数学（文科）总复习演练提升同步测评6等差数列及其前n项和

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练（时间：35分钟)1．（2016·泉州模拟）等差数列{an｝的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，则这个数列的通项公式为(）A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1【解析】∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3,∴2（x＋1）＝（x－1）＋(2x＋3）,解得x＝0。∴a1＝－1，a2＝1,d＝2,故an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.【答案】B2．（2016·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2，4，6，8，…，2（n－1），2n;②1，1，2，3,…,n；③常数列a，a,a，…，a；④在数列{an}中，已知a2－a1＝2,a3－a2＝2.其中等差数列的个数为(）A．1B．2C．3D．4【解析】①由4－2＝6－4＝…＝2n－2(n－1)＝2,得数列2，4，6,8，…，2(n－1），2n为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1，1，2,3，…,n不是等差数列；③常数列a，a,a，…，a为等差数列；④当数列｛an}仅有3项时，数列｛an}是等差数列，当数列{an}的项数超过3项时,数列｛an}不一定是等差数列，故等差数列的个数为2。【答案】B3．(2016·山东齐鲁名校第二次联考）设Sn为等差数列{an｝的前n项和，a2＝2，S5＝15，若eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1））)的前n项和为eq\f（9，10)，则n的值为(）A．8B．9C．10D．11【解析】因为S5＝15,{an｝为等差数列，所以a3＝3，又a2＝2，所以公差d＝1,an＝n。所以eq\f(1，a1·a2）＋eq\f（1,a2·a3)＋eq\f(1,a3·a4）＋…＋eq\f（1，an·an＋1)＝1－eq\f（1，2）＋eq\f(1,2）－eq\f（1,3)＋…＋eq\f（1，n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f（1,n＋1）＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f（9,10)，所以n＝9.【答案】B4．（2016·西安八校联考）在等差数列｛an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为（)A．37B．36C．20D．19【解析】am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋eq\f（9×8，2)d＝36d＝a37.【答案】A5．（2016·陕西质量监测)已知数列｛an｝满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝(）A．21B．22C．23D．24【解析】3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－eq\f(2，3)⇒{an｝是等差数列，则an＝eq\f(47，3)－eq\f（2，3）n.∵ak＋1·ak＜0,∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(47，3)－\f（2,3)k)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(45，3）－\f（2，3）k））＜0,∴eq\f(45,2）＜k＜eq\f（47，2），∴k＝23。【答案】C6．(2016·唐山期末)设等差数列{an｝的前n项和为Sn,S3＝6，S4＝12，则S6＝________．【解析】设数列｛an｝的公差为d，S3＝6，S4＝12，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2）d＝6，,4a1＋\f(4×3，2）d＝12，)）∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a1＝0,，d＝2,))∴S6＝6a1＋eq\f(6×5,2）d＝30.【答案】307．(2016·海淀模拟)已知等差数列｛an}的公差d≠0,且a3＋a9＝a10－a8。若an＝0，则n＝________．【解析】∵a3＋a9＝a10－a8，∴a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－（a1＋7d)，解得a1＝－4d，∴an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5）d，令（n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.【答案】58．（2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an｝中,a3＋a4＝4，a5＋a7＝6。(1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如［0.9]＝0,［2。6］＝2.【解析】(1）设数列{an｝的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3。解得a1＝1,d＝eq\f（2，5）.所以{an｝的通项公式为an＝eq\f（2n＋3，5）.(2)由(1）知,bn＝eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（2n＋3，5））)。当n＝1，2,3时,1≤eq\f（2n＋3,5)＜2，bn＝1;当n＝4，5时，2＜eq\f（2n＋3,5）＜3，bn＝2；当n＝6，7,8时，3≤eq\f（2n＋3,5）＜4，bn＝3；当n＝9，10时，4＜eq\f（2n＋3,5）＜5，bn＝4。所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.9．(2016·南昌调研）设数列｛an｝的前n项和为Sn，4Sn＝aeq\o\al(2，n)＋2an－3，且a1,a2，a3，a4,a5成等比数列,当n≥5时，an＞0。（1）求证：当n≥5时，｛an}成等差数列；(2)求｛an}的前n项和Sn.【解析】(1）证明由4Sn＝aeq\o\al（2,n）＋2an－3，4Sn＋1＝aeq\o\al（2，n＋1)＋2an＋1－3，得4an＋1＝aeq\o\al（2，n＋1)－aeq\o\al（2,n）＋2an＋1－2an，即(an＋1＋an)（an＋1－an－2)＝0。当n≥5时，an＞0,所以an＋1－an＝2，所以当n≥5时,｛an｝成等差数列．(2)由4a1＝aeq\o\al(2，1)＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1,a2,a3，a4，a5成等比数列，所以an＋1＋an＝0(n≤5），q＝－1，而a5＞0，所以a1＞0，从而a1＝3,所以an＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（3（－1）n－1，1≤n≤4，,2n－7，n≥5，))所以Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)[1－（－1)n]，1≤n≤4，，n2－6n＋8,n≥5。))