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文档简介

【一专三练】专题08导数及其应用小题拔高练新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·浙江温州·统考二模)已知,则(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】由题设可得,,结合结构特征,先构造函数,利用导数分析单调性,比较出;结合,,进而求解.【详解】因为,,即,,先证明,设,则,令,则;令,则,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,即,即,所以,即,即.而,所以.故选:D.2.(2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模)已知函数,若关于x的方程有且仅有四个相异实根,则实数的取值范围为(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用函数图象的对称性,将关于的方程有且仅有四个相异实根,转化为关于的方程在有且仅有两个相异实根,结合函数的图象,数形结合,求出的取值范围.【详解】,,关于的方程有且仅有四个相异实根,根据对称性知,时,有且仅有两个相异实根,即在上有两个不相等的实数根,化简得:.令,,由,得,由,得,在为减函数,为增函数,又时,,时,,的简图如图所示:直线恒过点,,,时,此时直线相切,直线与曲线只有一个公共点,此时方程在上有一个实数根,不符合题意;由图可知当或时,直线与均有两个公共点,即方程在上有两个不相等的实数根,∴关于的方程有且仅有四个相异实根时,的取值范围为.故选:D.【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是把方程有四个根的问题转化为上有两个根的问题,通过构造函数,结合导数研究出函数的性质,结合简图找出临界状态,从而得到解答.3.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测)已知定义域为的函数满足,,,若,则的极值情况是(

)A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值 D.既无极小值,也无极大值【答案】C【分析】结合导数运算公式由条件求,由此可得,再根据极值与导数的关系,利用导数求函数的极值即可.【详解】∵,∴.取可得,,由,令,得,因为,可得,∴,则,∴.令,则;令,,易知时,,在上单调递减;时,,在上单调递增,所以当时,取最小值,又,当时,,时,,∴存在,,使得.不妨设,则当时,,当时,,当时,.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.∴既有极大值,又有极小值.故选:C.4.(2023·湖南郴州·统考三模)已知函数,实数满足不等式,则下列不等式成立的是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根据条件判断函数关于对称,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】,,所以函数关于对称,,,,恒成立,则是增函数,由,则则,得,故选:A5.(2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模)已知,,(其中为自然常数),则、、的大小关系为(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】将变形,得,,,构造函数,利用导数得在上为减函数,在上为增函数,根据单调性可得,,再根据可得答案.【详解】,,,设,则,令,得,令,得,所以在上为减函数,在上为增函数,因为,所以,即,因为,所以,所以,所以,所以,即,因为,所以,综上所述:.故选:D6.(2023·广东广州·统考一模)已知均为正实数,为自然对数的底数,若,则下列不等式一定成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用特殊值法当时,,排除选项A,B,C;再证明选项D成立.【详解】已知均为正实数,,当时,,满足成立,对于A,,故A错误;对于B,,故B错误;对于C,,故C错误,对于D,由已知,则,.由则,所以,即,得,,即.下面证明,.设,,所以在区间上单调递增,所以>,即.所以,故D正确,故选:D.7.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知一族曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.则下列结论错误的是(

)A.数列的通项为 B.数列的通项为C.当时, D.【答案】B【分析】设直线与曲线方程联立,由结合韦达定理直线的方程可得出从而可判断A,B选项;由,,可判断选项C;设,求出其导数,得出其单调性,从而得出,根据可判断选项D.【详解】设直线,联立,得,则由,即,得(负值舍去),所以可得,,所以A对,B错;因为,,所以,故C对;因为,令,,可得在上递减,可知在上恒成立,又.所以成立,故D正确.故选:B.8.(2023·江苏泰州·统考一模)若过点可以作曲线的两条切线,切点分别为,则的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】设切点,根据导数的几何意义求得切线方程,再根据切线过点,结合韦达定理可得的关系,进而可得的关系,再利用导数即可得出答案.【详解】设切点,则切线方程为,又切线过,则,有两个不相等实根,其中或,令或,当时,,当时,,所以函数在上递增,在上递减,,,当时,,当时,,所以,即.故选:D.二、多选题9.(2023·浙江温州·统考模拟预测)已知实数a,b满足:且,则(

)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可.【详解】解:由题知,当且仅当时取等,故有:关于选项A,构造,所以在上单调递增,,即,故选项A正确;关于选项B,不妨取代入,可得不成立,故选项B错误;关于选项C,,,故选项C正确;关于选项D,构造,令,在单调递减,当时,,,即即单调递减,,即,,,,故选项D正确.故选:ACD10.(2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模)已知,,下列说法正确的是(

