五年级数学下册 期末复习专题讲义（知识点归纳 典例讲解 同步测试）-4.长方体（二） （北师大版）

北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-4.长方体（二）【知识点归纳】一．体积与容积1、体积与容积的概念：体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。（从外部测量）容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。（从内部测量）注意：①同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）二．体积单位1、认识体积、容积单位常用的体积单位：立方米（米3）、立方分米（）、立方厘米（）常用的容积单位：升、毫升、1升=1、1毫升=12、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义：①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用作单位②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用作单位③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用生升作单位⑤卡车所装的体积用“立方米”作单位。三．长方体的体积1、长方体、正方体体积的计算方法①长方体的体积=长×宽×高，如果长用a表示，宽用b表示，高用h表示，体积用V表示，体积可表示为V=abh②正方体的体积=棱长*棱长*棱长,如果棱长用a表示，体积可表示为V==a×a×a长方体（正方体）的体积=底面积×高V=Sh补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。如：长方体的高=体积÷长÷宽长=体积÷高÷宽宽=体积÷高÷长注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小例如:棱长为6cm的正方体，表面积和体积都是216，但无法比较，因为单位不统一四．体积单位的换算认识体积、容积单位。常用的体积单位有：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。常用的容积单位有：升（L）、毫升（mL）1、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为10001=10001=10001升=11毫升=1 1升=1000毫升2、体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算，由高级(大)单位化成低级(小)单位乘进率，由低级(小)单位化成高级(大)单位除以进率五．有趣的测量1、不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积（注意液面是“升高了”还是“升高到”）注意：在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积或者不规则物体的体积（就是变化的体积=长×宽×变化的高）=底面积×变化的高【典例讲解】例1．一个正方体容器，从里面量棱长为4dm．先向容器里注入3dm高的水，再投入1dm3的铅块，这时容器所装物体的体积是（）A．64dm3 B．48dm3 C．49dm3【分析】根据题意可知，容器内水的体积加上铅块的体积就是这时容器所装物体的体积．根据长方体的体积公式：V＝Sh，把熟记代入公式求出水的体积再加上1立方分米即可．【解答】解：4×4×3+1＝48+1＝49（立方分米）答：这时容器所装物体的体积是49立方分米．故选：C．【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．例2．3.05dm3＝3L50mL340cm3＝0.34dm3＝0.34L0.04m3＝40dm3＝40000cm3【分析】（1）立方分米与升是等量关系二者互化数值不变，即3.05立方分米＝3.05升，3.05升看作3升与0.05升之和，把0.05升乘进率1000化成50毫升．（2）低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000；立方分米与升是等量关系二者互化数值不变．（3）高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；化低级单位立方厘米乘进率1000000．【解答】解：（1）3.05dm3＝3L50mL（2）340cm3＝0.34dm3＝0.34L（3）0.04m3＝40dm3＝40000cm3．故答案为：3，50；0.34，0.34；40，40000．【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率．例3．有一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体的体积．