专题34圆锥曲线存在性问题的探究

专题34圆锥曲线存在性问题的探究【方法技巧与总结】解决存在性问题的技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．【题型归纳目录】题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值【典例例题】题型一：存在点使向量数量积为定值例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1），可得，，，所求椭圆的方程为：．（2）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为：，联立，把消去可得整理得：，设，、，，，，假设存在定点，使得为定值，．当且仅当，即时，（为定值）．这时，再验证当直线的倾斜角时的情形，此时取，，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线均有（恒为定值）．例2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：由题意知：，解得，椭圆方程为：设，，，，．设直线的方程为：存在）联立，得：，则又而为定值．只需，解得：，从而．当不存在时，此时，当时，故：存在，使得．例3．已知椭圆的离心率为，椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意得，即，又椭圆经过点，可得，解得，，所以椭圆的方程为；（2）假设存在符合条件的点，设，，，，则，，，，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，可得△成立，且，，，，对于任意的值，上式为定值，故，解得：，此时，为定值；②当直线的斜率不存在时，直线，，，，由，得为定值，综合①②知，符合条件的点存在，其坐标为，．变式1．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）直线的倾斜角为，且，点，，解得：，椭圆的方程为：．（2）设，直线的方程为：，，，，，联立方程，消去得：，，，，，，，令为定值，则，解得：，此时为定值，也为定值，所以存在，，使得为定值．变式2．已知，，点满足，记点的轨迹为，（1）求轨迹的方程；（2）若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．轨迹方程为．（2）直线的方程为，由得，设，，，，由条件得解得即．①，由条件，故，，因为，因此．②设存在点满足条件，由，得对任意恒成立，所以，解得，因此存在定点满足条件．变式3．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）原点到直线的距离，，，双曲线的方程为；（Ⅱ）解法一：假设存在点满足条件，①当直线方程为时，则，；②当直线方程不是时，可设直线，代入整理得，由△得，设方程的两个根为，，满足，，当且仅当时，为定值1，解得，不满足对任意，△，不合题意，舍去．而且满足△；综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值1．解法二：前同解法一，得，由，解得，下同解法一．解法三：当直线不垂直轴时，设，代入整理得，由△得，设方程的两个根为，，满足，，当且仅当时，为定值1，解得，不满足对任意，△，不合题意，舍去，而且满足△；当直线轴时，代入得，；（9分）综上得：（结论同解法一）题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且△的周长是6，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，，试问：直线与直线的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知△的周长为，所以．又因为椭圆的离心率，所以，联立解得，，所以，因此椭圆方程为．（Ⅱ）设，，，，直线方程为，联立，消去，得，则，，因为，所以为定值，这个定值为0，当直线与轴重合时，也有，所以直线与直线的斜率的和为定值0．（2）设，，，，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去得，则，，因为，当直线与轴垂直时，有，所以直线与直线的斜率的和为定值0．例5．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）设椭圆半焦距为．根据题意得，椭圆离心率，即，所以．①因为直线过椭圆的上顶点和右顶点，所以设直线的方程为，即，又由点到直线的距离为，得．②联立①②解得，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）依题意可设直线的方程为，，，，，联立，消去，得．所以△，所以，所以，，则，，假设存在定点，，使得直线，的斜率之积为非零常数，所以，要使为非零常数，当且仅当，解得（负值舍去）．当时，常数为，所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数．例6．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2．（1）求椭圆的方程．（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，得．因为过椭圆的上顶点和右顶点，所以的方程为，即．又由点到直线的距离为2，得，所以．设，，则，解得，从而，所以椭圆的方程为．（2）依题意设直线的方程为，，，，．联立方程组消去得，△，所以，，，．假设存在定点，，使得直线，的斜率之积为非零常数，则．要使为非零常数，当且仅当，即时成立，此时，，所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数．变式4．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率与直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由于，两点关于轴对称，故由题设可知经过，两点，则图象不经过点，故在椭圆上，，解得，，故椭圆的方程为，（2）由题设知，直线不能与轴重合，故可设直线的方程为，设，、，，，直线的斜率为，直线的斜率为，由，得，则△则，，，当时，即时，为定值，或，此时点的坐标为．变式5．设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，因此，解得，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设点的坐标为，当直线与轴垂直时，直线与的倾斜角均为，满足题意，此时，且；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，，，联立，得，其判别式△，，，直线和直线的倾斜角互补，，，即，整理得，把，代入得，，，即，综上所述存在与点不同的定点满足题意．题型三：存在点使两角度相等例7．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意，．故．可设点坐标为，则，解得，即．，解得．，．椭圆的标准方程为．（2）由题意，假设存在与不重合的定点，使得恒成立，设，，且，，，，，则，．，，即．整理，得．设直线．联立，消去，整理得．，．．．存在与不重合的定点，使得恒成立，且点坐标为．例8．在平面直角坐标系内，椭圆，离心率为，右焦点到右准线的距离为2，直线过右焦点且与椭圆交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴垂直，为椭圆上的动点，求的取值范围；（3）若动直线与轴不重合，在轴上是否存在定点，使得始终平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意得：，得，，（2分），，椭圆的标准方程为：．