2024年初某中学考第一次模拟考试试题：数学（广东省卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（广东省卷）

数学•全解全析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求的）

I.小戴同学的微信钱包账单如图所示，+5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是

（）

账单

①+5.20

②-1.00

A.-1.（X3表示收入1.00元B.-LCO表示支出1.00元

C.-1.00表示支出-1.00元D.收支总和为6.20元

【答案】B

【分析】明确“正”和“负”所表示的意义，有理数的加法逐项分析判断即可.

【详解】解：・・・+5.20表示收入5.20元,

・•・・1.00表示支出1.00元，故B正确，A,C不正确；

收支总和为+5.20+（-1.00）=+4.20,收入4.20元,故D不正确;

故选：B.

【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什

么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另

一个就用负表示.

2.下列四个图案中是整I对称图形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】这4个图形各自沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对

称图形.

【详解】第二个，第四个是轴对称图形.

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，是解决此类问题的关键.

3.据中国新闻网消息，2023年我国将新建开通5G基站60万个，总数将突破290万个，

位居世界第一.将数据“290万”用科学记数法表示为()

A.2.9xl08B.2.9xlO6C.2.9x10'D.290xlO4

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为①的形式，其中1«同＜10,〃为整数.确定〃的

值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值之10时，”是正数；当原数的绝对值时，”是负数.

【详解】解：290万=2900000=2.9x1()6.

故选：B.

【点睛】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

〃为整数.解题关键是正确确定a的值以及〃的值.

4.如图，直线4〃4,在％之间放置一块直角三角板，使三角板的锐角顶点4,B

分别在直线《，/2上.若4=65。，则/2等于()

A.115°B.65°C.26°D,25°

【答案】D

【分析】作6〃。，由平行线的性质求解即可.

【详解】解：如图，作C。则N1=NACQ,

：.CD//h,

：・/2=/DCB,

,/NACO+NDC8=90。,

AZ1+Z2=9O°,

VZ1=65°,

2

，N2=25。,

故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题

的关键.

5.化简3结果正确的是()

aa

A.IB.aC.-D.--

aa

【答案】A

【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可.

【详解】解："二1=1,故A正确.

aaa

故选：A.

【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，

准确计算.

6.神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺

线状排列，螺线的发散角是137.5。.我们知道圆盘一周为360°,360。-137.5。=222.5。，

137.5。+222.5°。0.618.这体现了()

A.轴对称B.旋转C.平移D.黄金分割

【答案】D

【分析】根据黄金分割数的近似值为0.618可直接得出答案.

【详解】解：137.5。-222.5。*0.618,黄金分割数的近似值为0.618,

••・体现了“黄金分割

故选：D.

【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为0.618.

7.如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个

部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（）

【答案】A

【分析】用所求情况数除以总情况数即可解答.

【详解】由题意可知，共有六种情况，而小灯泡不发光的情况只有S3、，关闭时,

，小灯泡发光的概率为|

O

故选A.

【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.

2x-l>x+l

8.不等式组1的解集为（)

jr+8<4x-l

A.x>2B.x<3C.2<x<3D.x>3

【答案】D

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

2x-\>x+\®

【详解】

x+8<4x-l@

解①得：x>2

解②得：x>3

不等式组的解集为：x>3,

故选择：D

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组，先求出不等式组中

每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大

小小大中间找，大大小小解不了（无解）.

4

9.如图，C,。是。上直径A8两侧的两点.设NABC=25。，则如C=（）

【答案】D

【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到N4CB=90。，从而求出NB4C,再利用同

弧所对的圆周角相等即可求出N8DC.

【详解】解：・.・。,。是。0上直径A8两侧的两点，

NACB=90。，

,?NA4C=25。，

・•・N8AC=90°-25°=65°,

AZBDC=Z^AC=65O,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90。和同弧或等弧所对

的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方

法.

10.已知二次函数），=25+〃].如图，此二次函数的图象经过点（0,-4）,正方形ABCD

的顶点C、。在x轴I：,4、8恰好在二次函数的图象上，则图中阴彩部分的面积之和为

【答案】C

【分析】先把函数图象经过的点（0,-4）代入解析式求出机的值，再根据抛物线和正

方形的对称性求出〃>=OC并判断出鼠影=SR,形8COE，设点B的坐标为（〃,2n）（/7>0）,

把点n的坐标代入抛物线解析式求出〃的值得到点B的坐标，然后求解即可.

