《向量数量积的物理背景与定义》教案

向量数量积的定义一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。二、教学目标1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。三、教学重难点1、重点：平面向量数量积的定义。2、难点：平面向量数量积的定义的理解。四、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。五、教学过程教学环境教学内容师生互动设计意图复习提问向量的的概念：有大小和方向的量。及向量的加法、减法、数乘等运算。创设情景(如图)一个物体在力F的作用下产生的位移s，且F与s的夹角为,那么力F所做的功应当怎样计算？θθsFW=︱s︱︱F︱cosθ老师提问，学生思考由旧知识引出新内容，同时联系物理和数学，理解具体与一般的关系定义形成1.已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，作夹角，记作<,>，并规定0≤<,>≤π。注意：<,>=<,>,(1)<,>=0时,与同向；(2)<,>=π时,与反向；<,>=时，记作：⊥2.我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·当<,>为锐角时，·为正数；当<,>为钝角时，·为负数；当⊥时，·为0规定与任何向量的数量积为0老师引导学生注意，1.夹角必须是是两个向量同起点，及夹角范围2.数量积的定义式的形式，注意特殊向量零向量举例应用例1、如图，等边三角形中，求A（1）向量与向量的夹角；（2）向量与向量的夹角。BC解：（1）<,>=60o（2）<,>=120o例2．.解：·=︱︱︱︱cos<,>=5×4×cos120o=－10学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入定义深化向量=与轴l的正向所成角为θ，过O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为Ol，Al，则向量叫做向量在轴l的正射影该射影在轴l上的坐标，称作在轴l上的数量。例3：已知轴l解：(1)OAl=︱OA︱cos=5×=(2)OBl=︱OB︱cos=5×=－向量的数量积的几何意义：·=或练习：解：(1)·=︱︱=15(2)·=︱︱=－15向量数量积的性质：如果是单位向量，则·=·=︱︱cos<,>⊥·=0·=︱︱2，即︱︱=cos<,>=（︱︱︱︱≠0）︱·︱≤︱︱︱︱当堂达标1、=，=且，则是：（C）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形2、已知，若解：===所以θ=120o学生自己回顾、探索，根据已有知识得到问题的答案培养学生自己动脑、动手探索总结的习惯课堂小结向量的数量积的定义及相关注意事项向量的数量积的性质写出基本框架，然后让学生添加具体内容进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力与习惯作业反思教材本节内容教材109页，练习A，1、2；练习B，1、2养