专题08导数及其应用小题拔高练

【一专三练】专题08导数及其应用小题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·浙江温州·统考二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设可得，，结合结构特征，先构造函数，利用导数分析单调性，比较出；结合，，进而求解.【详解】因为，，即，，先证明，设，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，所以，即，即.而，所以.故选：D.2．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数图象的对称性，将关于的方程有且仅有四个相异实根，转化为关于的方程在有且仅有两个相异实根，结合函数的图象，数形结合，求出的取值范围.【详解】，，关于的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，即在上有两个不相等的实数根，化简得：.令，，由，得，由，得，在为减函数，为增函数，又时，，时，，的简图如图所示：直线恒过点，，，时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点，此时方程在上有一个实数根，不符合题意；由图可知当或时，直线与均有两个公共点，即方程在上有两个不相等的实数根，∴关于的方程有且仅有四个相异实根时，的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把方程有四个根的问题转化为上有两个根的问题，通过构造函数，结合导数研究出函数的性质，结合简图找出临界状态，从而得到解答.3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（

）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值【答案】C【分析】结合导数运算公式由条件求，由此可得，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数的极值即可.【详解】∵，∴．取可得，，由，令，得，因为，可得，∴，则，∴．令，则；令，，易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，所以当时，取最小值，又，当时，，时，，∴存在，，使得．不妨设，则当时，，当时，，当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．∴既有极大值，又有极小值．故选：C.4．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】，，所以函数关于对称，，，，恒成立，则是增函数，由，则则，得，故选：A5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形，得，，，构造函数，利用导数得在上为减函数，在上为增函数，根据单调性可得，，再根据可得答案.【详解】，，，设，则，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以，综上所述：.故选：D6．（2023·广东广州·统考一模）已知均为正实数，为自然对数的底数，若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值法当时，，排除选项A，B，C；再证明选项D成立.【详解】已知均为正实数，,当时，，满足成立，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误，对于D，由已知，则，.由则，所以，即，得，，即.下面证明，.设，，所以在区间上单调递增，所以>，即.所以，故D正确，故选：D.7．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是（

）A．数列的通项为 B．数列的通项为C．当时， D．【答案】B【分析】设直线与曲线方程联立，由结合韦达定理直线的方程可得出从而可判断A,B选项;由，，可判断选项C；设，求出其导数，得出其单调性，从而得出，根据可判断选项D.【详解】设直线，联立，得，则由，即，得(负值舍去)，所以可得，，所以A对，B错；因为，，所以，故C对；因为，令，，可得在上递减，可知在上恒成立，又.所以成立，故D正确.故选：B.8．（2023·江苏泰州·统考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.二、多选题9．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知实数a,b满足:且,则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可.【详解】解:由题知,当且仅当时取等,故有:关于选项A,构造,所以在上单调递增,,即,故选项A正确;关于选项B,不妨取代入,可得不成立,故选项B错误;关于选项C,,,故选项C正确;关于选项D,构造,令,在单调递减,当时，,,即即单调递减,,即,,,,故选项D正确.故选:ACD10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知,，下列说法正确的是（

）A．存在使得是奇函数B．任意､的图象是中心对称图形C．若为的两个极值点，则D．若在上单调，则【答案】ABD【分析】对于A，当时,为奇函数，从而即可判断；对于B，设函数的对称中心为,根据，求出对称中心即可判断；对于C，求导，由题意和韦达定理可得，，再由重要不等式得，即可判断；对于D，由题意可得恒成立，由，求解即可.【详解】解：对于A，当时,为奇函数，故正确；对于B，设函数的对称中心为,则有，又因为，，所以，解得，所以的对称中心为，故正确；对于C，因为，又因为为的两个极值点，所以，，所以C错误；对于D，若单调，则有恒成立，所以，解得，选项D正确.故选：ABD.11．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.【详解】因为为奇函数，定义域为R，所以，故，等式两边同时取导数，得，即①，因为的图象关于y轴对称，则，故，等式两边同时取导数，得②.由，令，得，解得，由，令，得，由②，令，得，令，得，解得，故选：ABD.12．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数，则（

