2024中考数学复习 重难题型分类练 题型八 阅读理解题 (含答案)

2024中考数学复习重难题型分类练题型八阅读理解题

类型一定义新运算

i.阅读下列材料

定义运算：min|«,b\,当时，min|a,b\=b\当aV。时，mink/,力|="

例如:min|-1,3|=-1;

完成下列任务

(l)①min|(—3)°,2|=

@min|-V14,-4|=

⑵如图，已知反比例函数》=§和一次函数”=一级+力的图象交于4、B两点,当一2Vx

VO时，"”川二，一2x+/?|=(x+1)(1—3)—x2.求这两个函数的解析式.

2.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和

m整除,则称N是〃?的“却倍数

例如：•••247+(2+4+7)=247口3=19,

•••247是13的“和倍数”.

又如：・.・214+(2+1+4)=214+7=304,

・・・214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由;

(2)三位数4是12的“和倍数”，a,4c分别是数A其中一个数位上的数字，且a>Qc.在

a，b,c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(A),最小的两位数记为G(A).若

F(A)+G(A)

为整数，求出满足条件的所有数A.

16

类型二新概念的理解与应用

3.在平面直角坐标系X。)，中，已知点M(mb),N.

时于点Q给出如下定义：将点P向右(色0)或向左3<0)平移同个单位长度，再向上(色0)或向

下S<0)平移网个单位长度，得到点产，点P'关于点N的对称点为Q,称点。为点P的“对

应点

⑴如图，点Ml，1)，点N在线段OM的延长线上.若点P(—2,0),点。为点P的“对应

点”,

第3题图

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点工求证：NT=WOM；

（2）。。的半径为1,M是（DO上一点，点N在线段0M上，且0N=4]Wl）.若P为G。外

一点，点。为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时直接写出PQ长的最大值

与最小值的差（用含，的式子表示）.

4.小东在做九上课本123习题：“1：<2也是一个很有趣的比.已知线段A8（如图①），用直

尺和圆规作上的一点P,使AP：AB=I:也.”小东的作法是：如图②，以AB为斜边作

等腰直角三角形ABC,再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P,点尸即为

所求作的点，小东称点P为线段A8的“趣点”.

（1）你赞同他的作法吗？请说明理由；

（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连接CP,点。为线段AC上的动点，点£在

AB的上方，构造△DPE,使得△DPEsACPB.

①如图③，当点。运动到点人时，求NCPE的度数；

②如图④，DE分别交CP,于点M,N,当点。为线段4c的“趣点”时（COV4。），猜想：

点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由.

第4题图

5.若关于x的函数当r—1<x</+1时，函数），的最大值为M,最小值为N,令函数h

M-N

=1—,我们不妨把函数万称之为函数的“共同体函数

⑴①若函数），=4044工，兰/=1时，求函数），的“共同体函数，力的值；

②若函数），=匕+〃（原0,h6为常数），求函数J的“共同体函数*的解析式；

2

⑵若函数丁=彳（x>l）,求函数y的“共同体函数”的最大值；

人

（3）若函数丁=-/+4%+k是否存在实数A,使得函数1y的最大值等于函数），的“共同体函数”

的最小值.若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

6.在四边形4BCD中，。是边8c上的一点.若△048g△OCZ),则点。叫做该四边形的“等

形点

⑴正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”)：

⑵如图，在四边形44a＞中，边上的点。是四边形A8CO的“等形点”.已知8=4地，

Q4=5,BC=12,连接AC,求人C的长：

第6题图

(3)在四边形EFGH中,EH//FG.若边FG上的点0是四边形EFGH的“等形点”，求患的

值.

类型三解题方法型

7.阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

用函数观点认识一元二次方程根的情况

我们知道，一元二次方程加+&+。=0（g0）的根就是相应的二次函数y=a:r+bx+c[a^0）

的图象（称为抛物线）与x袖交点的横坐标.抛物线与大轴的交点、有三种情况：有两个攵点、

有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数

根、有两个相等的实数根'无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程

根的情况.

b4ac—b2

下面根据抛物线的顶点坐标（一五,F-）和一元二次方程根的判别式4=/-4农，分

别从4>0和«<0两种情况进行分析：

（1）。>0时，抛物线开口向上.