√（判断对错）【分析】根据长方体、正方体的体积的意义，长方体、正方体所占空间的大小叫做它们的体积．所以，一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体的体积．据此判断．【解答】解：一个长方体刚好能切成两个体积相等的小正方体，这两个小正方体的体积之和等于长方体的体积．这种说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体体积的意义及应用．例4．下面是一个长方体的展开图，分别求出这个长方体的表面积和体积．【分析】根据长方体的展开图可知：这个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把数据分别代入公式解答．【解答】解：表面积：（8×10+5×10+5×8）×2＝（80+50+40）×2＝170×2＝340（平方厘米）体积：10×8×5＝400（立方厘米）答：这个长方体的表面积是340平方厘米，体积是400立方厘米．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是找出长、宽、高，再根据公式解答．例5．一种汽车油箱，从里面量长8dm、宽3dm，高25cm．如果汽车每千米的耗油量是0.08L，这个油箱装满油最多可以供汽车行驶多少千米？【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出油箱内能装油的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答．【解答】解：25厘米＝2.5分米8×3×2.5＝60（立方分米）60立方分米＝60升60÷0.08＝750（千米）答：这个油箱装满油最多可以供汽车行驶750千米．【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．把36个棱长是1cm的小正方体摆成一个大的长方体，它的体积是（）cm3．A．18 B．36 C．48 D．242．数学课本的体积约是400（）A．立方厘米 B．立方分米 C．立方米 D．以上均不正确3．下面说法正确的是（）A．1000毫升水比10升水多 B．升、毫升、毫米都是容量单位 C．毫升是比升小的容量单位4．用棱长1cm的小正方体拼成棱长是2cm的大正方体，这个大正方体的体积是（）A．2cm3 B．4cm3 C．6cm3 D．8cm35．把一个棱长是2分米的正方体木块放入一个长12分米、宽9分米、高8分米的长方体盒子里面，最多能放（）个正方体木块．A．90 B．96 C．1086．用混凝土铺一段长为80米、宽为15米的路面，混凝土厚为25厘米．一辆运料车每次最多运6立方米的混凝土，这辆运料车至少运（）次才能完成任务．A．5000 B．200 C．507．一个长方体木箱，从里面量得长6分米，宽4分米，高5分米．如果在木箱里放棱长是2分米的正方体包装盒，最多能放（）个包装盒．A．7 B．12 C．158．将6升水倒入一个长方体玻璃容器中（玻璃厚度不计），如果要计算容器中水面的高度，需要知道长方体玻璃容器的（）A．侧面积 B．底面积 C．表面积9．把一个长10dm、宽5dm、高7dm的长方体，截成棱长为2dm的小正方体，最多可以截成（）个．A．43 B．44 C．3010．从前面、右面和上面分别观察一个长方体，看到的形状如图：这个长方体的体积是（）立方厘米．A．45 B．60 C．80 D．100二．填空题（共8小题）11．一根长3分米的长方体木材，把它横截成2段时，表面积增加了40平方厘米，原来木材的体积是立方厘米．12．在横线里填上合适的数．3.05m3＝dm37200cm3＝dm32m3＝dm335cm3＝dm38460dm3＝m33dm350cm3＝dm3＝cm36.25m3＝m3dm313．78.4立方分米＝立方米；升＝毫升．14．如图，甲的体积乙的体积；甲的表面积乙的表面积．A．＞B．＝C．＜15．把一根2米长的长方体钢材截成3段，表面积比原来增加了24平方分米，这根钢材原来的体积是立方米．16．李叔叔从一个长方体的一端截下一个最大的正方体后，长方体剩余部分的长是8分米，宽和高与原来相同，表面积减少了36平方分米．剩余长方体的体积是立方分米．17．一个商品盒是正方体形状，棱长为6厘米，这个商品盒的体积是立方厘米，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积是平方厘米．18．如图是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的体积是，表面积是．三．判断题（共5小题）19．求容积和求体积，计算方法相同．．（判断对错）20．当正方体的棱长为6cm时，正方体的体积和表面积的数值相等．（判断对错）21．两个体积一样大的杯子，它们的容积不一定相等．（判断对错）22．一根方木的体积是60立方分米，长20分米，这根方木的横截面积是3分米．（判断对错）23．体积大的长方体的表面积一定大．（判断对错）四．计算题（共1小题）24．计算下面长方体和正方体的表面积和体积．（单位：cm）（1）（2）五．应用题（共6小题）25．一间长方体形状仓库从里面量长9米，宽6米，高米．