71条件概率及全概率（精讲）

7.1条件概率及全概率（精讲）考点一条件概率【例11】（2022春·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】9个球中不放回地依次取2个数，基本事件总数可以计数为：，分别求事件A与事件A、B同时发生的概率根据条件概率公式计算即可．由题意得，，．故选：D．【例12】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75【答案】C【解析】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，则由题意得，，所以她两次均击中9环的概率为．故选：C．【一隅三反】1．（2022甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选B．2．（2023安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．故选：．3．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为.故选：.考点二全概率【例21】（2022·高二课时练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（

）A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64【答案】C【解析】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则，所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．故选：C．【例22】．（2022·高二课时练习）“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失的一箱为分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得．故选：A【例23】．（2022春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，，，则，于是得，即，而，则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，，即，所以n次传球后球在甲手中的概率是.故选：C【一隅三反】1．（2022河北石家庄·高二统考期末）某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占，来自乙厂的占.已知甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品是合格品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设、分别表示为买到的产品来自甲厂、来自乙厂，表示买到的产品是合格品，则，，，，所以.故选：C.2．（2022春·吉林·高二校联考期末）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75【答案】B【解析】设表示选到i级射手的事件，B表示任选一名射手能通过选拔进入比赛的事件，则,,故任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为,故选：B3．（2022春·福建宁德·高二统考期末）某高校有智能餐厅、人工餐厅，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲第二天去餐厅用餐的概率为（

）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38【答案】B【解析】由题设，.故选：B4．（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（

）A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08【答案】C【解析】依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是，所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为，故选：C．考点三综合运用【例31】（2022云南）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以当，，时，，A错，又由概率的性质可得，B错，由得，C对，，当不独立时，，D错，故选：C.【例32】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期末）（多选）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B．第二次取到1号球的概率C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种【答案】BCD【解析】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球,,则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A错误对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球,,依题意两两互斥,其和为,并且应用全概率公式,有，故B正确；对于C选项，依题设知,第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同,则故在第二次取到1号球的条件下,它取自编号为的口袋的概率最大.故C正确对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确故选：BCD【一隅三反】1．（2022春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．事件与事件B不相互独立 D．【答案】BCD【解析】对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，，，，正确；对选项D：，，正确；故选：BCD2．（2022秋·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）（多选）记，分别为，的对立事件，且，，.则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由题可知，，则，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：ABC3．（2022春·福建福州·高二校联考期末）（多选）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（

）A．事件与事件相互独立 B．C． D．【答案】BD【解析】由题意知：，，，，，，，D正确；，B正确；，C错误；，，，事件与事件不相互独立，A错误.故选：BD.4．（2022春·广东·高二校联考期末）（多选）现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（

）A．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为B．两份报告表都是男士的概率为C．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为D．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为【答案】AC【解析】对于A