圆的知识点总结及典型例题复习

...wd......wd......wd...《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；〔补充〕2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线〔也叫中垂线〕；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离〔图1〕无交点；外切〔图2〕有一个交点；相交〔图3〕有两个交点；内切〔图4〕有一个交点；内含〔图5〕无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径或∵∴∴是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形∴九、切线的性质与判定定理〔1〕切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线〔2〕性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分十一、圆幂定理〔1〕相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴〔2〕推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径，∴〔3〕切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴〔4〕割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如上图〕。即：在⊙中，∵、是割线∴十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：〔1〕公切线长：中，；〔2〕外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。十四、圆内正多边形的计算〔1〕正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进展：；〔2〕正四边形同理，四边形的有关计算在中进展，：〔3〕正六边形同理，六边形的有关计算在中进展，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：〔1〕弧长公式：；〔2〕扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积2、圆柱：〔1〕圆柱侧面展开图=〔2〕圆柱的体积：〔2〕圆锥侧面展开图〔1〕=〔2〕圆锥的体积：典型例题例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示〔点O，O′是圆心〕，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．例2．如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．例3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是〔〕例4．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系为什么〔2〕如果OE=OF，那么与的大小有什么关系AB与CD的大小有什么关系为什么∠AOB与∠COD呢例5．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．〔2〕假设交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由．例6如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，假设∠BAC=80°，则∠BOC=〔〕A．130°B．100°C．50°D．65°例7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．〔1〕CD与⊙O相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．〔2〕假设CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．_A_y__A_y_x_O〔1〕假设点B坐标为〔4，0〕，⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；〔2〕假设⊙B过M〔－2，0〕且与⊙A相切，求B点坐标．例9．如图，正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．例10．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如以以下图，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．〔1〕求△ABC的边AB上的高h．〔2〕设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大〔3〕实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．例11．操作与证明：如以以下图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a．例12．扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．〔1〕求扇形的弧长；〔2〕假设将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少例13、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)假设BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．例14.：如图等边内接于⊙O，点是劣弧PC上的一点〔端点除外〕，延长至，使，连结．〔1〕假设过圆心，如图①，请你判断是什么三角形并说明理由．〔2〕假设不过圆心，如图②，又是什么三角形为什么AOCDAOCDPB图①AOCDPB图②例15.如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，，垂足为，平分．DECBDECBOA〔2〕假设，求的长．例16、如图，在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影局部的面积；(2)假设用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.O①②③例17.O①②③〔1〕求这个扇形的面积〔结果保存〕．〔2〕在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥请说明理由．〔3〕当⊙O的半径为任意值时，〔2〕中的结论是否仍然成立请说明理由．例18.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE(2)假设将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)假设将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么例19、〔2010山东德州〕如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BADBACDEGOF交BACDEGOF〔1〕求证：BC与⊙O相切；〔2〕当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．例20、〔2010广东广州〕如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点〔与端点A、B不重合〕，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．CPDOCPDOBAE〔2〕判断∠ACB是否为定值，假设是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；〔3〕记△ABC的面积为S，假设＝4，求△ABC的周长.例21．〔2010江西〕“6〞字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B，OB与小圆相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，设，〔１〕求证：AD是小圆的切线；〔２〕在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；〔３〕当，求DH的长例22.〔2010江苏泰州，28，12分〕在平面直角坐标系中，直线〔k为常数且k