【详解】解：二次函数y=2一+,〃的图象经过点（0,-4）,

m=-4.

・••二次函数的解析式是：y=2x2-4.

•・•四边形A8CO为正方形和抛物线都是轴对称图型，且），轴为它们的公共对称轴，

••OD=OCt加影二S矩影网5；，

设点B的坐标为（小2四）（〃>0）,

•••点8在二次函数），=2/-4的图象上，

:.2n=2n2-4，

解得：勺=2,4=T（舍去），

・••点B的坐标为：（2,4）,

：•S阴二S矩形"3=2x4=8.

故选C.

【点睛】本题考查不规则图形的面积，求二次函数的解析式，正方形的性质，二次函数

的图象与性质等知识，掌握割补法（面积和差运算）是解题的关键.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

II.分解因式：X2-16/=.

【答案】（x+4），）（x-4y）

【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可.

【详解】解：x2-16/=x2-（4y）2=（A：+4y）（x-4y）,

故答案为：（x+4y）（x-4y）.

【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟冻掌握平方差公式是解题的关健.

12.计算：Jx（-V27）=.

【答案】-3

【分析】根据二次根式乘法法则计算即可.

【详解】解：原式=一gx27=—囱=一3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则

6

&•扬=疝（〃>0,b>0）是解题的关键.

13.已知近视眼镜的度数），（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为），=皿，则当近

x

视眼镜为200度时，镜片焦距为.

【答案】0.5m

【分析】令）=200,代入反比例函数，求得x的值即可，

【详解】令y=200,

即：2。。二吧

x

解得：x=0.5,

故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米.

故答案为：0.5m.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函

数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难度大

大降低.

14.小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下

的时间里，小明每天至少要读一页.（假定小亮每天读书页数是整数）

【答案】8

【分析】设以后每天读x页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完,

开始2天每天只读5页，可列出不等式求解.

【详解】解：设以后每天读x页，

2x5+（IO-2）x>72,

x>7-.

4

故小明每天至少读8页才能读完.

故答案为：8

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关系

式列不等式求解.

15.如图：心A48C中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把边长分别为毛，々，4，

的〃个正方形依次放在M8C中：第一个正方形CM/A；的顶点分别放在R/AA8C的各边

上；第二个正方形MMW小的顶点分别放在心的各边上，…其他正方形依次放

入，则第2022个正方形的边长.V2O22为

B

【分析】根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，同理求得其它正方形

的边长，观察规律即可求得第〃个正方形的边长，即可求解.

【详解】解：设第一个正方形的边长是引，

VP}N}//AC,W//BC,

：,△RPN〜&BAC,△工片“I~

弛=变=工

ACAB2

同理得到粤=臂二%，

BCAI3

两式相加得到今+再=1,

9

解得4

同理求得：

第二个的边长是电=(lj,

第三个的边长是公=-

13/

8

Z9\2O22

故答案为：.

【点睛】本题考杳了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，考查了学生的观察归纳

能力.解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用.

三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题个7分，共24分）

16.（1）计算：Vl8+＞；＜i2-2x/6x—4-572：

4

（2）已知一次函数的图象经过点（2,6）和（-4,-9）,求这个函数的解析式.

【答案】⑴3立+2力-得；（2）y=2.5x+l

【分析】（1）根据实数的运算法则，先算乘除，在算加减，要合并同类二次根式，计算即

可，

⑵利用待定系数法即可求得函数的解析式.

【详解】⑴原式=3忘+26一呼x孟

=3V2+2x/3--

（2）设一次函数的解析式为），=辰+3

2k+b=6

则LAC，

-4k+b=-9

仅=2.5

解得人।.

b=\

所以一次函数的解析式为y=2.5x+l.

【点睛】本题考查的是实数的运算，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象

上点的坐标特征，熟记用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键.

17.为保护耕地，某地需要退林还耕1500亩.已知甲施工队每天退林还耕的亩数是乙

施工队的1.2倍：若单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天.求甲、

乙两队每天完成退林还耕多少亩.

【答案】甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩

【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意“单独完成退林还耕任务，甲施工队会

比乙施工队少用5天”列出方程是解题的关键.

【详解】解：设乙队每天退林还耕工亩，根据题意得

1500「1500

---------5=-------.

x1.2x

解得x=50.

经检验，x=50是原方程的解.

甲队每天退林还耕的亩数是1.2x50=60（亩）.

答：甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩.

18.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A,在河南岸选了相距10Dm

的C两点.现测得NA5c=60°,48=45。，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）.

