2024-2025学年浙江省湖州市高二上学期10月月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年浙江省湖州市高二上学期10月月考数学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已如点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．3．直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（

）A．B．C．D．5．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是()A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝16．已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（

）A． B． C． D．7．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的有（

）A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B．直线在轴的截距是2C．直线的倾斜角为30°D．过点且倾斜角为90°的直线方程为10．已知点圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．B．存在点，使平面C．存在点，使直线与所成的角为D．点到平面与平面的距离和为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．过点且与直线垂直的直线方程为.13．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是.四．解答题：本小题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）已知直线的方程为：．（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．16．（本题满分15分）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．17．（本题满分15分）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．（1）求证：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．18.（本题满分17分）已知O为原点，直线与圆交于、两点．(1)若，求的值；(2)在(1)的条件下，求的取值范围；(3)若，求圆的面积．19.（本题满分17分）已知函数，（，为常数）．(1)若函数是偶函数，求实数的值；(2)若函数有个零点，求实数的取值范围；(3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：2024-2025学年浙江省湖州市高二上学期10月月考数学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【正确答案】D设直线的倾斜角为，，则，.故选：D.2．已如点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．【正确答案】A由，，，得，，设是平面的一个法向量，则即,取，则，故，则与共线的向量也是法向量，经验证，只有A正确.故选：A．3．直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或【正确答案】C依题意，直线与直线平行或重合时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线与直线平行，所以的值为.故选：C4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（

）A． B．C． D．【正确答案】B点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．5．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是()A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，则(1,0)关于y＝－x对称的点为(0，－1)，故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.故选A．答案A6．已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（

B

）A． B． C． D．【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.7．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】D直线过点.如图，由题意，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范围是.故选：D.8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．【详解】根据题意得为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得，即的取值范围是．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的有（

）A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B．直线在轴的截距是2C．直线的倾斜角为30°D．过点且倾斜角为90°的直线方程为【正确答案】CDA选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD10．已知点圆上，点，，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，【正确答案】ACD【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（

）

A．B．存在点，使平面C．存在点，使直线与所成的角为D．点到平面与平面的距离和为定值【正确答案】ABD依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，，设，，所以，所以，A选项正确.点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为，则，，无解，所以C选项错误.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．过点且与直线垂直的直线方程为.【正确答案】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.故13．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.【正确答案】【详解】对于，当时，，当时，，所以，所以，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值，点P到直线的距离的最小值，所以面积的最大值为，面积的最小值为，所以面积的取值范围是，故14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是.【正确答案】设斜坡的坡角为，由题意知与的夹角为，因为，所以，即，所以，因为是锐角，所以.故四．解答题：本小题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知直线的方程为：．（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【正确答案】（1）证明见解析；（2）（1）证明：直线的方程为：提参整理可得：．令，可得，不论为何值，直线必过定点.（2）设直线的方程为．令则，令．则，直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面．当且仅当，即时，三角形面积最小．此时的方程为．16．记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.17．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．（1）求证：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面ABC．（2）由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．不妨设，由题可知，，，，．由，可得．设平面的法向量为，而，，则有,取，得．设平面的法向量为，而，，则有，取，得．设平面与平面夹角为，则，所以，即平面与平面夹角的正弦值为．18.已知O为原点，直线与圆交于、两点．(1)若，求的值；(2)在(1)的条件下，求的取值范围；(3)若，求圆的面积．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：圆的圆心为，半径，其中，圆心到直线的距离，，解得；（2）（3）解：设，联立，消得，，则，又，因为，所以，即，即，所以，解得满足，此时圆的半径，所以圆的面积为.19.已知函数，（，为常数）．(1)若函数是偶函数，求实数的值；(2)若函数有个零点，求实数的取值范围；(3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：．【正确答案】(1)(2)或(3)证明见解析【详解】（1）因为是偶函数，所以，则，解得，当时，，其定义域为，又，所以是偶函数，故.（2）因为，当，即时，