)A.存在使得是奇函数B.任意、的图象是中心对称图形C.若为的两个极值点,则D.若在上单调,则【答案】ABD【分析】对于A,当时,为奇函数,从而即可判断;对于B,设函数的对称中心为,根据,求出对称中心即可判断;对于C,求导,由题意和韦达定理可得,,再由重要不等式得,即可判断;对于D,由题意可得恒成立,由,求解即可.【详解】解:对于A,当时,为奇函数,故正确;对于B,设函数的对称中心为,则有,又因为,,所以,解得,所以的对称中心为,故正确;对于C,因为,又因为为的两个极值点,所以,,所以C错误;对于D,若单调,则有恒成立,所以,解得,选项D正确.故选:ABD.11.(2023·山东济宁·统考一模)已知函数及其导函数的定义域均为R,若为奇函数,的图象关于y轴对称,则下列结论中一定正确的是(

)A. B. C. D.【答案】ABD【分析】根据为奇函数可得,根据的图象关于y轴对称可得,两个等式两边同时取导数,可得、,对x赋值,结合选项即可求解.【详解】因为为奇函数,定义域为R,所以,故,等式两边同时取导数,得,即①,因为的图象关于y轴对称,则,故,等式两边同时取导数,得②.由,令,得,解得,由,令,得,由②,令,得,令,得,解得,故选:ABD.12.(2023·山东淄博·统考一模)已知函数,则(

)A.当时,在有最小值1B.当时,图象关于点中心对称C.当时,对任意恒成立D.至少有一个零点的充要条件是【答案】AC【分析】利用基本不等式判断选项;利用函数的对称性即可判断选项;利用导数判断函数的单调性即可判断选项;举例说明即可判断选项.【详解】对于,当时,,当时,则当且仅当,即时去等号,所以函数在有最小值1,故选项正确;对于,当时,则,因为,所以此时函数图象不关于点中心对称,故选项错误;对于,当时,则,令,则,当时,;当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,则当时,对任意恒成立,故选项正确;对于,因为时,函数,,函数在上有一个零点,所以选项错误,故选:.13.(2023·湖南·模拟预测)已知正数,满足,则下列不等式正确的是(

)A. B.C. D.【答案】BD【分析】构造函数,利用导数得出,由基本不等式判断A;由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.【详解】解:因为正数,满足,所以,构造函数,,令,恒成立,所以在上单调递增,由复合函数的单调性可知在上单调递增,所以在上单调递增,由,可得,对于A,,所以,故A错误对于B,由,可得,所以,故B正确对于C,由,可得,则,故C错误对于D,由,可得,,所以,所以,故D正确.故选:BD.14.(2023·湖南·模拟预测)已知,则下列结论正确的是()A. B.C. D.【答案】ACD【分析】由可得,进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.【详解】可得,时,为递减函数,故,故A正确;取,则,故B错误;令时,恒成立,故在上单调递增,时,有,故,故C正确;,,则,则,又则,故,故D正确;故选:ACD.15.(2023·广东·校联考模拟预测)已知函数的导函数为,则以下结论中,正确的是(

)A.是的对称中心 B.是增函数C.是偶函数 D.最大值与最小值的和为2【答案】ACD【分析】根据函数的解析式、定义域,求解导函数,根据函数对称性、最值、单调性与导函数函数性质逐项判断即可得答案.【详解】对A,已知函数,则,所以,因此关于点对称,故A正确;对B,又,则,所以不是增函数,故B不正确;对C,又,所以是偶函数,故C正确;对D,又函数在闭区间上有最值,又关于点对称,所以最大值与最小值的和为2,故D正确.故选:ACD.16.(2023·广东广州·统考一模)已知函数,点分別在函数的的图像上,为坐标原点,则下列命题正确的是(

)A.若关于的方程在上无解,则B.存在关于直线对称C.若存在关于轴对称,则D.若存在满足,则【答案】BCD【分析】根据给定条件,求出方程在上有解的a范围判断A;设出点的坐标,由方程有解判断B;设出点的坐标,建立函数关系,求出函数的值域判断CD作答.【详解】函数,对于A,方程在上有解,显然函数在上单调递增,则有,解得,因此关于的方程在上无解,则或,A错误;对于B,设点,依题意,点Q关于直线对称点在函数的图象上,即关于t的方程有解,即有解,此时,令函数,,即函数在上单调递增,,而函数在上都单调递增,它们的取值集合分别为,因此函数的值域为,又,于是在有解,所以存在关于直线对称,B正确;对于C,设点,则点P关于y轴对称点在函数的图象上,即,令,,即函数在上单调递减,,又,恒有,因此,C正确;对于D,令,由得,显然,且,,令,,当时,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此,即有,,而,当且仅当时取等号,所以,即,D正确.故选:BCD17.(2023·广东深圳·统考一模)已知函数,若,其中,则(