【答案】63.4m

【分析】过A作于力，根据NA8C=60。，NACB=45。即可求出B。、C。与

AD关系，根据8C=10Dm,可以求得AD的长度.

【详解】解：过A作于O,

在RbAQB中，ZB=60°,

ZBAD=30°,

.*.BD=AD«tan30°=立A。，

3

在RSAQC中，ZC=45°,

：,CD=AD,又BC=100m,

:・BD+CD=@AD+AD=100.

3

解得AD^63.4m.

答：这段河的宽约为63.4米.

10

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角

函数求解.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.如图，己知YA8CD,AC为对角线.

（1）请用尺规作图法，过点。作4C的垂线，交AC于点£；（不要求写作法，保留作

图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若448=30°,4）=4,求点。到线段AC的距离.

【答案】（1）见解析；（2）点D到线段AC的距离是2,见解析.

【详解】（1）解：过点。作AC的垂线如图；

①任意取一点尸，使该点利点。在对角线AC的两侧；②以点。为圆心，OP的长为半

径作弧，交对角线AC于EG两点；③分别以点凡G为圆心，大于;/G的长为半径

作弧，在点尸的同侧交于点”；④过点。、“作直线，交4c尸点E直线DE即为所

求作的垂线.

（2）解答的关键是：①理解点D到线段AC的距离是点D到线段AC的垂线段的长度，

即为线段OE的长度;②根据平行四边形的性质求出ND4C;③利用锐角三角函数求解.

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD//BC,

:.^DAC=ZACB=30°.

由（1）知OE1AC,

在Rt/\ADE中，DE=AD-sinZDAC=2,

即点。到线段AC的距离是2.

20.如图，每个小正方形的边长都为1.

(I)直接写出A8的长为；

(2)请用无刻度的直尺画图：在格点上找点£连接8E,使4£＞，砒，垂足为H；

(3)NA8C是直角吗？判断并说明理由.

【答案】(1)2方

(2)见解析

(3)NA8C是直角，理由见解析

【分析】(1)运用勾股定理求解即可；

(2)如图，可证明.AGDwEEB得NG4D=NEEB,由NEEB+NAEB=90。得

NE4H+NAm=90。，推出NA”E=90。，从而可得结论；

(3)运用勾股定理逆定理可判断48c是直角三角形，可得出NA8C=90。

【详解】(I)由勾股定理得：A8="7?=2后，

故答案为：275

(2)如图所示：点E即为所求;

(3)NA8C是直角，理由如下：

如上图,连接AC,AC?=32+42=25,

又G=4?+22=20,BC?=l+4=5,

，AB2+BC2=AC2，

・•・ZABC=90°,

・•・/ABC是直角.

12

【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及全等三角形的判定与性质，熟

练掌握书店同时也看见解答本题的关键.

21.甲，乙两名队员参加训练，每人射击10次的成绩分别被制成下列两个统计图:

平均成绩环众数/环中位数/环方差/环2

甲a771.2

乙7bC4.6

⑴写;H表格中〃，b,c的值：。=,b=

⑵根据以上统计数据，你会选择谁参加比赛，请说明理由.

【答案】（1）7,6,6,5

（2）派甲参赛，理由见解析.

【分析】（1）根据平均数、中位数、中位数的定义分别计算即可解决问题；

（2）甲选手的稳定性较好，乙选手得高分的可能性较大，所以从保名次上说，应该派

甲选手；从争取更高的名次来说，应该派乙选手（答案不唯一）.

【详解】⑴。=噌（5+6+6+7+7+7+7+8+8+9）=7（环）；

乙的成绩从小到大排列:3,5,6,6,6,7,8,9,10,10,

:・b=6（环）。=等=6.5（环）.

故答案为:7,6,6.5；

（2）应派甲选手参赛.

理由:由上一问可知，从众数来说，甲选手高于乙选手；从中位数来说，甲选手好于乙

选手；从方差来说，中选手的稳定性较好；

综合以上情况，应该派甲选手参赛.

【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题.

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

22.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=I2cm,点P从点A出发，沿AB边向点B以每

秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、

Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：

(1)如图1，当t为几秒时，APBQ的面积等于5cm2?

(2)如图2,当1=1.5秒时，试判断aDPQ的形状，并说明理由；

(3)如图3,以Q为圆心，PQ为半径作。Q.在运动过程中，是否存在这样的I值，

使。Q正好与四边形DPQC的一边所在的直线相切？若存在，求出I值；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)1秒或5秒；(2)ADPQ的形状是直角三角形.(3)①t=0或t=-18+12直;

②0VIV6JI5-18.