10．（2016·济南模拟)等差数列｛an｝中，设Sn为其前n项和，且a1＞0,S3＝S11，则当n为多少时,Sn最大？【解析】方法一由S3＝S11得3a1＋eq\f（3×2，2)d＝11a1＋eq\f(11×10,2）d,则d＝－eq\f(2，13)a1.从而Sn＝eq\f（d，2）n2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a1－\f（d,2））)n＝－eq\f（a1，13）（n－7)2＋eq\f（49，13)a1,又a1＞0,所以－eq\f(a1,13）＜0。故当n＝7时，Sn最大．方法二由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝eq\f(3＋11,2）＝7对称．由方法一可知a＝－eq\f(a1,13)＜0,故当n＝7时，Sn最大．方法三由方法一可知,d＝－eq\f（2，13)a1。要使Sn最大,则有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(an≥0,,an＋1≤0，））即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a1＋（n－1）\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2，13)a1）)≥0，，a1＋n\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（2,13）a1))≤0，)）解得6.5≤n≤7。5，故当n＝7时，Sn最大．方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0,即(a1＋6d)＋（a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0,又由a1＞0,S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0,所以当n＝7时，Sn最大．B组专项能力提升(时间:20分钟）11．（2016·浙江卷)如图,点列｛An｝，{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1｜＝|An＋1An＋2｜，An≠An＋2，n∈N＊，|BnBn＋1|＝｜Bn＋1Bn＋2｜，Bn≠Bn＋2，n∈N＊(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝｜AnBn｜，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（)A．{Sn｝是等差数列B．｛Seq\o\al（2,n)｝是等差数列C．{dn}是等差数列D．｛deq\o\al（2,n)}是等差数列【解析】由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1,h2，h3,…，hn，hn＋1,…，根据平行线的性质,得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列,又Sn＝eq\f(1，2)×｜BnBn＋1|×hn,｜BnBn＋1｜为定值，所以｛Sn｝是等差数列．故选A。【答案】A12．设等差数列{an｝的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f（3，2），Sk＝－12，则正整数k＝________．【解析】Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋eq\f(3,2）＝－eq\f(21,2)，又Sk＋1＝eq\f(（k＋1）(a1＋ak＋1），2)＝eq\f(（k＋1）\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－3＋\f（3，2))),2）＝－eq\f(21，2），解得k＝13.【答案】1313．设等差数列｛an｝，｛bn}的前n项和分别为Sn，Tn,若对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f（2n－3,4n－3)，则eq\f（a9,b5＋b7)＋eq\f（a3,b8＋b4)的值为________．【解析】∵{an},｛bn｝为等差数列,∴eq\f（a9，b5＋b7）＋eq\f（a3,b8＋b4)＝eq\f（a9，2b6）＋eq\f（a3,2b6）＝eq\f（a9＋a3,2b6)＝eq\f（a6,b6）。∵eq\f（S11，T11）＝eq\f（a1＋a11，b1＋b11）＝eq\f(2a6，2b6）＝eq\f（2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19，41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41)。【答案】eq\f(19，41)14．（2016·青岛二模)已知数列｛an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝eq\f（1，2).(1)求证：eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(1，Sn)））是等差数列；(2）求an的表达式．【解析】(1)证明∵an＝Sn－Sn－1（n≥2）,又an＝－2Sn·Sn－1,∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0。因此eq\f(1,Sn）－eq\f(1，Sn－1）＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(1,Sn））)是以eq\f(1,S1）＝eq\f（1，a1）＝2为首项,2为公差的等差数列．（2）由（1）知eq\f(1，Sn）＝eq\f(1,S1）＋（n－1)d＝2＋(n－1）×2＝2n，即Sn＝eq\f(1，2n)。由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－eq\f（1,2n(n－1）），又∵a1＝eq\f（1，2），不适合上式．∴an＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f(1，2），n＝1，,－\f（1，2n（n－1）)，n≥2。)）15．（2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an｝的前n项和为Sn,且满足a3·a4＝117,a2＋a5＝22.(1）求通项an；（2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列,且bn＝eq\f(Sn，n＋c),求非零常数c。【解析】(1)因为数列｛an｝为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117,所以a3,a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，所以a3＝9，a4＝13，所以eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a1＝1，，d＝4.）)所以通项an＝4n－3。（2）由（1）知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1），2）×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(n－\f（1，4）))eq\s\u