①当/=〃一44c>0时，有467（—b2<0.

4ac—tr

*.Vz>0,/.顶点纵坐标一^一<0-

・•・顶点在X轴的下方，抛物线与X轴有两个交点（如图①）.

:.一元二次方程五十床+。=0（〃和）有两个不相等的实数根.

②^J=b2—4ac=0时，有4ac—b2=0.

4。。一b1

•・Z>0,J顶点纵坐标一元一=0.

••・顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图②）.

••・一元二次方程aF+云+c=03#））有两个相等的实数根.

③当/=从一4奴<0时，

（2）。<0时，抛物线开口向下.

图①

图②

第7题图

任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选

出两个即可）；

A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想

⑵请参照小论文中当。＞0时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的

情况的分析过程，并画出相应的示意图：

（3）实际上，除一兀二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如：

可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为.

W源自北师九下尸52议一议

8.阅读下列材料:

在△ABC中，NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,求证：端田=5石-

证明：如图①，过点C作COJ_A3于点。，则:

在RtABCD中，CD=asinB,

在RSAC。中，CO=OsinA,

：・asinB=bsinA,

・，______(L-

**sinA-sinB'

根据上面的材料解决下列问题:

(1)如图②，在△ABC中，NA,/B,NC所对的边分别为a,b,c,求证：67=377；

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图③，规划中的一

片三角形区域需美化，已知NA=67。，N8=53。，AC=80米，求这片区域的面积.(结果保

留根号.参考数据：sin53cM).8,sin67。卸9)

图2

第8题图

9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在

该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给

人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

⑴我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察卜.列图形，找出可以推出的

田④

第9题图

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a-\-b)[c-\-d)=ac~\-ad~\rbe+bd

公式③：(«—h)2=a2—lab+b2

公式④：(a+b)2=a2+lab+b2

图①对应公式一，图②对应公式______，图③对应公式一，图④对应公式.

(2)《儿何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式3+/力3—匕)=〃2—〃的方法，

如图⑤，请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)

(3)如图⑥，在等腰直角三角形ABC中，N84C=90。，。为8c的中点，E为边AC上任意

一点(不与端点重合)，过点E作EG_L8C于点G,作于点儿过点8作8F〃AC

交EG的延长线于点”.记△BFG与仆CEG的面积之和为S，△ABD与4AEH的面积之和为

$2.

①若石为边人。的中点，则今的值为

②若E不为边4C的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成

立,请说明理由.

图⑤图⑥

第9题图

10.【阅读理解】如图①，l\〃k，△ABC的面积与△DSC的面积相等吗？为什么？

解：相等，在aABC和ADBC中，分别作4EJL/2，DF_h，垂足分别为点E,F.

・•・NAEF=ZDFC=90°,：.AE//DF.

・•・四边形4£尸。是平行四边形，

：.AE=DF.

又SAA8C=]BCAE,5ADBC=7BCDF,

:、SAABC=SADBC-

【类比探究】如图②，在正方形A8C7)的右侧作等腰△C7)E,CE=DE,4。=4,连接AE,

求AAQE的面积.

解：过点E作EF工CD于点F,连接4F.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】如图③，在正方形43CO的右侧作正方形CEFG,点、B,C,£在同一直线上,

>40=4,连接8。，BF,DF,直接写出△BO厂的面积.

R

图③

第10题图

参考答案与解析

1.解：⑴①1;

②一4；【解法提示】•••(/I)2<42,V4,・•・一迎>-4,Amin|-Vl4,-4|=

-4.

(2)，••当-2<r<0时，ming,—2:i+b|=(x+l)(x—3)—/=-2Y—3,

且由图象得，当一2<x<0时，ming,—2t+Z?|=—2x+b,

・・・。=一3,

・••一次函数的解析式为”=-2L3,

(—2,1),

2

・••反比例函数的解析式为V=—?.

人

2.解：(1)357不是“和倍数”，441是9的“和倍数”.理由如卜:

:357+(3+5+7)=23……12,

・・・357不是“和倍数”.