这间仓库的容积是多少立方米？26．某建筑工地运来8m3的生石灰，把它倒进一个长5m、宽36dm、高50cm的池子里，能把池子倒满吗？27．在冰雕大赛中，李叔叔把一个长是9m、宽是8m、高是12m的长方体冰块加工成了一个棱长是8m的正方体冰块．（1）这个正方体冰块的体积是多少立方米？（2）被加工掉的冰块的体积是多少立方米？28．为了迎接六一儿童节，实验小学五年级学生用棱长4cm的正方体积木在宣传栏旁边搭了一面长8m、宽12cm、高2m的宣传墙．这面墙一共用了多少块积木？29．将一块长10dm，宽8dm的长方形铁皮四个角各剪下一个边长为2dm的正方形（如图），然后焊成一个无盖的长方体水槽．这个水槽用了多少铁皮？水槽盛水多少升？（不计铁皮的厚度）30．一个长方体形状的玻璃容器的底面是一个边长为2分米的正方形，容器里面装有5升水，将一个铁球浸没在水中（水未溢出），这时水深1.5分米．这个铁球的体积是多少立方分米？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据题意，把36个棱长1cm的正方体摆成一个长方体，体积没有改变，是这36个小正方体的体积和，由正方体的体积计算公式V＝a3解答可得．【解答】解：1×1×1×36＝1×36＝36（立方厘米）答：这个长方体的体积是36立方厘米．故选：B．【点评】关键是明确无论拼成什么图形，体积没有改变，都是这36个小正方体的体积和．2．【分析】根据对1立方厘米、1立方分米、1立方米实际有多大的认识，结合生活实际及数值的大小，数学课本的体积用“立方厘米”作计量单位．【解答】解：数学课本的体积约是400立方厘米．故选：A．【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．3．【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．【解答】解：A、1000毫升＝1升1升＜10升因此，1000毫升水比10升水多是错误的；B、升、毫升、毫米都是容量单位，说法错误，因为毫米是长度单位；C、毫升是比升小的容积单位，说法正确；故选：C．【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．4．【分析】大正方体的棱长是2cm，然后根据正方体体积公式V＝a3解答即可．【解答】解：2×2×2＝4×2＝8（立方厘米）答：这个大正方体的体积是8立方厘米．故选：D．【点评】本题考查了正方体体积公式V＝a3的灵活运用．5．【分析】首先分别求出沿长方体的长一排可以放几个，沿长方体的宽可以放几排，沿长方体的高可以放几层，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：12÷2＝6（个）9÷2＝4（排）…1（分米）8÷2＝4（层）6×4×4＝96（个）答：最多能放96个正方体木块．故选：B．【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．6．【分析】首先根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铺这段路需要混凝土的体积，然后用混凝土的体积除以运料车每次运的体积即可．【解答】解：25厘米＝0.25米80×15×0.25÷6＝1200×0.25÷6＝300÷6＝50（次）答：这辆运料车至少运50次才能完成任务．故选：C．【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：长度单位相邻单位之间进率及换算．7．【分析】先求出每条棱长上最多能放的块数，即沿长方体木箱的长每排可以放多少块，沿长方体木箱的宽可以放多少块，沿长方体木箱的高可以放多少层，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：以长为边最多放：6÷2＝3（块）以宽为边最多放：4÷2＝2（块）以高为边最多放：5÷2＝2（层）…1（分米）所以：3×2×2＝12（块）答：最多能放12块．故选：B．【点评】解答此题时不要用大体积除以小体积来计算块数，因为高还有剩余．8．【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝sh，那么h＝V÷S，由此得：将6升水倒入一个长方体玻璃容器中（玻璃厚度不计），如果要计算容器中水面的高度，需要知道长方体玻璃容器的底面积．据此解答即可．【解答】解：将6升水倒入一个长方体玻璃容器中（玻璃厚度不计），如果要计算容器中水面的高度，需要知道长方体玻璃容器的底面积．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的容积（体积）公式及应用．9．【分析】以长为边，最多能截10÷2＝5（个），以宽为边，最多能截5÷2＝2（个）…1（dm），以高为边，最多能截7÷2＝3（个）…1（dm），再把每条棱上截的个数相乘即可计算．【解答】解：10÷2＝5（个）5÷2＝2（个）…1（dm）7÷2＝3（个）…1（dm）5×2×3＝30（个）答：最多可以截成30个．故选：C．