（4分）（2）当直线与轴垂直时，，，设点，，则，又点在椭圆上，，消去得，，得取值范围为，．（8分）（3）假设在轴上存在点满足题意，不妨设，设，，，，设直线的方程为：，联列，消去得，则，，（12分）由平分知：，（13分）又，又，，得，即，得，所以存在点满足题意．（16分）例9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点满足：，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与交于，，，不同的两点，且，问在轴上是否存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形．若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）因为，所以点在椭圆上，将代入，得①，设椭圆焦距为，则，所以，又②，由①②解得，，所以椭圆的方程为；（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线，联立消去整理得：，由△，得，则，，假设存在点，因为直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，所以，设，则，即，所以，解得．故在轴上存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终在底边为轴上的等腰三角形．变式6．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由知，在△中，，，解得，，，所以椭圆；（6分）（Ⅱ）假设存在点满足条件，设直线方程为，，，，，，消去有，，．因为，所以，即，解得．所以存在使得．（12分）题型四：存在点使等式恒成立例10．已知椭圆的右焦点为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的方程．（2）过点的直线与椭圆交于，，，两点，其中，点与不重合）在轴上，直线，分别与轴交于，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设，，则①由，得，即②结合①②得．又由右焦点，得，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设存在定点，使得恒成立．显然直线的斜率不为0，故设直线，消去得，△，即由题意可知，存在且不为0，则．要使恒成立，只需，即，故．所以在轴上存在定点，使得恒成立．例11．已知椭圆的右顶点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意可知，又离心率为，，，椭圆的标准方程为：．（2）设点，，，，，，设直线的方程为，联立方程，消去得：，△，，则，，则点，又点在椭圆上，，整理得：，解得，椭圆上存在点，使得，此时直线的方程为．例12．设、分别是椭圆的左、右焦点，，直线过且垂直于轴，交椭圆于、两点，连接、、，所组成的三角形为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，试问：椭圆上是否存在点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（本小题满分14分）（Ⅰ）、分别是椭圆的左、右焦点，，由可得，（1分）等边三角形中：，，（3分）则，得，（4分）又，，（5分）则椭圆；（6分）（Ⅱ）设，、，，则由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设，代入椭圆的方程中，整理得，（8分）由题意得△．由韦达定理有：，①（9分）且②（10分）假设存在点，使成立，则其充要条件为：点，，（11分）点在椭圆上，即．整理得（12分）又、在椭圆上，即，，由①②代入：，解得，（13分）（14分）变式7．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，，解得，，椭圆的方程为．（Ⅱ）设存在点满足题意，点为，当直线的斜率不存在时，则，，，，，解得或．当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，，联立，得，则，，，，，，，化简整理得，，且，解得．综上所述，轴上存在定点，使得恒成立，点的坐标为，．变式8．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）由题意，点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：，，椭圆的标准方程为；（2）假设轴上存在点，使得恒成立当直线的斜率为0时，，，，，则，，①当直线的斜率不存在时，，，则，或②由①②可得．下面证明时，恒成立当直线的斜率为0时，结论成立；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，直线方程代入椭圆方程，整理可得，，，，综上，轴上存在点，，使得恒成立．变式9．已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1），，，，椭圆方程为．（2）假设轴上存在点，使得，①当直线的斜率为0时，，，则，解得．②当直线的斜率不存在时，，，则，解得，．由①②可得．下面证明时，恒成立．直线斜率存在时，设直线方程为，，．由消整理得：，，，，所以，，，综上，轴上存在点，使得恒成立．变式10．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于，两点．（1）若，求直线的方程；（2）若直线的斜率存在，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；当直线的斜率存在时，设，，，，直线的方程为，①又椭圆的方程为，②由①②可得，，，，，解得，，即直线的方程为或．（2）由（1）可知，设的中点为，即，假设存在点，使得，则，解得，当时，，为椭圆长轴的两个端点，则点与原点重合，当时，，综上所述，存在点且．变式11．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）椭圆的右焦点为，右顶点为，，可得，又因为，，解得，故椭圆的方程为；（2）椭圆上不存在这样的点．事实上，设直线的方程为，联立椭圆方程，得，△，得．设，，，，则，，由知为平行四边形，而为的中点，也是的中点，于是设，，，，则，即，可得，因为，所以，若，在椭圆上，则，矛盾．因此，不存在满足条件的点，．变式12．设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）由题意知：，又因为，，解得故椭圆的方程为，（2）椭圆上不存在这样的点．设直线的方程为，联立，得，△，得．设，，，，则，，由知为平行四边形，而为的中点，也是的中点．于是设，，，则，即，可得．因为，所以．若，在椭圆上，则，矛盾．因此，不存在满足条件的点，．题型五：存在点使线段关系式为定值例13．已知椭圆的焦距为2，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．【解析】解：由椭圆的焦距为2，故，则，又由椭圆经过点，代入得，得，，所以椭圆的方程为：．（2）根据题意，直线的斜率显然不为零，令由椭圆右焦点，故可设直线的方程为，与联立得，，则△，设，设存在点，设点坐标为，由，得，又因为，所以，，所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，则：，所以，所以，，即，即，解得，符合题意，即存在点满足题意．例14．椭圆经过两点，，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；（3）设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存