专题5.2 三角函数的概念（解析版）

专题5.2三角函数的概念1．三角函数值在各象限内的符号2．各象限内的三角函数线如下：第一象限第二象限第三象限第四象限3．特殊角的三角函数值00100100101不存在0不存在0注意：4．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：． （2）商的关系：．（3）同角三角函数基本关系式的变形①平方关系的变形：；②商的关系的变形：；③．5．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．6．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.7．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．8．象限角的判定有2种方法（1）根据图象，其依据是终边相同的角的思想；（2）先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．9．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.一、单选题1．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则A． B．C． D．【试题来源】山东省淄博市淄博实验中学2021-2022学年高三上学期10月月考【答案】B【分析】利用三角函数的定义可求得的值．【解析】由三角函数的定义可得．故选B．2．已知角的终边过点，则A． B．C． D．【试题来源】江西省抚赣六校2022届高三联考【答案】B【分析】先求得，然后将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案．【解析】故选B3．已知角的终边经过点，则A． B．C． D．【试题来源】重庆市第七中学2022届高三上学期第二次月考【答案】B【分析】利用任意角的三角函数的定义求解即可【解析】因为角的终边经过点，所以，故选B4．点落在A．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内【试题来源】人教B版（2019）必修第三册学习帮手第七章【答案】C【分析】判断出所在的象限即可得出．【解析】，和终边相同，且在第三象限，，故点在第三象限．故选C．5．已知角的终边经过点，则A． B．C． D．【试题来源】人教B版（2019）必修第三册学习帮手第七章【答案】B【分析】由角的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数定义求出即可．【解析】因为点P（﹣1，），所以x＝﹣1，y＝，|OP|，所以．故，故选B6．已知角的终边经过点，则A． B．C． D．【试题来源】重庆市秀山高级中学2022届高三上学期10月月考【答案】C【分析】首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值．【解析】，．故选C7．若角的终边经过点，则的值为A． B．C． D．【试题来源】北京市东城区宏志中学2022届高三9月月考【答案】D【分析】由角的终边经过点，利用任意角的三角函数定义求出即可．【解析】因为角的终边经过点，所以，，，所以．故选D．8．在平面直角坐标系中，角以x轴的非负半轴为始边，且点在角的终边上，则A． B．C． D．【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】A【分析】根据点P的坐标求出，结合任意角的余弦值的定义即可得出结果．【解析】因为，所以由角的余弦值的定义可得，故选A．9．若，则A．且 B．且C．且 D．且【试题来源】北京通州潞河中学2022届高三10月月考【答案】B【分析】确定所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答．【解析】因，则是第二象限象限角，所以．故选B10．已知点在角的终边上，且，则角的大小为A． B．C． D．【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】B【分析】由条件计算点P坐标，判断象限，计算角的正切值，根据范围得出角的值．【解析】因为，所以是第二象限角，且，又，所以故选B11．若点在角的终边上，则等于A． B．C． D．【试题来源】2020年安徽省普通高中会考数学真题【答案】A【分析】利用三角函数的定义可求得的值．【解析】由三角函数的定义可得．故选A．12．已知，若，则的值为A． B．C． D．【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）【答案】A【分析】利用平方关系和商数关系求解．【解析】由，，解得，又，所以，所以．故选A．13．若角α的终边经过点，则的值为A． B．C． D．【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考【答案】B【分析】根据正切函数的定义可得选项．【解析】因为角的终边经过点，所以．故选B．14．若，则角终边上一点的坐标可能是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】C【分析】利用任意角的三角函数的定义求解即可【解析】选项中的点均为平面直角坐标系下单位圆上的点，由三角函数的定义，知，故选C．15．的值等于A． B．C． D．【试题来源】天津市南开区南大奥宇培训学校2021-2022学年高一上学期摸底考试【答案】C【分析】由得出答案．【解析】故选C16．已知，，则等于A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】D【分析】直接利用平方关系即可求出答案．【解析】因为，所以，所以．