2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1.1离散型随机变量学案含解析新人教A版选修2-31

PAGE其次章随机变量及其分布2024年射箭世锦赛在荷兰赫托根博什实行，一次射箭胜利击中十环的可能性原委有多大？你买过福利彩票吗，七乐彩30个号码选7个，7个全中的机会有多大？在我们的四周现实世界中存在着大量的随机现象，随机现象的不确定性和大量重复试验中的统计规律性就是本章我们重点学习的内容．学习本章要留意体会随机现象的统计规律性和随机模拟思想，体会概率模型的作用和概率思想的基本特征．2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量自主预习·探新知情景引入在2024年射击世界杯北京站射击竞赛中，统计某运动员的射击结果知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环，8环，9环，10环的概率依次成等差数列．你知道该运动员射击命中环数的概率分布状况吗？新知导学1．一个试验假如满意下列条件：(1)试验可以在相同的情形下__重复__进行；(2)试验的全部可能结果是__明确可知__的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__一个__，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了便利起见，也简称试验．2．随着__试验结果__改变而改变的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．__全部取值可以一一列出__的随机变量，称为离散型随机变量．预习自测1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次随意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所须要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(B)A．1,2，…，6 B．1,2，…，7C．1,2，…，11 D．1,2,3…[解析]依题意知最多取7次确定能取到白球，故选B．2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(B)A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内改变，该水位监测站所测水位HC．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X[解析]水位在(0,18]内改变，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．3．在一次竞赛中，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的全部可能取值构成的集合是__{6,3,0，－3}__．[解析]三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能状况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的全部可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中随意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．[解析]含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶随机变量的概念典例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运输乘客的数量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．[解析](1)某机场一年中每天运输乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机改变的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机改变的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机改变的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．『规律总结』(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．假如一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．┃┃跟踪练习1__■指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)随意掷一枚匀称硬币5次，出现正面对上的次数；(3)掷一枚质地匀称的骰子，出现的点数；(4)某个人的属相随年龄的改变．[解析](1)某人射击一次，可能命中的全部环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)随意掷一枚硬币1次，可能出现正面对上也可能出现反面对上，因此掷5次硬币，出现正面对上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面对上的次数是随机变量．(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(4)一个人的属相在他诞生时就确定了，不随年龄的改变而改变，因此属相不是随机变量．命题方向❷随机变量的判定典例2(2024·山东泰安第一中学检测)有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是(C)A．①②③④ B．②③④C．①③④ D．①②④[思路分析]推断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．[解析]随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．『规律总结』推断一个变量是否为离散型随机变量的步骤(1)依据题意分析变量是否为随机变量．(2)求随机变量的值域．(3)推断变量的取值能否按确定依次列举出来，若能，则是离散型随机变量．┃┃跟踪练习2__■指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)小明回答20道选择题，答对的题数；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；(4)武汉市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内改变，该水位站所测水位X．[解析](1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内改变，不能按次序一一列举．学科核心素养离散型随机变量的取值典例3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2024年北京高校的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．[思路分析]明确随机变量X的意义，写出X的全部可能取值及每个值对应的试验结果．[解析](1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．『规律总结』因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要精确写出随机变量的全部取值，就必需弄清晰全部试验的结果．还要留意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．┃┃跟踪练习3__■写出下列随机变量ξ的全部可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ．[解析](1)ξ的全部可能取值为2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本领件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4．(2)ξ的全部可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．易混易错警示离散型随机变量的可能取值搞错致误典例4小王参与一次竞赛，竞赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，假如每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关胜利．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的全部可能取值．[错解]X的可能取值为0,1000,3000,6000．X＝0表示一关没过；X＝1000表示只过第一关；X＝3000表示只过其次关；X＝6000表示只过第三关．[辨析]①对题目背景理解不精确：竞赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关竞赛的；②忽视题目中的条件：忽视不重复得奖，最高奖不会超过6000元．[正解]X的可能取值为0,1000,3000,6000．X＝0表示“第一关就没有通过”；X＝1000表示“第一关通过，而其次关没有通过”；X＝3000表示“第一关通过、其次关通过而第三关没有通过”；X＝6000表示“三关都通过”．[误区警示]理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，精确写出随机变量的全部可能取值是本章学习的重要基本功．课堂达标·固基础1．下列变量中，不是随机变量的是(B)A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数[解析]标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不行能为(A)A．0 B．1C．2 D．3[解析]由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不行能取0.故选A．3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的全部可能取值是__300,100，－100，－300__．[解析]可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．4．连绵不断地射击某一目标，首次击中目标须要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是__前3次未击中目标，第4次击中目标__．[解析]由于随机变量X表示首次击中目标须要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击