21等式性质与不等式性质（原卷版）

2.1等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式(组)表示不等关系题型二：作差法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式(组)表示不等关系例1．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M例2．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（

）A． B．C． D．例3．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.题型二：作差法比较两数(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定例7．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例8．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知，，则_______．（填“>”或“<”）例9．（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较的大小.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．例13．（2020·新疆师范大学附属中学高一期末）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<例14．（多选题）（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．例16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求证：(1)；(2).例17．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.例18．（2022·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有ab>0⇒a>b；ab=0⇒a=b；ab<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比较大小例19．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则例20．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．例21．（多选题）（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知，，下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．例22．（多选题）（2022·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则例23．（多选题）（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例24．（多选题）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例25．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，则的取值范围是例26．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，则的取值范围为例27．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例28．（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是例29．（多选题）（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是例31．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．例32．（2022·全国·高一期中）已知，且，则的取值范围是___________.例33．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.例34．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）设，，求，，的范围.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、单选题1．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·宁夏·银川二中高二期中（理））已知且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B．0 C． D．4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（

）A． B．C． D．由a的取值确定5．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（

）（参考数据：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文）），，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·海南中学高三阶段练习）若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若且，则 D．10．（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．12．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．14．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．15．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.16．（2022·全国·高一课前预习）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.四、解答题17．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：.18．（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．19．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若，且，则；(2)若，且，同号，，则；(3)若，且，则．20．（2022·全国·高一课前预习）某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客