故选D．17．已知为第三象限角，则A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高三上学期10月三校联考【答案】C【分析】根据为第三象限角，可以得到，的取值范围，进一步得出答案．【解析】因为为第三象限角，即，所以即是第二、四象限，所以或，或，故选项A、B错误，因为所以，，故C正确D错误．故选C．18．在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与x铀的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若，则A． B．C． D．【试题来源】北京市朝阳区2022届高三上学期期中质量检测【答案】B【分析】根据三角函数的定义可求．【解析】设的终边上有一点，则，因为角和角的终边关于y轴对称，则是角终边上一点，所以．故选B．19．已知，则的值为A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次验收考试【答案】C【分析】结合平方关系，化为齐次式，然后弦化切转化为的代数式，代入求值．【解析】由题意．故选C．20．已知，则角可以为第象限角A．1 B．2C．3 D．4【试题来源】北京市海淀区北京大学附属中学2022届高三10月月考【答案】C【分析】根据象限角三角函数值的符号确定．【解析】，则的终边在边下方，，是第一象限或第三象限角，综上，是第三象限角．故选C．21．已知角，顶点都为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，，终边上分别有点（），，若，终边关于轴对称，则A． B．C． D．的最小值为【试题来源】山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考A【答案】D【分析】由，终边关于轴对称，得，，从而可得，即可判断ABC，结合基本不等式即可判断D．【解析】因为，终边关于轴对称，，，，即，，故ABC错误；，当且仅当，即时等号成立，故D正确．故选D．22．已知角的终边与单位圆交于，则A． B．C． D．【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高三上学期第一次考试【答案】B【分析】根据角的终边与单位圆交于，利用三角函数的定义求解．【解析】因为角的终边与单位圆交于，所以，所以，所以．故选B23．已知，，则A． B．C． D．【试题来源】河南省豫南九校联盟2021—2022学年高三上学期第一次联考【答案】A【分析】由，，可得，联立与，即得解【解析】因为，，所以，，联立与，可得，解得，故选A24．已知角的终边与单位圆交于点，且点位于第四象限，点到轴的距离为，则A． B．C． D．【试题来源】金太阳2021-2022学年高三联考数学（四川版）【答案】D【分析】由已知条件求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求的值，由此可求得结果．【解析】因为点位于第四象限，由题意可得，所以，，因此，．故选D．25．已知是角的终边上的点，则A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学文试题【答案】A【分析】根据三角函数的定义求解即可．【解析】因为为角终边上的一点，所以，，，所以．故选A26．角以为始边，它的终边与单位圆相交于第四象限点，且点的横坐标为，则的值为A． B．C． D．【试题来源】北京市清华大学附属中学2022届高三10月月考【答案】C【分析】由题意，，结合角在第四象限可得，利用同角三角函数的平方关系和商数关系，即得解【解析】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，所以，由于角在第四象限，故，，，故选C27．若，，则A． B．1C． D．【试题来源】湖南省郴州市2022届高三上学期第一次月考【答案】D【分析】利用三角函数基本关系和“化切为弦”思想进行求解．【解析】因为，所以，即，所以，即，因为，所以，则，故选D．28．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【试题来源】河南省部分名校2021-2022学年高三上学期10月质量检测【答案】B【分析】根据给定条件利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可．【解析】若，则成立，当时，可以取，即不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．29．的值A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不大于0【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考【答案】B【分析】根据角所在的象限和三角函数在各象限的符号判断可得选项．【解析】因为4在第三象限，所以，因为7在第一象限，所以，所以，故选B．30．已知，则的值是A． B．C．-3 D．3【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】A【分析】根据化弦为切，从而可得答案．【解析】因为，所以．故选A．31．若，则的值为A． B．C． D．【试题来源】新疆兵团第十二师高级中学2022届高三上学期第二次月考【答案】C【分析】对式子上下同时除以，化简带入数据计算得到答案．【解析】．故选C32．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，求角余弦值为A． B．C． D．