第9章两立体相贯

第2章制图的基本知识第3章点、线、面的投影第4章线面几何元素间的相对位置第5章投影变换第6章曲线与曲面第7章基本立体第8章平面截切立体第10章

组合体第11章轴测图第12章建筑形体的表达方法第13章透视投影第14章标高投影第15章计算机绘图第1章

绪论

第9章

两立体相贯第9章

两立体相贯本章概论9.1概述9.2平面体与平面体相贯9.3平面体与曲面体相贯9.4两曲面体相贯9.5同坡屋顶的画法【知识目标】

1.掌握两平面体相贯的相贯线性质、特征及作图方法；2.掌握平面体与曲面体相贯的相贯线性质、特征及作图方法；3.掌握两曲面体相贯的相贯线性质、特征及作图方法；4.掌握表面取点法和辅助平面法求相贯线的基本原理及作图方法。【能力目标】

1.能分析和判断相贯线的空间形状与投影特征;2.能从正交相贯的知识迁移到非正交相贯的一般情况;3.能分析解决复杂的空间几何问题，为后续应用形体分析法和线面分析法绘制和识读组合体视图打下扎实的基础。

第9章

两立体相贯返回本章目录有些建筑形体由两个或两个以上的基本形体相交组成，相交几何形体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。两立体相贯的基本形式如下：(a)两平面体相贯 (b)平面体与曲面体相贯 (c)两曲面体相贯第9章

两立体相贯9.1概述返回本章目录相贯线的特征平面体与曲面体相交，其相贯线一般是由若干个部分的平面曲线所组成的空间封闭曲线。每一部分平面曲线，是平面体某一表面与曲面体表面的截交线。

（a）相贯线为封闭的空间折线

（b）相贯线不封闭

（c）相贯线为封闭的平面多边形第9章

两立体相贯9.2平面体与平面体相贯返回本章目录例9-1求三棱柱和三棱锥的相贯线。(a)立体图

(b)已知条件第9章

两立体相贯9.2平面体与平面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯分析：由图可知，三棱锥完全贯穿三棱柱，形成两条闭合的相贯线，相贯线分布在三棱柱的LM和MN两个棱面上。如图a所示。三棱锥的侧棱SA、SB、SC与三棱柱的LM和MN两个棱面都相交，每条棱线与三棱柱各有两个贯穿点，共有六个贯穿点。三棱柱H面投影积聚为三角形，相贯线的H面投影积聚在该三角形左右两条边线上，可根据点的从属性求出三条侧棱SA、SB、SC与铅垂面的交点。再将所有交点顺次连接，判别可见性，完成相贯线。(a)立体图

(b)已知条件9.2平面体与平面体相贯例9-1求三棱柱和三棱锥的相贯线。返回本章目录作图步骤如下：（1）求贯穿点。利用三棱柱在H面上的积聚投影直接确定三棱锥侧棱SC、SA、SB与棱柱左右两侧面交点的H投影1、2、3、4、5、6。根据投影关系作出V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′，如下图所示。第9章

两立体相贯例9-1求三棱柱和三棱锥的相贯线。9.2平面体与平面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯作图步骤如下：（2）连接贯穿点。根据“位于甲形体同一侧面同时又位于乙形体同一侧面上两点才能相连”的原则，在V投影上分别连接1′3′5′1′和2′4′6′2′两条相贯线。（3）判别可见性。根据“同时位于两形体都可见的侧面上的交线才是可见的”的原则，在V投影上，三棱柱左、右两侧面可见，三棱锥的SAB、SBC面可见，所以交线1′5′、3′5′和2′6′、4′6′可见，画粗实线，而1′3′、2′4′不可见，画细虚线。

（4）完成整个相贯体的投影，注意补齐三棱锥的棱线。结果如图所示。9.2平面体与平面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯图9-6相贯线的特征平面体与曲面体相交，其相贯线一般是由若干个部分的平面曲线所组成的空间封闭曲线。每一部分平面曲线，是平面体某一表面与曲面体表面的截交线。相邻两段曲线的交点，是平面体的棱线对曲面体表面的贯穿点，如右图所示中的A、B、C、D点。9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。相贯立体图与已知条件第9章

