数学（文科）总复习演练提升同步测评函数与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·广东茂名一模)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是（）A．y＝logeq\s\do9（\f（1，2））xB．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2）D．y＝－x3【解析】函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2））x在定义域上是减函数，y＝x2－eq\f（1,2)在（－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时,y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.【答案】B2．(2017·江西赣州一模)函数f(x),g（x)满足：对任意x∈R，都有f(x2－2x＋3)＝g(x）,若关于x的方程g（x)＋sineq\f（π,2)x＝0只有5个根,则这5个根之和为(）A．5B．6C．8D．9【解析】由f（x2－2x＋3）＝g（x）知g（x)的图象关于直线x＝1对称（若g（x）的图象不关于直线x＝1对称，则存在x1，x2，满足x1＋x2＝2,但g（x1)≠g（x2），而f(xeq\o\al（2,1)－2x1＋3)＝g（x1）,f(xeq\o\al(2,2）－2x2＋3）＝g(x2）,且f（xeq\o\al(2，1)－2x1＋3)＝f(xeq\o\al(2，2）－2x2＋3)，这与g（x1）≠g（x2）矛盾)，由g（x)＋sineq\f（π,2)x＝0，知g(x）＝－sineq\f（π,2)x，因为y＝－sineq\f(π,2）x的图象也关于直线x＝1对称,g(x）＋sineq\f(π,2）x＝0有5个根,故必有一个根为1，另外4个根的和为4。所以原方程所有根之和为5.【答案】A3．（2017·宁夏银川长庆高中月考)a＝eq\i\in(1，2，)3x2dx，函数f(x）＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是（)A．(－2，－1)B．（－1，0）C．（0，1）D．(1，2）【解析】∵a＝eq\i\in(1，2，）3x2dx＝x3｜eq\o\al（2，1)＝7，∴f(x）＝2ex＋3x－7.∵f（0)＝2e0＋3×0－7＝－5，f(1)＝2e＋3－7＝2(e－2）＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(0，1)．故选C.【答案】C4．(2017·辽宁五校协作体联考）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为(）A．1B．2C．3D．4【解析】因为函数f（x)是定义域为R的奇函数,所以f（0）＝0，所以0是函数f（x）的一个零点．当x＞0时，令f（x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3。分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f（x）在(0,＋∞）内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.【答案】C5．(2017·福建三明一中第一次月考）已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（3x，x≤1，，log\s\do9（\f（1,3））x，x＞1，）)则函数y＝f(x）＋x－4的零点个数为(）A．1B．2C．3D．4【解析】函数y＝f(x）＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f（x)的交点的横坐标．如图所示,函数y＝－x＋4与y＝f(x）的图象有两个交点，故函数y＝f(x）＋x－4的零点有2个．故选B.【答案】B6．（2017·吉林实验中学）函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)（n∈N）内，则n＝________．【解析】求函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1,所以f（2)＜0，f（3）＝2＋ln3，由于ln3＞1,所以f（3)＞0，所以函数f（x)的零点位于区间（2,3)内,故n＝2。【答案】27．若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．【解析】∵f（x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（－2＋3＝－a，,－2×3＝b。))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a＝－1，，b＝－6，））∴f(x）＝x2－x－6.∵不等式af(－2x）＞0，即－（4x2＋2x－6）＞0⇔2x2＋x－3＜0，解集为eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2）））＜x＜1))。【答案】eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2))）＜x＜1）)8．已知函数f（x）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（2x－1,x＞0,，－x2－2x，x≤0,)）若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【解析】画出f（x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0))的图象，如图．由于函数g（x)＝f（x）－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1）．【答案】(0，1）9．设函数f(x）＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，x）))（x＞0)．（1)作出函数f（x）的图象；（2）当0＜a＜b,且f（a)＝f(b)时，求eq\f（1，a)＋eq\f(1，b）的值；（3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．【解析】（1）如图所示．(2)∵f(x)＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,x）））＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（\f（1,x)－1，x∈（0，1],，1－\f（1,x），x∈（1，＋∞）,）)故f(x)在（0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0＜a＜b且f(a）＝f（b)，得0＜a＜1＜b，且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f（1，b）,∴eq\f(1，a)＋eq\f(1，b)＝2。