【详解】试题分析：(1)由题意可知PA=t,BQ=2t,从而得至I」PB=6-t,BQ=2t,然后

根据APQB的面积=5cn?列方程求解即可；

339

(2)由,可求得AP=-,QB=3,PB),CQ=9,由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2,

222

由勾股定理的逆定理可知ADPQ为直角三角形；

(3)①当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当。

Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP,然后依据勾股定理

列方程求解即可；

②先求得。Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围.

试题解析：(1)•・•当运动时间为t秒时，PA=t,BQ=2t,

.*.PB=6-t,BQ=2t.

•••△PBQ的面积等于5cm2,

I1

••・：PB・BQ=-x(6-t)*2t.

22

14

.\-(6-r)-2r=5.

2

解得：ti=l,t2=5.

答：当t为1秒或5秒时，APl^Q的面积等于5cm2.

(2)aDPQ的形状是直角三角形.

33

理由：•・•当1=彳秒时，AP=K，QB=3,

22

39

APB=6--=一，CQ=12-3=9.

22

在RSPDA中，由勾股定理可知：PD・DA2+PA2=122+(-)2=—.

24

同理：在RSPBQ和RsDCQ中由勾股定理可得：DQ2=117,PQ2=^.

4

・・・U7+与箜，

44

ADQ2+PQ2=PD2.

所以aDPQ的形状是直角三角形.

(3)①(I)由题意可知圆Q与AB、BC不相切.

(H)如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合.

・•・ZDPQ=90°.

ADP1PQ.

・・・DP为圆Q的切线.

(III)当。Q正好与四纱形DPQC的DC边相切时，如图2所示.

由题意可知；PB=6-t,BQ=2t,PQ=CQ=I2-2t.

在R3PQB中,由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2,即(6-t)2+(2t)2=(12-2t)2.

解得：t产-18+126,攵=-18-12#(舍去).

综上所述可知当1=0或t=-18+12石时，(DQ与四边形DPQC的一边相切.

②(I)当1=0时，如图1所示：(DQ与四边形DPQC有两个公共点；

(II)如图3所示：当圆Q经过点D时，OQ与四边形DPQC有两个公共点.

图3

由题意可知：PB=6-t,BQ=2t,CQ=12-2t,DC=6.

由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+(l2-2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6-t)2+(2t)2.

VDQ=PQ,

・・・DQ?=PQ2,即6?+(I2-2t)2=(6-t)2+(2t)2.

整理得：t2+38-144=0.

解得：t产6J万-18,t2=-6x/l3-18(舍去).

・••当0VtV6jF-18时，OQ与四边形DPQC有三人公共点.

考点：1、三角形的面积公式，2、勾股定理,3、勾股定理的逆定理

23.在》8c中，CA=CB,NAC8=a.点尸是平面内不与点A,。重合的任意一点.连

接AP,将线段的绕点P逆时针旋转。得到线段OP,连接ADBD,CP.

图2备用图

⑴观察证明如图1,当。=60。时

①猜想BD与"的数量关系为,并说明理由.

②直线8。与直线。户相交所成的较小角的度数是_____.

(2)类比猜想

如图2,当。=90°时，请直接写出要的值及直线B。与直线C尸相交所成的小角的度数

(3)解决问题

16

当。=90°时、若点E,尸分别是C4,C8的中点，点。在直线门■上，请直接写出点C,

AH

p,D在同一直线上时第的值，

L1

【答案】⑴①1；②60。

（2堞=夜；45。

（3）2+72^2-72

【分析】（1）观察猜想：由“SAS”可证ACAP主凶4。，可得尸C=8。，ZACP=ZABD,

即可求解；

（2）类比探究：通过证明AD/WAPAC,可得/PC4=NO/M,铝=空=夜,即

PCAC

可求解：

（3）分两种情形：①当点O在线段PC上时，延长AD交的延长线于H.证明

A£>="即可解决问题；②当点P在线段C。上时，同法可证：DA=£）C解决问题.

【详解】（1）解：AC=BC,Z4CB=60°,

.♦・AA8C是等边三角形，

.•.ZC4B=60°,AC=AB,

由旋转的性质得，Z4PD=60°,AP=PD，

.•.AA尸。是等边三角形，

.•./%£>=60°=NC