两立体相贯9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录分析：从已知条件图可知，四棱柱和圆锥相贯时，四棱柱的侧棱和圆锥轴线均为铅垂线。四棱柱的四个侧面与圆锥面相交，相贯线由四段双曲线组成。前后两段相贯线的V面投影重合、W面投影积聚为直线。左右两段相贯线的V面投影积聚成直线、W面投影重合。相贯线在四棱柱的侧面上，H面投影积聚成直线。例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。第9章

两立体相贯9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯作图步骤如下：（1）求作相贯线的最低点。相贯线上的最低点为四棱柱的四条棱和圆锥面的交点，利用纬圆法，可求出其V面投影和W面投影，如右图所示。例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（2）求作相贯线的最高点。在V面和W面投影中，四棱柱与圆锥转向轮廓线的交点即为相贯线上的最高点，根据点的投影关系，可作出V面投影中相贯线的最高点E和W面投影中相贯线最高点F的三面投影，如图所示。第9章

两立体相贯例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯（3）求作相贯线的一般点。利用纬圆法作出相贯线上的几个一般位置点的三面投影，如图所示。例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯（4）依次光滑连接各点的V面投影和W面投影。注意四棱柱的四条棱需要画到最低点，完成作图,如右图所示。例9-2

求四棱柱和圆锥的相贯线。9.3平面体与曲面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯相贯线的特征两曲面体的相贯线，一般是封闭的空间曲线。组成相贯线的所有点，均为两曲面体表面的共有点。常见的两曲面体相贯如下图所示，产生的相贯线可以是封闭的空间曲线、封闭的平面曲线，也可以是直线段。（a）封闭的空间曲线

（b）封闭的平面曲线

（c）直线段9.4两曲面体相贯返回本章目录例9-3已知两拱形屋面相交,求作圆拱屋顶的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录分析：由图可知，这是两个直径不同、轴线垂直正交的两个圆拱屋顶。由于大圆柱的轴线是侧垂线，小圆柱的轴线是正垂线，所以相贯线的侧面投影重叠在大圆柱面的有积聚性的侧面投影上。正面投影重叠在小圆柱面的有积聚性的正面投影上，只有相贯线的水平投影需要求出。第9章

两立体相贯例9-3已知两拱形屋面相交,求作圆拱屋顶的相贯线。9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（1）求特殊位置点。在相贯线的正面投影中确定最左点A和最右点B的投影，A、B也是相贯线上的最底点，另外两面投影均可直接求得。在相贯线的正面投影中确定最高点C的投影，C点也是相贯线上的最后点,另外两面投影也可直接求得，如右图所示。例9-3已知两拱形屋面相交,求作圆拱屋顶的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（2）求一般位置点。在相贯线的已知正面投影上，在适当位置取两点e′、f′，根据投影关系，找出侧面投影e″、f″，然后作出e、f，如图所示。例9-3已知两拱形屋面相交,求作圆拱屋顶的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（3）光滑连接相贯线各点的水平投影，即为所求。因为两个圆拱屋顶的水平投影都可见，所以相贯线的水平投影为可见，用粗实线画出，如图所示。例9-3已知两拱形屋面相交,求作圆拱屋顶的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录圆柱关系立体图相贯线的形状三视图两外表面相交

空间曲线

平面曲线

外表面与内表面相交

空间曲线

两内表面相交

空间曲线两圆柱体相贯的三种形式第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录第9章

两立体相贯辅助平面法如果相贯线的三面投影都没有积聚性，就需要利用辅助平面来求相贯线上的点。用与两个曲面形体都相交的辅助平面切割这两个形体，得到两组截交线，这两组截交线的交点，是辅助平面和两个曲面形体表面的三面共有点，即为相贯线上的点。这种求相贯线的方法，称为辅助平面法。

如图，用水平面Q作为辅助平面截切两曲面立体，与圆锥的截交线是水平纬圆，与圆柱的截交线是平行于轴线的两素线。在辅助平面Q上，这两组截交线的交点A、B即为相贯线上的点。

