专题17函数的应用(二)（原卷版）

辅导专题十七函数的应用（二）解析版A版(基础版)一、知识结构一、知识结构二、知识扫描及例题二、知识扫描及例题【知识一】方程的根与函数的零点1.1.【函数的零点概念】函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标．方程、函数、图像之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．【例如】有两个零点分别为和（注意零点概念与表达）与对应方程的两根及的图像与横轴的交点的横坐标都是和。2.【零点存在性定理】若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．【温馨提醒：零点存在性定理，仅能用来判断变号零点】【探索1】求函数的零点【例1】函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________．【反思】函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．【练习1】函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点是________．【练习2】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－4，x≤0，,lgx，x＞0))的零点是________．【探索2】判断函数零点所在的区间【例1】根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)[反思]在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)<0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．【练习1】已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)【练习2】若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.【探索3】函数零点个数问题【例1】求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．【反思】判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．【练习1】求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的个数．【练习2】若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断【例2】下列图像表示的函数中没有零点的是()【练习1】对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点 B．一定没有零点C．可能有两个零点 D．至少有一个零点【探索4】据零点情况求参数范围【例1】f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[反思]为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．【练习1】若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是A．(－∞，1－eq\r(2)]∪[1＋eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，1－eq\r(2))∪(1＋eq\r(2)，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2)))【练习2】若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．【【方法小结】1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.【思考与提升】【思考1】已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．【思考2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0，,－x2－2x，x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【思考3】已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．【知识二】二分法求解方程的近似解1.【二分法的概念】如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2.【精度与精确到】在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设eq\o(x,\s\up6(^))是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－eq\o(x,\s\up6(^))|<ε，就称x0是满足精度ε的近似解．为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，使得区间长度b－a≤ε，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于eq\o(x,\s\up6(^))∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－eq\o(x,\s\up6(^))|<ε.【温馨提示】“精确到0.1”与“精度为0.1”的区别：比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.3.【二分法求方程近似解的步骤】利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．注意：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．【例1】下列函数中，只能用二分法求其零点的是()A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x【练习1】观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是()【练习2】用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.【例2】用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)【练习1】求函数f(x)＝x2－5的近似解．(精度为0.1)【练习2】如何求的近似值？(精度为0.01)[反思]用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．【练习3】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度0.05)为()A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25【例3】若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分A．5次B．6次C．7次D．8次[反思]对于区间(a，b)二分一次区间长度为eq\f(|a－b|,2)，二分二次区间长度为eq\f(|a－b|,22)，…，二分n次区间长度为eq\f(|a－b|,2n).令eq\f(|a－b|,2n)<ε，即2n>eq\f(|a－b|,ε)，nlg2>lgeq\f(|a－b|,ε)，n>eq\f(lg\f(|a－b|,ε),lg2)，从而估算出至少要使用多少次二分法．【练习1】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．【知识三】实际问题的函数建模1.1.【实际问题的函数刻画】设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．2.【用函数模型解决实际问题】用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：3.【数据拟合】数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤：①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．【探索1】利用已知函数模型求解实际问题【例1】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．【反思】在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．【练习1】如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．【练习2】(1)某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．(2)据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤()A．4000只B．5000只C．6000只D．7000只【探索2】自建确定性函数模型解决实际问题【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【反思】自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．【练习2】有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝eq\f(1,5)x，Q2＝eq\f(3,5)eq\r(x).现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？【例2】某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【反思】自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【练习1】学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【例3】（数据拟合型）下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【练习1】现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．三、易错点分析三、易错点分析易错一零点个数例1.已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1B．2C．3 D．4【答案】B【解析】函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.误区警示

利用函数的图象判断零点的个数，应准确地画出函数的图象，一种是画一个函数的图象，看图象与x轴交点的个数，进而判断零点的个数；一种是画两个函数的图象，看两个函数的图象交点的个数，进而判断零点个数。易错二二分法求零点个数例2.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCD【答案】B【解析】[二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．错误区警示用二分法求零点个数，其依据是零点存在性定理，符合零点存在性定理的才能用二分法求零点。四、课后自我检测四、课后自我检测一、单选题1．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)2．若函数的零点是（），则函数的零点是（）A． B．和 C． D．和3．已知函数在区间内有零点，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数（且）有两个零点，且，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.4 B．1.3 C．1.2 D．1.56．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米.A． B．7 C．50 D．60二、多选题7．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（）A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点D．在区间上可