)A. B.C. D.的取值范围为【答案】BCD【分析】对求导,利用导数判断函数的单调区间,从而可得函数的大致图象.设,由图象可得知,,的取值范围,从而可判断A;又根据,对照系数可得的值,可得得取值范围,从而可判断C,D;结合A和C即可判断B.【详解】因为,所以,令,解得或,当时,或,所以单调递增区间为和;当时,,所以单调递减区间为,的图象如右图所示,设,则,,故A错误;又,所以,即,对照系数得,故选项C正确;,故选项D正确;因为,所以,解得,故选项B正确.故选:BCD.【点睛】关键点点睛:先利用导数判断函数的单调区间,从而可得函数的大致图象,再利用数形结合求解是解答本题的关键.三、填空题18.(2023·浙江·统考一模)若曲线存在两条互相垂直的切线,则a的取值范围是________.【答案】【分析】先求导函数,由题可得,分类讨论和时,是否存在符合的值即可判断.【详解】由题知,令,则.若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得,,.当时,,,与题目矛盾;当时,由,可得的值域是故,使得,,.故答案为:.19.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称,若P,Q分别为它们图象上的两个动点,则这两点之间距离的最小值为______.【答案】【分析】整体代换求解直线的解析式,利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点,即为点,即可求解两点间的最短距离.【详解】解:令,则,,.因为与关于直线对称,所以函数与函数关于直线对称,所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍,函数在点处的切线斜率为,令得,,,所以点P到直线距离的最小值为,所以这两点之间距离的最小值为.故答案为:.20.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知定义在R上的函数,若有解,则实数a的取值范围是______________.【答案】【分析】分析的奇偶性和单调性,根据奇偶性和单调性求解.【详解】,所以是奇函数,又,在R的范围内是增函数,有解等价于,有解,令,当时,是增函数,当x趋于时,趋于,满足题意;当时,当时,,是增函数,当时,是减函数,;令,则,当时,,是增函数,当时,是减函数,并且当时,,,当时,即当时,满足题意,所以a的取值范围是;故答案为:.21.(2023·山东·河北衡水中学统考一模)过点与曲线相切的直线方程为______.【答案】【分析】由导数的几何意义得出切线方程,进而由切点的位置得出,从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为,,.则切线方程为,因为在切线上,所以,即又,所以,令,,当时,,所以在上单调递增,所以方程只有唯一解为.即切点坐标为,故所求切线方程为,即.故答案为:22.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数有两个极值点与,若,则实数a=____________.【答案】4【分析】由得,所以,根据解方程即可求出结果.【详解】因为函数有两个极值点与由,则有两根与所以,得因为,所以,又则,所以故答案为:23.(2023·湖北·统考模拟预测)函数,若关于x的不等式的解集为,则实数a的取值范围为__________.【答案】【分析】分和两种情况讨论,当时,根据二次函数的图象得到,当时,分和两种情况讨论,时,将转化为,然后借助函数的单调性和最值解不等式即可.【详解】由题意知,当时,;当时,;当时,.当时,,结合图象知;当时,,当时,显然成立;当时,,令,则,所以在单调递增,在单调递减,所以,所以.综上,实数a的取值范围为.故答案为:.24.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知a,b为实数,若对任意,都有恒成立,则的最小值为__________.【答案】1【分析】根据题意将不等式进行等价转化为恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性进而求解.【详解】对任意,都有恒成立,故.由,得,所以,从而恒成立,故,易知,于是.设.设.故在上单调递增,结合,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.故,所以的最小值为1,此时.故答案为:.25.(2023·湖北·荆州中学校联考二模)已知定义在上的函数,,设曲线与在公共点处的切线相同,则实数______.【答案】5【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同,设公共点,则,列方程组可求出的值【详解】解:依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵,∴,∴,即,即∵,∴,故答案为:26.(2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测)已知,若对任意的,不等式恒成立,则m的最小值为______.【答案】【分析】不等式变形后构造同构不等式,,引入函数,利用其单调性,变形不等式,然后再分离参数转化为求新函数的最值,得

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