•.•441+(4+4+1)=49,

A441是9的“和倍数”；

(2)二三位数A是12的“和倍数”，

，a+〃+c=12.

，44)=10。+力，G(A)=10c+A

F(A)+G(A)

为整数,

,16

10。+〃+lOc+力8。+8c+2a+20+2c8a+8c+248a+8c+8o+c+1

16=16=16-=-16-+1=-2-+1,

,a+c+1

1,―2-是整数,

，a+c为奇数.

当a+c=3时，b=9,不符合题意:

当a+c=5时，〃=7,不符合题意;

当a+c=7时，b=5,则。=6,c=l或。=5,c=2(舍去);

当〃+c=9时，。=3,则。=8,c=l或a=7,c=2或〃=6,c=3(舍去)或a=5,c=4(舍

去)；

当a+c=ll时，b=\,不符合题意:

。=6仿=8a=7

或卜=3.

.,.*=5或2=3

.c=[c=

1I<=2

tA能被12整除,

工满足条件的所有数A为516,156,732,372.

3.(1)①解：画出点Q如解图①；

②证明：如解图②，连接PP'

由题意可知产(-2+1,0+1),即叫一1,1).

丁尸(一2,0),M(l,I),M2,2),

:.PP//OM,PP'=OM,

又・・・N为产。的中点，

・・・％丁为4。9。的中位线,

：・NT=gPP=TOMx

(2)解：4f—2.

用②

第3题解图

【解法提示】如解图③，由题意可知将点P移动到点产与将点O移动到点M的方式相同，

・・，?=0"=1.设。”的中点为。，首先，考虑两种极端情况，当点N运动到点M时，此

时M,N重合，点/关于点N的对称点为点8,当点N运动到点C时，点P关于点N的对

称点为点4,显然PP'〃/M,。产=氐4,・••四边形PP7M为平行四边形..・・/W=PP』l一般

情况下，当点N在线段CM上运动时（不与点C,M重合），点。也在84上运动（不与点A,

8重合），同理②可得MN为△P8Q的中位线，・・・BQ=2A/N=2（1—，）=2—2f,・・.AQ=A8-

8Q=1—（2—2f）=2f—1,易知A,P关于原点对称，，当点尸固定时，点A是个定点，，当

ON为/，点M运动时，点。的轨迹为以点A为圆心，AQ为半径的圆，・・・PQ的最大值为

出+4Q,最小值为以一AQ,其差为2AQ=4L2.

第3题解图③

4.解：（1）赞同，理由如下：

•「△A8C为等腰直角三角形,

：,AC=BC,NA=NB=45。，

.…AC巫1

,,cos45。=而=为=忑，

*：AC=AP,

.丝=_!_

••丽飞，

・••点P为线段48的“趣点”；

(2)①由题意可得NCA8=NB=45。，NACB=90。，AC=AP=BC,

:.ZACP=ZAPC=^X(180。-45°)=67.5。，

/.Z^CP=90o-67.50=22.5°,

・•・NCP3=180°—45°-22.5°=112.5°,

■:ADPESRCPB,点。，A重合,

：.ZDPE=ZCPB=\\2.5\

，ZCPE=NDPE+NCPR-180°=45°；

②点N是线段ME的“趣点”，理由如下：

当点。为线段AC的“趣点”时（COVAO）,

,噗=左’而AC=AP，

.AD__1_

•♦丽=诋，

•,嗡=古'NA=NA'

:•△ADPSXACB,

：./4QP=NACB=90。，

AZAPD=45°,DP//CB，

JZDPC=/尸CB=22.5°=4PDE,

：・DM=PM,

JZWDC=ZMCD=90°-22.50=67.5°,

：,MD=MC,

同理可得MC=MM

MP=MD=MC=MN,

；・NMDP=NMPD=22.5。,NE=N8=45°,

；・NEMP=45。,

/.NMPE=90°,

.MP__1___MN

•赤=g=ME'

・••点N是线段M£的“趣点”.