【点评】此类问题，先求出每条棱长上最多能截成的小正方体的个数，再把每条棱上截成的个数相乘即可计算出最多可以截成的个数．10．【分析】根据长方体的特征可知，长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，再根据长方体的体积公式V＝abh，把数据代入计算即可解答．【解答】解：5×4×3＝20×3＝60（立方厘米）答：这个长方体的体积是60立方厘米．故选：B．【点评】本题考查了长方体的体积公式的灵活运用．二．填空题（共8小题）11．【分析】首先理解：把长3分米的长方体横截成两段，成为两个长方体，表面积增加了40平方厘米，表面积增加的是两个截面的面积．40÷2＝20平方厘米，20平方厘米是一个截面的面积，也就是原来长方体的底面积．根据体积公式：v＝sh，把数据代入公式解答．【解答】解：3分米＝30厘米底面积：40÷2＝20（平方厘米）体积：20×30＝600（立方厘米）答：原来长方体的体积是600立方厘米．故答案为：600．【点评】此题主要考查长方体体积的计算，关键是求出底面积，再把数据代入体积公式解答即可．12．【分析】（1）、（3）高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000．（2）、（4）低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000．（5）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．（6）把50立方厘米除以进率1000化成0.05立方分米再加3立方分米就是3.05立方分米；高级单位立方分米化低级单位立方厘米乘进率1000．（7）6.25立方分米看作6立方分米与0.25立方分米之和，把0.25立方分米乘进率1000化成250立方厘米．【解答】解：（1）3.05m3＝3050dm3（2）7200cm3＝7.2dm3（3）2m3＝2000dm3（4）35cm3＝0.035dm3（5）8460dm3＝8.46m3（6）3dm350cm3＝3.05dm3＝3050cm3（7）6.25m3＝6m3250dm3故答案为：3050；7.2；2000；0.035；8.46；3.05，3050；6，250．【点评】立方米、立方分米、立方厘米相邻之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率．13．【分析】（1）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．（2）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．【解答】解：（1）78.4立方分米＝0.0784立方米；（2）升＝750毫升．故答案为：0.0784，750．【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率．14．【分析】通过观察图形可知，甲图和乙图大小、形状相同，不同的地方是乙图比甲图在上面少了一个小正方体，显然甲的体积比乙的体积多一个小正方体的体积，所以甲的体积大于乙的体积．乙图比甲图在上面少了一个小正方体，则乙图比甲图多露出2个面，所以甲的表面积比乙的表面积小．【解答】解：由分析可得，甲的体积大于乙的体积．甲的表面积小于乙的表面积．故选：A，C．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的体积、表面积的意义及应用．15．【分析】把一根长3米的长方体钢材截成3段，表面积增加了4个横截面的面积，由此可以求得这个长方体钢材的横截面的面积为24÷4＝6平方分米，再利用长方体的体积公式V＝Sh即可解答．【解答】解：24÷4＝6（平方分米）6平方分米＝0.06平方米0.06×2＝0.12（立方米）答：这根钢材原来的体积是0.12立方米．故答案为：0.12．【点评】根据切割特点，利用增加部分的表面积求出长方体钢材的横截面的面积是解决本题的关键．16．【分析】根据题干分析可得，表面积比原来减少了36平方分米是指减少了最大的正方体的4个面的面积．首先用36÷4＝9平方分米，求出减少部分的1个面的面积，可求原来长方体的宽和高，再根据长方体体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：36÷4＝9（平方分米）9＝3×3故原来长方体的宽和高都是3分米，3+8＝11（平方分米）8×3×3＝24×3＝72（立方分米）答：剩余长方体的体积是72立方分米．故答案为：72．【点评】此题考查了正方体的表面积公式、长方体的体积公式的运用，关键是由减少部分的面积求出原来长方体的宽和高（即最大的正方体的棱长），再利用长方体的体积公式解答．17．【分析】根据正方形的体积V＝a3，即可求商品盒的容积；贴商标纸的面积就是4个面的面积，依据已知条件，求出4个面的面积即可．【解答】解：6×6×6＝216（立方厘米）6×6×4＝144（平方厘米）答：这个商品盒的体积是216立方厘米，贴商标的面积是144平方厘米．故答案为：216；144．