【试题来源】新疆兵团第十二师高级中学2022届高三上学期第一次月考【答案】D【分析】根据角的终边在直线上，可得角在第一象限或第三象限，可设点为角的终边上一点，再根据三角函数的定义即可的解．【解析】因为角的终边在直线上，则角在第一象限或第三象限，可设点为角的终边上一点，所以．故选D．33．已知，则的值为A． B．C． D．【试题来源】江西省赣州市十六县（市）十七校2022届高三上学期期中联考【答案】A【分析】由题可得，即求．【解析】因为，所以．故选A.34．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则A． B．C．7 D．【试题来源】江西省赣州市十六县（市）十七校2022届高三上学期期中联考【答案】B【分析】令指数为零，即可求出函数过定点，再根据三角函数的定义求出，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；【解析】令解得，所以，故函数（且）过定点，所以由三角函数定义得，所以，故选B．35．已知，则的值是A． B．C． D．【试题来源】四川省广安市广安代市中学校2021-2022学年高一上学期11月月考【答案】C【分析】根据可知，再根据平方关系即可求出．【解析】因为，所以，即．故选C．36．已知，，则A．0和 B．C． D．和0【试题来源】河南省豫南九校联盟2021-2022学年高三上学期第一次联考【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值．【解析】因为，所以，因为，所以，整理得，解得或，由则当时，（代入条件验证矛盾舍去），当时，，所以．故选B37．已知，，则A． B．C． D．【试题来源】福建省三明市第二中学2022届高三10月阶段（一）考试【答案】A【分析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求．【解析】，则，而，又，所以，则．故选A38．已知是的内角，且，则的值为A．-1或7 B．或1C．-1 D．【试题来源】广东省茂名市五校联盟2022届高三上学期第一次联考【答案】C【分析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得，结合题设即可确定的值．【解析】因为，所以所以或．由且，故．所以．故选C．39．已知，且，则A． B．C． D．【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高一（实验班）下学期第一次月考【答案】B【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解．【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，即．故选B．40．点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章全章综合检测【答案】C【分析】首先求出所在象限，然后判断和符号即可求解．【解析】因为，所以913°角为第三象限角，所以，，所以点位于第三象限．故选C．二、多选题1．设是三角形的一个内角，则下列哪些值可能为负值A． B．C． D．【试题来源】江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三上学期第一次学情检测【答案】BC【分析】求出、的范围，可判断出各选项中三角函数值的符号，即可得解．【解析】由已知可得，则，，，当时，，．故选BC．2．若角的终边过点，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】湘教版（2019）必修第一册突围者第5章【答案】AC【分析】由于角的终边过点，可得，，，然后逐个分析判断即可【解析】因为角的终边过点，所以，，，所以，，，故选AC．3．角的终边上有一点，且，则＝A． B．C． D．0【试题来源】江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高一上学期12月“一市一所”教育联盟第一次联测【答案】ABD【分析】根据任意角的三角函数的定义，即可求解．【解析】由题意，角的终边上有一点，且，若，此时；若时，可得，解得，当时，可得；当时，可得．故选ABD．4．已知角的终边过点，则的值可能是A．1 B．C． D．【试题来源】江苏省南京市第一中学2019-2020学年高一下学期期中【答案】BC【分析】讨论正负值，结合三角函数定义求解即可．【解析】当时，，，则，当时，，，则，故选BC5．若，则可以是A． B．C． D．【试题来源】辽宁省六校2021-2022学年高三上学期期初联考【答案】BC【分析】解出x的范围，即可求解．【解析】，则，解得，当，或，当，故选BC6．下列结论中正确的是A．若，则B．若a是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），则D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二下学期期末【答案】ABD【分析】对于A，利用三角函数的定义可判断；对于B，利用象限角的定义判断；对于C，利用任意角三角函数的定义判断即可；对于D，利用弧长公式求解判断【解析】对于A，由三角函数的定义可知，，其中，因为，所以，所以，所以，所以A正确；对于B，由于a是第二象限角，所以，所以，当时，，则为第一象限的角；当时，，则为第三象限的角，综上为第一象限或第三象限角，所以B正确；对于C，由于角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），所以，所以C错误；对于D，设扇形的圆心角为，则由题意得，得，所以D正确，故选ABD7．已知，则A．的终边在第三象限 B．C． D．【试题来源】福建省泉州市四校（永春一中、培元中学、季延中学、石光中学）2022届高三上学期第一次联考【答案】AC【分析】由可判断A；由，可判断B；利用可判断C；结合选项C可判断D．