(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f（x)＝m有两个不相等的正根．10．关于x的二次方程x2＋（m－1）x＋1＝0在区间[0，2］上有解,求实数m的取值范围．【解析】方法一设f（x)＝x2＋(m－1）x＋1,x∈[0,2］，①若f（x)＝0在区间［0，2]上有一解，∵f（0)＝1＞0，则应有f（2)＜0,又∵f（2）＝22＋（m－1)×2＋1,∴m＜－eq\f（3,2）。②若f（x）＝0在区间［0,2］上有两解，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,，0＜－\f（m－1，2）＜2，，f（2)≥0,）)∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1((m－1)2－4≥0，，－3＜m＜1，,4＋（m－1）×2＋1≥0，）)∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m≥3或m≤－1，,－3＜m＜1，,m≥－\f（3，2)。）)∴－eq\f（3，2）≤m≤－1.由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．方法二显然x＝0不是方程x2＋（m－1)x＋1＝0的解，0＜x≤2时,方程可变形为1－m＝x＋eq\f（1,x)，又∵y＝x＋eq\f（1，x)在（0，1］上单调递减，[1,2］上单调递增，∴y＝x＋eq\f（1，x）在（0，2］的取值范围是[2，＋∞），∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1]．B组专项能力提升(时间：15分钟）11．（2017·湖北华师一附中3月联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x2＋2x，x≤0,，|lgx｜,x＞0，）)则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(）A．1B．2C．3D．4【解析】g(x)＝f（1－x）－1＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（（1－x）2＋2(1－x)－1，1－x≤0，，|lg（1－x）|－1，1－x＞0)）⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x2－4x＋2,x≥1，，｜lg(1－x）｜－1，x＜1，））当x≥1时，函数g(x）有1个零点;当x＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C。【答案】C12．（2017·福建厦门质检)定义在（－2，2）上的奇函数f(x）恰有3个零点,当x∈(0，2）时，f(x)＝xlnx－a（x－1）（a＞0)，则a的取值范围是________．【解析】由f(x）是定义在(－2，2）上的奇函数知f(0）＝0，问题可转化为f（x）在(0,2）上有且只有一个零点．令h（x)＝xlnx,g（x）＝a(x－1)，又f(1）＝0，则问题转化为h（x)与g（x）的图象在(0，2)内没有（1，0)之外的交点．如图，a＝1时，h（x)＝xlnx与g（x)＝x－1的图象相切,满足题意；当a＞0且a≠1时，要满足题意，只需要g(2）≥h（2）,∴a≥2ln2.综上所述，a的取值范围是a≥2ln2或a＝1.【答案】a＝1或a≥2ln213．（2017·河南质检）给定方程：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)eq\s\up12（x)＋sinx－1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞－1。正确命题是________．【解析】依题意,在同一坐标系中画出函数y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))eq\s\up12（x)－1与y＝－sinx(该函数的值域是[－1，1]）的大致图象,结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点有且只有一个，因此方程eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）eq\s\up12（x）＋sinx－1＝0在（－∞，0）内有且只有一个实数解，故③正确,①不正确；由图象易知②④均正确．【答案】②③④14．(2017·贵州七校联考）已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（－x2＋\f（1，2）x（x＜0），,ln（x＋1）（x≥0）,)）若函数y＝f（x)－kx有3个零点，则实数k的取值范围是________．【解析】方程f（x)－kx＝0即为方程f(x)＝kx。因为f(0)＝ln1＝0，k·0＝0，所以x＝0是函数y＝f（x）－kx的一个零点．当x＜0时，f(x）＝－x2＋eq\f(1，2）x，令－x2＋eq\f（1,2)x＝kx,解得x＝eq\f(1，2）－k(x＝0舍去)，令eq\f（1，2）－k＜0，解得k＞eq\f（1,2),∴k＞eq\f（1,2)时，函数y＝f(x)－kx在(－∞，0）上有一个零点;当x＞0时，f(x）＝ln（x＋1)，f′(x)＝eq\f（1,x＋1)∈（0，1）,要使函数y＝f（x）－kx在（0，＋∞)上有一个零点，则0＜k＜1。综上知eq\f（1，2）＜k＜1时满足题意，∴所求实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），1）)。【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),1）)15．（2017·山西四校三模)已知函数f（x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,lnx,x＞1,)）若方程f（x)＝mx－eq\f（1,2）恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【解析】在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x)的图象(如图），易知函数y＝mx－eq\f（1,2)的图象恒过定点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，－\f(1,2))）,设过点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，－\f(1，2））)且与函数y＝lnx（x＞1)的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，lnx0)(x0＞1）．因为y＝lnx的导函数为y′＝eq\f(1，x），所以图中y＝lnx（x