【点评】解答有关正方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．18．【分析】根据题干分析可得，每个小正方体的体积是1立方厘米，数出图形中一共有多少个小正方体，求出它们的体积之和即可解答体积．棱长为1cm的正方体的一个面的面积是1平方厘米，观察图形可知，图形的前后、上下4个面各有8个小正方体的面，左、右面分别是由3个小正方体的面组成的，由此即可求出这个图形的表面积．【解答】解：体积：4×3×1＝12（立方厘米）1×8×4+1×3×2+1＝32+6＝38（平方厘米）答：它的体积是12立方厘米．表面积是38平方厘米．故答案为：12立方厘米，38平方厘米．【点评】此题考查了不规则图形的体积与表面积的计算方法的灵活应用．三．判断题（共5小题）19．【分析】物体的体积是指物体所占空间的大小；物体的容积是指物体所能容纳物质的多少；它们的意义不同，在测量数据时，计算体积需从物体的外面测量；而计算容积需从物体的里面测量，但它们的计算方法相同，都是用长乘宽乘高；据此解答．【解答】解：体积是指物体所占空间的大小；容积是指容器所能容纳物体的体积，是容器（箱子、仓库、油桶等）的内部体积；容积的计算方法跟体积的计算方法相同，即V＝abh．故“求容积和求体积，计算方法相同”是正确的．故答案为：√．【点评】本题主要考查容积与体积的区别，以及容积、体积的计量方法，应理解和掌握．20．【分析】正方体的体积公式是：V＝a3，表面积公式是：S＝6a2，直接利用公式计算，再比较数值即可求解．【解答】解：表面积：6×6×6＝216（平方厘米）体积：6×6×6＝216（立方厘米）216＝216故当正方体的棱长为6cm时，正方体的体积和表面积的数值相等是正确的．故答案为：√．【点评】此题主要考查正方体的体积和表面积的计算，直接根据公式解答．21．【分析】容积是指物体所容纳物体的体积，两个体积一样大的杯子，杯子的厚度不一样，所容纳物体的体积就不一样，杯子厚的容纳的体积少些，杯子薄的容纳的体积多些，如果厚度一样，容积就一样大，据此解答即可．【解答】解：两个体积一样大的杯子，它们的容积不一定相等，说法正确；故答案为：√．【点评】此题考查容积的意义，解决此题的关键是容积的定义，注重杯子的厚度．22．【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，用方木的体积除以长即可求出这根方木的横截面积．【解答】解：60÷20＝3（平方分米）答：这根方木的横截面积是3平方分米．故题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查长方体的体积公式在实际生活中的应用．23．【分析】长方体的体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，可以通过举例证明．【解答】解：设长方体的长2.1、宽2、高2，体积是：2.1×2×2＝8.4表面积是：（2.1×2+2.1×2+2×2）×2＝24.8；设长方体的长4、宽2、高1，体积是：4×2×1＝8表面积是：（4×2+4×1+2×1）×2＝28；因此体积大的长方体的表面积不一定大，题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】本题可用举反例的方法进行解答．四．计算题（共1小题）24．【分析】（1）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长．代入数值进行计算即可求解．（2）因为底面积＝长×高，用底面积除以高3求出长方体的长，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；代入数值进行计算即可求解．【解答】解：（1）表面积：8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）体积：8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）答：正方体的表面积是384平方厘米，体积是512立方厘米．（2）表面积：30÷3＝10（厘米）（10×4+10×3+4×3）×2＝（40+30+12）×2＝82×2＝164（平方厘米）10×4×3＝120（立方厘米）答：长方体的表面积是164平方厘米，体积是120立方厘米．【点评】此题主要考查正方体和长方体的表面积、体积的计算，直接根据它们的表面积公式、体积公式解答．五．应用题（共6小题）25．【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答即可．【解答】解：9×＝＝189（立方米）答：这间仓库的容积是189立方米．【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．26．【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式求出长5m、宽36dm、高50cm的池子需要沙多少立方米，然后与8立方米进行比较即可，如果8立方米等于或大于沙坑中所填沙的体积，说明能把池子倒满，否则就不能．【解答】解：36分米＝3.6米，50厘米＝0.5米3.6×0