【解析】因为，则为第三象限角，A正确；由题意得，，B错误；因为，故，C正确；结合选项C可知，D错误．故选AC．8．设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有A． B．C． D．【试题来源】第3课时课中任意角的三角函数【答案】BC【分析】是三角形的一个内角所以，根据的范围逐项判断可得答案．【解析】因为是三角形的一个内角，所以，所以；当时，；当时，；．故选BC．9．下列哪个选项能确定角是第二象限角A． B．C． D．【试题来源】辽宁省大连市第三十六中学2020-2021学年高一下学期4月月考【答案】AC【分析】根据三角函数定义可得．【解析】第二象限只有为正，．AC满足题意．故选AC．10．下列结论正确的是A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C．若角的终边过点，则D．若角为锐角，则角为钝角【试题来源】江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高三上学期12月第三次月考【答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误．【解析】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错．故选BC．11．已知点在第二象限，则角的终边可能在A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【试题来源】江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年高一上学期教学质量调研（三）【答案】ACD【分析】由点在第二象限，求出的范围，从而可求出的范围【解析】因为点在第二象限，所以，所以，所以，当时，，即，所以的终边在第一象限，当时，，即，所以的终边在第三象限，当时，，即，所以的终边在第四象限，综上，角的终边可能在第一象限，或第三象限，或第四象限，故选ACD12．若角的终边在直线上，则的可能取值为A． B．C． D．【试题来源】江苏省淮安市盱眙中学2020-2021学年高一上学期第三次学情调研【答案】CD【分析】利用三角函数的定义，分情况讨论的可能取值．【解析】设角的终边上一点，当时，则，此时，当时，则，此时，故选CD13．已知，则函数的值可能是A．0 B．C．4 D．2【试题来源】江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段检测【答案】ABD【分析】对分四个象限讨论即可．【解析】因为，所以且，当是第一象限角时：，，，当是第二象限角时：，，，当是第三象限角时：，，，当是第四象限角时：，，，所以函数的值域，故选ABD14．若是第二象限角，则A． B．＞0C． D．【试题来源】广西兴安县兴安中学2018-2019学年高一下学期期中段考【答案】CD【分析】根据所在的象限，求出所在象限，即可判断．【解析】因为是第二象限角，所以，所以，所以是第一或第三象限角，当是第一象限角时，，，，；当是第三象限角时，，，，；故选CD．15．已知，，那么的可能值为A． B．C． D．【试题来源】2022年（新高考）数学高频考点重点题型【答案】BD【分析】由条件，结合sin2α+cos2α=1，求得，从而求得．【解析】因为①，又sin2α+cos2α=1②，联立①②，解得或，因为，所以或3．故选BD16．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式一定为正值的是A． B．C． D．【试题来源】河北省张家口市2020-2021学年高一上学期期末【答案】BD【分析】根据终边上一点坐标判断三角函数的符号．【解析】当时，，所以选项A错误；由角的终边过点，，得，所以选项B正确；当时，，，所以选项C错误；又，即，所以，即，所以选项D正确．故选BD．17．已知，则m的值可以等于A．0 B．4C．6 D．8【试题来源】北师大版（2019）必修第二册金榜题名进阶篇【答案】AD【分析】根据同角三角函数基本关系，列出方程，即可得答案．【解析】根据同角三角函数基本关系，可得，解得或．故选AD18．若角的终边上有一点，且，则a的值为A． B．C． D．【试题来源】北师大版（2019）必修第二册金榜题名进阶篇【答案】CD【分析】由三角函数的定义结合题意求解即可【解析】由三角函数的定义可知，，，又，则，解得或，故选CD．19．已知，，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高三上学期10月月考【答案】BD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案．【解析】因为①，所以，则，因为，所以，所以，故A错误，所以，所以②，故D正确，①②联立可得，，故B正确所以，故C错误，故选BD20．已知，且，则A． B．C． D．【试题来源】江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一下学期第二次月考【答案】CD【分析】设，则，根据已知条件可得出关于的二次方程，解出的值，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值．【解析】，则，由题意可得，设，则，则，所以，，即，即，因为，则，解得，所以，，解得或，因此，或．故选CD．三、填空题1．已知角α的终边经过点P（-4，m），且，则m=___________．【试题来源】天津市宝坻区大钟庄高级中学2022届高三上学期第一次月考【答案】【分析】利用任意角的三角函数的定义求解．【解析】因为已知角α的终边经过点P（-4，m），且，所以，显然，解得，（舍去）