选择辅助平面的原则：（1）辅助平面应作在两曲面立体的相交范围内。（2）辅助平面与两曲面立体表面的截交线的投影易于作图，例如直线、圆。9.4两曲面体相贯返回本章目录例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录分析：该形体由圆台和部分半球组成，前后对称，圆台轴线不通过球心，圆台面和球面的相贯线为前后对称的空间曲线。由于圆台面和球面的三面投影都没有积聚性，因此，必须利用辅助平面法作图。选择辅助平面：针对圆锥（圆台）的辅助平面应通过锥顶或垂直于圆锥的轴线，针对球面的辅助平面可以选用投影面的平行面。为使辅助平面截圆锥和半球所得交线的投影为直线或圆，可以选用过圆锥轴线的正平面、侧平面、水平面作为辅助平面。第9章

两立体相贯例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（1）求相贯线上的最左点A和最右点B的投影。选择过圆台轴线的正平面Q为辅助平面截切两曲面体，辅助平面Q与圆台表面相交，其截交线为圆台的最左、最右两条素线（即圆台的前后转向轮廓线），与半球相交，其截交线为正平圆弧。这两组截交线的交点，即为相贯线上的最左点A和最右点B，同时也是最低点和最高点的正面投影a′和b′，根据投影关系可以求得a、b和a″、b″。第9章

两立体相贯例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（2）求相贯线上的最前点C和最后点D的投影。选择过圆台轴线的侧平面R作为辅助平面截切两曲面体，辅助平面R与圆台相交，其截交线为圆台的最前、最后两条素线（即圆台的左右转向轮廓线），辅助平面R与半球相交，其截交线为侧平圆弧。在侧面投影中，两组截交线的交点即为相贯线上的最前点C和最后点D的侧面投影c″、d″，根据投影关系可以求出c、d和c′、d′。如右图所示。例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。第9章

两立体相贯9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（3）求相贯线上的一般位置点M、N的投影。选择水平面P作为辅助平面截切两曲面体。辅助平面P与圆台和半球的截交线均为水平纬圆。两组截交线的交点即为相贯线上的一般位置点M、N的水平投影m、n。根据投影关系可以求出m′、n′和m″、n″，如右图所示。第9章

两立体相贯例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。9.4两曲面体相贯返回本章目录作图步骤如下：（4）顺次光滑连接三面投影上所求的各点，得到相贯线的三面投影。（5）判别可见性。相贯线的正面投影前后重合，画粗实线。水平投影可见，画粗实线。侧面投影中圆台的轮廓线要延长画到c″、d″，画粗实线。位于圆台左侧的相贯线可见，画粗实线。位于圆台右侧的相贯线不可见，c″-b″-d″之间的连线用细虚线绘制。最终作图结果如右图所示。第9章

两立体相贯例9-4如图所示，求半球与圆台的相贯线。9.4两曲面体相贯同坡屋顶在坡屋顶中，如果每个屋面对水平面的倾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，这种屋面所构成的屋顶称为同坡屋顶，如下图所示。

同坡屋顶具有以下特点：1．如果屋檐平行的两屋面相交，它们的交线（屋脊）一定是水平的。屋脊的水平投影与两屋檐的水平投影平行且等距。2．凡是屋檐相交的两屋面必相交于倾斜的屋脊（称为斜脊）或天沟，其水平投影应通过两屋檐水平投影的交点而且是它们的角平分线。如果两屋檐正交，则斜脊或天沟的水平投影是与屋檐的水平投影成45°角的直线，即为直角的平分线。3．当屋顶上有两条交线时，表明这是由三个平面相交而得出的，而三个相交平面的三条交线必共点，所以过两交线的交点一定有第三条直线存在。当相邻两屋檐相交成直角时，连续三条屋檐中必有两条屋檐相互平行，所以一般情况下，上述三条交线中一定有一条是水平的屋脊，另两条为倾斜的斜脊或天沟。9.5

同坡屋顶的画法

第9章

两立体相贯返回本章目录例9-5已知同坡屋顶四周屋檐的水平投影及各屋面的水平倾角α=30°