三角中的结构不良问题

三角中的结构不良问题思路引导思路引导1.“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算．可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．母题呈现母题呈现【典例】在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，_________．（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量x的取值集合；（2）求在的单调递增区间．【解析】（1）若选条件①，.【难点】根据三角恒等变换化为一角一函数因为是函数图象的一条对称轴，所以，即，所以，又，所以，，当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为；若选条件②，.因为是函数的一个零点，所以，即，所以，又，【技巧】根据对称轴求.所以，．当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为；若选条件③，.因为函数在上单调递增，且的最大值为，则，所以，即，又，所以，．【技巧】根据单调区间求.当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为．（2）令，由于函数在区间上单调递增，即时，函数单调递增，也即时，函数单调递增．所以，可取即时，函数单调递增，即当时，函数单调递增．方法总结方法总结“结构不良问题”的解题策略：（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．模拟训练模拟训练1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角的对边分别是，且满足_______，．(1)若，求的面积;(2)求周长的取值范围．【来源】四川省南充高级中学2023届高考模拟检测（七）理科数学试题【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到，再由余弦定理求得，即可计算的面积.（2），由正弦定理边化角再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围.【详解】（1）若选条件①，由及正弦定理，得即，化简得，因为，所以，所以，因为，所以．若选条件②，由及正弦定理，得，即，化简得,因为，所以，所以，因为，所以．若选条件③，由化简得，，由余弦定理得，即，因为，所以，所以三个条件，都能得到.由余弦定理得，即，解得，所以的面积.（2）因为，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以周长的取值范围为.2．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求△ABC的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）【来源】云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题【分析】（1）选①，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，求出；选②，由正弦定理变形得到，结合正弦和角公式，诱导公式求出，得到；（2）由求出，由，结合第一问结论得到，求出，利用三角形面积公式求出答案.【详解】（1）选①，由正弦定理，得．所以．化简为．由余弦定理．由于所以．选②．由正弦定理．，得．化简得，由两角和的正弦公式得．由诱导公式化简得．因为，，所以，，所以．由于所以．（2），即．由（1）知：，所以，因为，，所以．即△ABC为边长是4的等边三角形．．3．在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，内角所对的边分别是，__________.(1)求；(2)若，求的周长的取值范围.【来源】陕西省汉中市20222023学年高二上学期期末文科数学试题【分析】（1）选①或②：由正弦定理得到，再由余弦定理得到，结合，求出；选③：由正弦定理化简得到，进而得到，，求出；（2）由余弦定理结合基本不等式可得出，从而可求得的周长的取值范围.【详解】（1）选①，，，又，又，.选②，，又，又，.选③，，，又，.（2）由余弦定理得：，，当且仅当时，取等号.，又，的周长的取值范围为4．从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______，（1）求B；（2）若面积的最大值为，求b．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【试题来源】浙江省金华十校20222023学年高三上学期期末【解析】（1）若选①：因为，所以，解得或（舍去），所以，又，所以；若选②：由正弦定理角化边可得，所以．又，所以；若选③：由正弦定理边化角可得，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，又，所以；（2）由（1）及余弦定理可知，所以，由基本不等式得，所以，当且仅当时等号成立，所以，又的面积的最大值为，所以．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，并灵活应用，在求面积最大值时，需结合基本不等式求解，考查计算求值的能力，属中档题．5．在中，，___________．（1）求；（2）若，求．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)【试题来源】湖北省襄阳市部分优质高中20222023学年高三上学期2月联考【解析】（1）因为，所以因为，所以即，因为，；（2）若选①则在中，由余弦定理，得，解得或(舍去)，所以若选②，则，由正弦定理，得，解得，所以；若选③，由余弦定理得，解得或(舍去)，所以．6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？【试题来源】广东省揭阳市20222023届高三下学期教学质量测试【解析】由结合正弦定理可得，所以．因为，所以．[选择条件①的答案]所以．由得，所以．因为，所以．所以．由正弦定理得．[选择条件②的答案]所以．因为，所以．由正弦定理得．[选择条件③的答案]所以．由得．因为，所以．所以三角形不存在．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使，求线段BD的长度．【试题来源】江苏省无锡市20222023届高三下学期2月教学质量检测【解析】（1）选①因为，及正弦定理，所以，因为在中，，所以，所以所以，因为在中，，所以，所以，则．选②因为，及正弦定理，所以所以因为在中，，所以，所以因为在中，，所以．选③由余弦定理得因为在中，，所以，则．（2）第一问的答案都一样在中，因为，由余弦定理得所以，得（舍去）由正弦定理得，所以，则，由余弦定理得在中，，所以所以由正弦定理得，则【名师点睛】本题需要熟练运用正余弦定理进行边角互化，遇到多三角形问题，可以从要求的结果出发，把所求量放在一个三角形中，然后逆向思考．8．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题．问题：已知的内角及其对边，若，且满足___________．求的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【试题来源】福建省名校联盟优质校20222023届高三大联考【解析】选择条件①：因为，所以，根据正弦定理可得，由余弦定理得，又由，可得，根据余弦定理得，则，所以，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．选择条件②：因为，由余弦定理得，所以，，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．选择条件③：因为，由余弦定理得，因为，可得，又由余弦定理得，所以，，所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．9．在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若，，点在边上，___________，求的长．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分)．【试题来源】广东省中山市20222023届高三上学期期末【解析】（1）在中，由正弦定理及，得．因为为锐角三角形，所以，所以．所以．因为，所以．（2）若选①．在中，由余弦定理，得，所以，所以．在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即．又，所以．所以，所以．若选②．在中，，即，即，解得．若选③．在中，由余弦定理，得，所以．因为，又，所以，解得．10．已知的内角所对的边分别是在以下三个条件中任先一个：①；②；③；并解答以下问题：（1）若选___________填序号，求的值；（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积S的最大值．【试题来源】湖南师范大学附属中学20222023届高三下学期月考（六）【解析】（1）若选①，由已知化简得，由正弦定理得，由余弦定理得．因为，所以；若选②，由二倍角公式，故，因为，所以；若选③，由题设及正弦定理得．因为，所以由可得故，因为，故，因此；（2）由已知，当有且只有一解时，或，即或，故或，，①当时，为直角三角形，B为直角，，故，所以；②当时，由余弦定理可得当且仅当时等号成立，三角形面积为，即面积的最大值．综上，面积的最大值．11．现有三个条件①，②，③，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答．已知的内角所对的边分别是，，，若______．（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求周长取最小值时的面积．【试题来源】江苏省南京市中华中学202