13

-Ww-

2X2

•.•4044>0,随x的增大而增大，

3.1

・•・当时，"=6066,当三=/时，N=2022,

M-N

・•・函数），的“共同体函数"-=2022；

②若心>0,则），随x的增大而增大，

・•・当时，）+6,当x=f—；时，N=k（L；）+〃,

乙JJL

M-Nk

•»h=-5-=2；

若左VO,y随工的增大而减小，

,当x=/一；时，M=k[t—^）+6,当时，N=©/+：）+〃,

4

M-N

•*.h=,2

・•・函数），的“共同体函数”力的解析式为

2>0

h=

\k;

[-5,k<0

2

(2)•・、，=;(在1)，

二在T+4范围内，)，随工的增大而减小,

22

，M=j-,N=p,

z-2z+2

.,M-NMNI

==1-1

♦h=F~T~2~d-尸-

24

*-2

—3

/-->*>-

2\9*\2

”2,

・•・函数），的“共同体函数”/?的最大值为3;

⑶存在.

•・？=-X2+4x+k=—。-2）2+女+4,

，函数的开口向下，对称轴为直线4=2,y的最大值为k+4,

—3

--

22），随工的增大而增大,

35

，M=一(/―5^+々+4,/=—(/—X)?+k+4,

M-N

：.h=~-=—，+2；

②当2</+：,即,<QW2时,

M=—(2—2)2+&+4=〃+4,N=—Q一方)24-JI+4,

：h=^L_k=1(/_|)2.

③当搭＜z+2W3,即2＜忘|时,

3

"=一(2—2)2+什4=攵+4,N=~(t~^尸+2+4,

M-N13,

•・/?=^—=70-2)；

15

即

->♦>-时

23,/2y随x的增大而减小

53

M=—(，-5>+A+4,N=—(/-5)2+Z+4,

M-N

h=-2~=L2

一，+2,忘於

5产

2

-\!

27

5

-

2

1—2,

画出h关于，的函数图象如解图,

5

2

2

第5题解图

.・.当，=2时，力有最小值，最小值为上，

；・k+4=J,

O

31

解得2=一破.

6.解：(1)不存在；

【解法提示丁••当点。在正方形48co的边8C上时，N0ABVNDAB=9()。,NOCQ=90。,

，/O4B#NOC7),•••△04BgZ\OC。不成立，.,•不存在“等形点”.

(2)如解图①，过点A作AE1BC于点E

第6题解图①

•・•点。是四边形A8CD的“等形点”，

•••△0A8丝△OCO,

：.0A=0C=5,AB=CD=4y[2,

：.B0=BC-0C=1,

设BE=x,则EO=BO-BE=l~x,

在RtAABE和RtAAOE皿，

由勾股定理得AB2-BE2=AO2-OE2,

即(46)2—『=52—(7—62,

解得x=4,

••・0E=3,AE=4,

ACE=8,

・••在Rt^ACE中，由勾股定理得AC=44；

⑶如解图②，•・•点0是四边形EFGH的“等形点”，

:.△0EFW40GH,

：.OE=OG,OF=()H,ZEOF=ZGOH,

VEH//FG,

：.NHEO=/EOF,ZEHO=NGOH,

：・4HEO=/EHO,

：・OE=OH,

：.OF=OG,

.QL=.

••OG•

第6题解图②

7.解：⑴AC；

（2）aX）时,抛物线开口向上.

当/=房一4ac<0时，有4ac--b2>0.

—kr

,・Z>0,二顶点纵坐标44>0.

・•・顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如解图）.

第7题解图

，一元二次方程av2+&+c=0(〃W0)无实数根；

(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解.(答案不唯一.乂如：可用函数观点认识一元一

次不等式解集等)

8.(1)证明：如解图①，过点A作4N_LBC于点N.

在RtZ\ABN中，AN=csinB,

在RtZ\ACN中，AN=〃sinC,

AcsinB=bsinC,

.bc

**sinB-sinC;

第8题解图

(2)解：VZBAC=67°,28=53°,

AZC=60°.

如解图②，过点4作于点"

在RtZ\AC〃中，A”=4Csin60o=80X坐=4()小米.

?•・ACBC

X,sinB-sinZBAC'

80_BC

“lin0.8-0.9，

•••8C=90米，

，S