2020-2021学年高中数学-第七章-随机变量及其分布单元素养评价新人教A版选择性必修第三册

2020-2021学年高中数学第七章随机变量及其分布单元素养评价新人教A版选择性必修第三册2020-2021学年高中数学第七章随机变量及其分布单元素养评价新人教A版选择性必修第三册2021学年高中数学第七章随机变量及其分布单元素养评价新人教A版选择性必修第三册2020-2021学年高中数学第七章随机变量及其分布单元素养评价新人教A版选择性必修第三册年级：姓名：单元素养评价(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某人通过普通话二级测试的概率是QUOTE,若他连续测试3次(各次测试互不影响),那么其中恰有1次通过的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为某人通过普通话二级测试的概率是QUOTE,他连续测试3次,所以其中恰有1次通过的概率是:P=QUOTE=QUOTE.2.(2020·莲湖高二检测)如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》,这首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状况,那就是“雨纷纷”,即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率是()A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567【解析】选B.清明节当天下雨为事件A,第二天下雨为事件B,P(A)=0.9,P(AB)=0.63,则P(B|A)=QUOTE=QUOTE=0.7.3.(2020·赣州高二检测)随机变量ξ的分布列如表,且满足E(ξ)=2,则E(aξ+b)的值为()ξ123PabcA.0 B.1C.2 D.无法确定,与a,b有关【解析】选B.因为E(ξ)=2,所以由随机变量ξ的分布列得到:a+2b+3c=2,又a+b+c=1,解得a=c,所以2a+b=1,所以E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1.4.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次,设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的方差是()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.同时抛掷2枚质地均匀的硬币,恰好出现两枚正面向上的概率P=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以2枚硬币均正面向上的次数X～BQUOTE,所以X的方差D(X)=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.出现点数互不相同的共有6×5=30种,出现一个5点的共有5×2=10种,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE.6.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7,且预报准确与否相互独立,那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是()A.0.06 B.0.24 C.0.56 D.0.94【解析】选A.设“甲气象台预报准确”为事件A,“乙气象台预报准确”为事件B,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,且A,B相互独立,则在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率为P(QUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06.7.已知随机变量X,Y满足:X～B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=QUOTE,则D(Y)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.随机变量X满足:X～B(2,p),且P(X≥1)=QUOTE,所以P(X=0)=1-P(X≥1)=QUOTE(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以X～BQUOTE,所以D(X)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因为Y=2X+1,D(Y)=22D(X)=QUOTE.8.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是()A.甲10张,乙2张 B.甲9张,乙3张C.甲8张,乙4张 D.甲6张,乙6张【解析】选B.由题意知,继续比赛下去,甲获胜的概率为QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,乙获胜的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以甲应分得12×QUOTE=9张牌,乙应分得12×QUOTE=3张牌.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是()A.这5个家庭均有小汽车的概率为QUOTEB.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为QUOTEC.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为QUOTE【解析】选ACD.由题得小汽车的普及率为QUOTE,A.这5个家庭均有小汽车的概率为QUOTE=QUOTE,所以该命题是真命题;B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为QUOTE=QUOTE,所以该命题是假命题;C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,是真命题;D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以该命题是真命题.10.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=QUOTE,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大【解析】选AC.由正态分布密度曲线函数为f(x)=QUOTE,x∈(-∞,+∞),得μ=100,σ=10.所以该地水稻的平均株高为E(X)=100cm,故A正确;该地水稻株高的标准差σ=10,方差为100,故B错误;因为P(X>120)=QUOTE[1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]=QUOTE(1-0.9545)=0.02275,P(X<70)=QUOTE[1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)]=QUOTE(1-0.9973)=0.00135,所以随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大,故C正确;P(80<X<90)=QUOTE[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE(0.9545-0.6827)=0.1359,P(100<X<110)=QUOTE[P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE×0.6827=0.34135.所以随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率不一样大,故D错误.11.(2020·聊城高二检测)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=QUOTE,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是()A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=QUOTE D.D(4X+1)=4【解析】选ABC.随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=QUOTE,所以P(X=1)=QUOTE,E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE,在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(4X+1)=4E(X)+1=4×QUOTE+1=4,故B正确;在C中,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C正确;在D中,D(4X+1)=16×QUOTE=3,故D错误.12.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为QUOTE,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是()A.P1=P5B.P1<P5C.QUOTEPk=1D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4【解析】选BD.由n次独立重复试验的概率计算公式可知,Pk=QUOTE·QUOTE,所以P1=QUOTE·QUOTE,P5=QUOTE·QUOTE,显然P1<P5,即选项A错误,选项B正确;由必然事件的概率可知,QUOTEPk=1,而P0=QUOTE≠0,即选项C错误;设P0,P1,P2,…,P6中的最大值为Pi(0≤i≤6,且i∈N),则QUOTE即QUOTE解得QUOTE≤i≤QUOTE,因为i∈N,所以i=4,所以P0,P1,P2,…,P6中最大的为P4,即选项D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.离散型随机变量X～N(0,1),则P(-2≤X≤2)=________.

【解析】因为正态曲线的对称轴为直线x=0,所以P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.答案:0.954514.某人参加驾照考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是P,若此人未能通过的科目数ξ的均值是2,则P=________.

