重组卷05（文科）-冲刺2022年高考数学真题重组卷（全国甲卷）

绝密★启用前冲刺2022年高考数学真题重组卷05文科（全国甲卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（2017·山东卷（文科））设集合则A． B． C． D．2．（2017·山东卷（文科））已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．3．（2017·北京卷（文科））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．20 B．10 C．30 D．604．（2017·山东卷（文科））设,若,则A．2 B．4 C．6 D．85．（2018·天津卷（文科））已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A． B．C． D．6．（2018·全国新课标Ⅲ卷（文科））函数的最小正周期为A． B． C． D．7．（2019·全国新课标Ⅲ卷（文科））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．28．（2018·天津卷（文科））在如图的平面图形中，已知,则的值为A． B．C． D．09．（2018·全国新课标Ⅲ卷（文科））设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．10．（2017·北京卷（文科））根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．109311．（2018·全国新课标Ⅱ卷（文科））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．12．（2016·浙江（文科））如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）若A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2018·天津卷（文科））i是虚数单位，复数___________.14．（2017·全国新课标Ⅱ卷（文科））已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.15．（2017·北京卷（文科））已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_________．16．（2018·全国新课标Ⅲ卷（文科））已知函数，，则________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（2017·全国新课标Ⅱ卷（文科））已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.18．（2018·全国新课标Ⅱ卷（文科））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（2018·全国新课标Ⅲ卷（文科））如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．20．（2017·山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.21．（2021·全国甲卷（文科））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.22．（2017·全国新课标Ⅰ卷（文科））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．23．（2020·全国新课标Ⅰ卷（文科））已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．参考答案：1．C【解析】【详解】由得,故,故选C.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考查等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图．2．B【解析】【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；故命题，，均为假命题，命题为真命题．故选：B．3．B【解析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】在如图所示的长宽高分别为3，4,5的长方体中，三视图所对应的几何体为棱锥，可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.4．C【解析】【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．5．A【解析】【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.6．C【解析】【详解】分析:将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题7．C【解析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．8．C【解析】【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．9．B【解析】【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．10．D【解析】【详解】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.11．D【解析】【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12．A【解析】【详解】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．13．4–i

【解析】【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．12【解析】【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.15．6【解析】【详解】试题分析：所以最大值是6.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为.16．【解析】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，，且，则.故答案为2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.17．（1）；（2）5或.【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1）∵，结合得，∴.（2）∵，解得或3，当时，，此时；当时，，此时.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.18．（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】【详解】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果;（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.19．（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明．（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．20．（Ⅰ）.(II).【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由得,由椭圆C截直线y=1所得线段的长度为,得,求得椭圆的方程为；（Ⅱ）由,解得,确定,,结合的单调性求的最小值.试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，又当时，，得，所以，因此椭圆方程为.（Ⅱ）设，联立方程，得，由得.（*）且，因此，所以，又，所以整理得，因为，所以.令，故，所以.令，所以.当时，,从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以，由（*）得且.故，设，则，所以的最小值为，从而的最小值为，此时直线的斜率是.综上所述：当，时，取到最小值.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．21．（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的