）A．当时，在有最小值1B．当时，图象关于点中心对称C．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是【答案】AC【分析】利用基本不等式判断选项；利用函数的对称性即可判断选项；利用导数判断函数的单调性即可判断选项；举例说明即可判断选项.【详解】对于，当时，，当时，则当且仅当，即时去等号，所以函数在有最小值1，故选项正确；对于，当时，则，因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；对于，当时，则，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则当时，对任意恒成立，故选项正确；对于，因为时，函数，，函数在上有一个零点，所以选项错误，故选：.13．（2023·湖南·模拟预测）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】构造函数，利用导数得出，由基本不等式判断A；由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.【详解】解：因为正数，满足，所以，构造函数，，令，恒成立，所以在上单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，所以在上单调递增，由，可得，对于A，，所以，故A错误对于B，由，可得，所以，故B正确对于C，由，可得，则，故C错误对于D，由，可得，，所以，所以，故D正确．故选：BD．14．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由可得，进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.【详解】可得，时，为递减函数，故，故A正确；取，则，故B错误；令时，恒成立，故在上单调递增，时，有，故，故C正确；，，则，则，又则，故，故D正确；故选：ACD.15．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数的导函数为，则以下结论中，正确的是（

）A．是的对称中心 B．是增函数C．是偶函数 D．最大值与最小值的和为2【答案】ACD【分析】根据函数的解析式、定义域，求解导函数，根据函数对称性、最值、单调性与导函数函数性质逐项判断即可得答案.【详解】对A，已知函数，则，所以，因此关于点对称，故A正确；对B，又，则，所以不是增函数，故B不正确；对C，又，所以是偶函数，故C正确；对D，又函数在闭区间上有最值，又关于点对称，所以最大值与最小值的和为2，故D正确.故选：ACD.16．（2023·广东广州·统考一模）已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（

）A．若关于的方程在上无解，则B．存在关于直线对称C．若存在关于轴对称，则D．若存在满足，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答.【详解】函数，对于A，方程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，解得，因此关于的方程在上无解，则或，A错误；对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，，即函数在上单调递增，，而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，因此函数的值域为，又，于是在有解，所以存在关于直线对称，B正确；对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，即，令，，即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确；对于D，令，由得，显然，且，，令，，当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，即有，，而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确.故选：BCD17．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，若，其中，则（

）A． B．C． D．的取值范围为【答案】BCD【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．【详解】因为，所以，令，解得或，当时，或，所以单调递增区间为和；当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，设，则，，故A错误；又，所以，即，对照系数得，故选项C正确；，故选项D正确；因为，所以，解得，故选项B正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．三、填空题18．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．【答案】【分析】先求导函数，由题可得，分类讨论和时，是否存在符合的值即可判断.【详解】由题知，令，则．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得，，．当时，，，与题目矛盾；当时，由，可得的值域是故，使得，，．故答案为：．19．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【答案】【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.【详解】解：令，则，，．因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为．故答案为：.20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是______________．【答案】【分析】分析的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.【详解】，所以是奇函数，又，在R的范围内是增函数，有解等价于，有解，令，当时，是增函数，当x趋于时，趋于，满足题意；当时，当时，，是增函数，当时，是减函数，；令，则，当时，，是增函数，当时，是减函数，并且当时，，，当时，即当时，满足题意，所以a的取值范围是；故答案为：.21．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．【答案】【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：22．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.【答案】4【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果．【详解】因为函数有两个极值点与由，则有两根与所以，得因为，所以，又则，所以故答案为：23．（2023·湖北·统考模拟预测）函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________．【答案】【分析】分和两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象得到，当时，分和两种情况讨论，时，将转化为，然后借助函数的单调性和最值解不等式即可.【详解】由题意知，当时，；当时，；当时，．当时，，结合图象知；当时，，当时，显然成立；当时，，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以．综上，实数a的取值范围为．故答案为：．24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知a，b为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为__________．【答案】1【分析】根据题意将不等式进行等价转化为恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性进而求解.【详解】对任意，都有恒成立，故．由，得，所以，从而恒成立，故，易知，于是．设．设．故在上单调递增，结合，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．故，所以的最小值为1，此时．故答案为：.25．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数______．【答案】5【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵，∴，∴，即，即∵，∴，故答案为：26．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知，若对任意的，不等式恒成立，则m的最小值为______.【答案】【分析】不等式变形后构造同构不等式，，引入函数，利用其单调性，变形不等式，然后再分离参数转化为求新函数的最值，得