【解析】因为通过各科考试的概率为P,所以不能通过考试的概率为1-P,易知ξ～B(6,1-P),所以E(ξ)=6(1-P)=2,解得P=QUOTE.答案:QUOTE15.哈西某商场举办购物抽奖活动,凡当日购物满1000元的顾客,可参加抽奖,规则如下:盒中有大小质地均相同的5个球,其中2个红球和3个白球,不放回地依次摸出2个球,若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖,否则获得纪念奖,则顾客获得特等奖的概率是________.

【解析】设2个红球分别为A,B,3个白球分别为a,b,c,不放回地依次摸出2个球,基本事件总数有10个,分别为(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有(A,B),则顾客获得特等奖的概率是P=QUOTE.答案:QUOTE16.(2020·温州高二检测)盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取2个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后再放回,此时盒中黑球的个数为X,则P(X=3)=________,E(X)=________.

【解析】X=3表示取出的为一个白球,所以P(X=3)=QUOTE=QUOTE,X=2表示取出两个黑球,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,X=4表示取出2个球为白球,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,E(X)=3×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE【加练·固】某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,恰全为黑球的概率为QUOTE,则黑球的个数为________.若记取出3个球中黑球的个数为X,则D(X)=________.

【解析】设黑球的个数为n,由P=QUOTE=QUOTE得n=3,记取出3个球中黑球的个数为X,X的取值可以为:1,2,3;P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,画出分布列如下:X123PE(X)=QUOTE×1+QUOTE×2+QUOTE×3=QUOTE,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:3QUOTE四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;(2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.【解析】从6名成员中挑选2名成员,共有15种情况,记“男生甲被选中”为事件A,事件A所包含的基本事件数为5种,故P(A)=QUOTE.(1)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(AB)=QUOTE,由(1)知P(A)=QUOTE,故P(B|A)=QUOTE=QUOTE.(2)记“被选中的2人一男一女”为事件C,则P(C)=QUOTE,“女生乙被选中”为事件B,P(BC)=QUOTE,故P(B|C)=QUOTE=QUOTE.18.(12分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍,且每次试跳成功与否相互之间没有影响.(1)求甲试跳三次,第三次才成功的概率;(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率.【解析】设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p,则失败概率为1-p.依题意有p=4(1-p),解得p=QUOTE.(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响,所以试跳三次中第三次才成功的概率为(1-p)2p=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验,设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P,则P=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.19.(12分)某市教育部门计划从该市的中学生中选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗词大赛,该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙两所中学的学生中进行最后的筛选.甲中学推荐了3名男生,3名女生,乙中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后所有学生的水平相当,该市决定从参加集训的两校男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成该市的代表队.(1)求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率;(2)在省赛某场比赛前,从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛,设X表示参赛队员中的女生人数,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)依题意知,来自甲、乙两所中学参加集训的学生中共有男生6名,女生7名,则入选代表队的学生全部来自乙中学的概率为QUOTE=QUOTE,即没有1名甲中学的学生入选代表队的概率为QUOTE,故甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率为P=1-QUOTE=QUOTE.(2)因为参赛的6名队员中包含男生、女生各3名,故由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,所以X的分布列为:X0123PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.20.(12分)某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如表:T/分钟25303540频数/次20304010(1)求T的分布列与数学期望E(T);(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.【解析】(1)由统计结果可得T的频率分布为T/分钟25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32.(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立且与T的分布列相同,设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.P(QUOTE)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(QUOTE)=0.91.21.(12分)某游戏策划者策划了一个抽奖游戏,规则如下:一个口袋中装有完全一样的5张牌,分别写有数字“1”“2”“3”“4”“5”,每次从口袋中摸出3张牌,若摸出3张牌的和为奇数,则获胜,否则为失败.(1)求抽奖者每次摸牌获胜的概率;(2)若每位抽奖者每交a(a为正整数)元钱就可获得三次摸牌机会.若三次摸牌均获胜则中一等奖,奖励价值10元的奶茶一杯;若三次摸牌获胜两次则中二等奖,奖励价值3元的可乐一瓶;其他均不中奖.游戏策划者要想不亏钱,则a至少是多少?【解析】(1)由题意从5张牌中摸出3张牌包含的基本事件有QUOTE=10个,其中3张牌的和为奇数包含3张奇数牌或1张奇数牌2张偶数牌,共有QUOTE+QUOTE×QUOTE=4个基本事件,所以抽奖者每次摸牌获胜的概率P=QUOTE=QUOTE.(2)设X为三次摸牌中获胜的次数,则X～BQUOTE,则三次摸牌中获胜的次数为3的概率为P(X=3)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中获胜的次数为2的概率为P(X=2)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中获胜的次数为1的概率为P(X=1)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中获胜的次数为0的概率为P(X=0)=QUOTE=QUOTE,设Y为抽奖者的收益(单位:元),Y可取10-a,3-a,-a,由题意P(Y=10-a)=P(X=3)=QUOTE,P(Y=3-a)=P(X=2)=QUOTE,P(Y=-a)=P(X=1)+P(X=0)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以随机变量Y的分布列为:Y10-a3-a-aPE(Y)=(10-a)×QUOTE+(3-a)×QUOTE+(-a)×QUOTE=QUOTE,游戏策划者要想不亏钱,则需保证