(0)=sinφ=±1,故φ=kπ+QUOTE,k∈Z,①当k=2n,n∈Z时,f(x)=sinQUOTE=cosωx,这时,f′(x)=-ωsinωx,所以f′(0)=0.②当k=2n+1,n∈Z时,f(x)=sinQUOTE=-cosωx,这时,f′(x)=ωsinωx,所以f′(0)=0,综上所述,f′(0)=0.4.设函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=QUOTE相切,则实数a的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选C.因为f(1)=a,f′(x)=2ax+QUOTE(x<2),所以f′(1)=2a-2,所以切线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离等于半径,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.【延长探究】若将上题中条件改为“直线l与圆C:x2+y2=QUOTE相交”,则a的取值范围为____________.

【解析】由题目知,直线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线l与圆C:x2+y2=QUOTE相交,所以圆心到直线l的距离小于半径.即QUOTE<QUOTE.解得a>QUOTE.答案:QUOTE5.曲线y=QUOTE在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ()A.4 B.e2 C.QUOTE D.4e2【解析】选B.y′=QUOTE,曲线在点(4,e2)处的切线斜率为QUOTEe2,所以切线方程为:y-e2=QUOTEe2(x-4).令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2,所以与坐标轴所围成的三角形的面积S△=QUOTE×2×e2=e2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=lnQUOTE,则f′(2)=____________.

【解题指南】令u(x)=QUOTE,可求得u′(x)=QUOTE,从而可求得f′(x),求出f′(2).【解析】因为f(x)=lnQUOTE,令u(x)=QUOTE,则f(u)=lnu,因为f′(u)=QUOTE,u′(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE,由复合函数的导数公式得:f′(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以f′(2)=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】设f(x)=cos22x,则f′QUOTE=____________.

【解析】因为f(x)=cos22x=QUOTE+QUOTEcos4x,所以f′(x)=QUOTE(cos4x)′(4x)′=-2sin4x,所以f′QUOTE=-2sinQUOTE=-2.答案:-27.已知函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=f′QUOTEsin3x+cos3x,则f′QUOTE=_______________.

【解析】因为f(x)=f′QUOTEsin3x+cos3x,所以f′(x)=f′QUOTE·3cos3x-3sin3x,所以令x=QUOTE可得f′QUOTE=f′QUOTE3cosQUOTE-3sinQUOTE=f′QUOTE×QUOTE-3×QUOTE,解得f′QUOTE=3QUOTE.答案:3QUOTE【补偿训练】设y=g(x)=f(sin2x)+f(cos2x),其中f(x)可导,则g′QUOTE=____________.

【解析】g′(x)=[f(sin2x)]′+[f(cos2x)]′=f′(sin2x)·2sinx·cosx+f′(cos2x)·2cosx·(-sinx)=sin2x[f′(sin2x)-f′(cos2x)],所以g′QUOTE=f′QUOTE-f′QUOTE=0.答案:08.已知函数f(x)=xQUOTE,则f′(2)=_______________.

【解析】因为f′(x)=(xe-x)′=x′e-x+x(e-x)′=e-x+x(-e-x)=(1-x)e-x.所以f′(2)=-e-2=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数:(1)y=(QUOTE-2)2.(2)y=x-sinQUOTEcosQUOTE.(3)y=sin2QUOTE.【解析】(1)因为y=(QUOTE-2)2,所以y′=2(QUOTE-2)(QUOTE-2)′=2(QUOTE-2)·QUOTE=1-QUOTE.(2)因为y=x-sinQUOTEcosQUOTE=x-QUOTEsin2QUOTE,所以y′=1-QUOTE(2QUOTE)′cos2QUOTE=1-QUOTEcos2QUOTE.(3)方法一:y′=2sinQUOTE·QUOTE′=2sinQUOTEcosQUOTE·QUOTE′=2sinQUOTE.方法二:因为y=sin2QUOTE=QUOTE,所以y′=QUOTE′+QUOTE×sinQUOTE×QUOTE′=2sinQUOTE.10.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标.(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又因为点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-QUOTE.因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),所以直线l的方程为y+4=-QUOTE(x+1),即x+4y+17=0.(20分钟·40分)1.(5分)f(x)=esinxcosxsinx,则f′(0)= ()A.0B.1C.2D.e【解析】选B.因为f(x)=esinxcosxsinx,所以f′(x)=(esinx)′cosxsinx+esinx(cosx)′(sinx)+esinxcosx(sinx)′=esinxcos2xsinx+esinx(-sin2x)+esinxcos2x.所以f′(0)=0+0+1=1.2.(5分)若对随意x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)= ()A.x4 B.x4-2C.4x3-5 D.x4+2【解析】选B.因为f′(x)=4x3.所以f(x)=x4+c,c∈R,因为f(1)=1+c=-1,所以c=-2,所以f(x)=x4-2.3.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是____________.

【解析】设x>0,则-x<0,因为x≤0时,fQUOTE=e-x-1-x,所以fQUOTE=ex-1+x,又因为fQUOTE为偶函数,所以fQUOTE=ex-1+x,f′QUOTE=ex-1+1,f′QUOTE=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2QUOTE,即2x-y=0.答案:2x-y=0【补偿训练】函数y=lnQUOTE的导数为_______________.

【解析】y′=QUOTE′=QUOTE·QUOTE·=QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(5分)f(x)=QUOTE,且f′(1)=1,则a的值为____________.

【解析】因为f′(x)=QUOTE·(ax-1)′=QUOTE,所以f′(1)=QUOTE=1.解得a=2.答案:25.(10分)求曲线y=ln(3x-2)上的点到直线l:3x-y+3=0的最短距离.【解析】作出直线l:3x-y+3=0和曲线y=ln(3x-2)的图象(略)可知它们无公共点,所以,平移直线l,使之与曲线相切时,切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离,y′=QUOTE(3x-2)′=QUOTE.设切点为P(x0,y0),所以QUOTE=3,所以x0=1,所以y0=ln(3×1-2)=0,P(1,0).所以,曲线y=ln(3x-2)上的点到直线l:3x-y+3=0的最短距离为P(1,0)到直线l:3x-y+3=0的距离,d=QUOTE=QUOTE.6.(10分)设曲线y=f(x)=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线L与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),求S(t)的解析式.【解题指南】要求S(t)