江苏省无锡市锡山高级中学2025届高三上学期10月阶段学情调研数学试题

高三10月综合练习数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以，由可得：，即，所以，所以.故选：C.2.复数（为虚数单位）共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算可求得，由共轭复数概念即可得出结果.【详解】，则，故在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．3.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4.已知单位向量，满足，若向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.【详解】由单位向量，则，即，，.故选：B.5.已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式分析充分性和必要性.【详解】若，，则，所以由对任意，，推不出，故充分性不成立；若，，则，所以对任意，成立，故必要性成立，所以对任意，是的必要不充分条件.故选：B.6.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.【详解】因为，与的夹角为，所以，则，所以在上的投影向量为．故选：B.7.已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（）A.117 B.118 C.122 D.123【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以，因为为偶函数，所以，当时有，又因为，所以，所以，，所以，所以即，故选：C8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，则有，，，令,利用导数可得，即；令，利用导数可得，即；令，利用导数可得，即，从而可得，即可得答案.【详解】解：因为，，令，因为，所以，所以，所以，，，令,则有,所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以,即有,所以有(当时取等号)，所以，即；令，则，所以单调递减，所以当时，，即，所以，即有，所以，故排除A，D；令，则，，所以单调递减，当时，，所以单调递减，所以当时，，即，所以，所以，即，所以.故选：B.二、多选题9.关于复数，下列说法正确的是（）A.B.若，则的最小值为C.D.若是关于的方程：的根，则【答案】BD【解析】【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项.【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；设，B选项：由，则，且，则，，又，所以当时取最小值为，B选项正确；C选项：，，，所以，C选项错误；D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，且与互为共轭复数，由可知，则，即，D选项正确；故选：BD.10.已知实数x，y满足，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D.【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；所以，即可得；所以A错误；对于B，由于，再根据不等式，得，所以，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；即B正确；对于C，，再根据不等式，得，即可得，当且仅当时，不等式的等号成立，当且仅当时，不等式的等号成立；所以C正确；对于D，由，可知，即；当且仅当或时，不等式的等号成立，由得，而，即所以，即可得；当且仅当或时，不等式的等号成立；所以；即D正确.故选：BCD.11.由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（）AB.C.已知方程在上有三个根，记为，，，则D.对于任意的，当时一定有【答案】ACD【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到A正确，根据得到，解得B错误，设，得到三个根分别为，，，代入计算得到C正确，代入数据利用三角恒等变换得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，，整理得到，，即，解得或（舍），错误；对选项C：，设，，，即，，或，或，故三个根分别为，，，，正确；对选项D：，正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据推导的三倍角的公式设得到方程的解，再代入计算是解题的关键.三、填空题12.如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.【答案】##【解析】【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接、，由题意可知，，，则、、、，所以，，，故.故答案为：.13.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为等边三角形，所以，则，在中，由正弦定理，则，解得，由余弦定理，则，整理可得：，则，解得或（舍去），等边边长为，其面积为.故答案为：.14.在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.【详解】因为，，所以，当时，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.四、解答题15.在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，的外接圆直径为，求的周长.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解；（2）借助正弦定理计算可得，再利用余弦定理计算可得，即可得其周长.【小问1详解】由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因为，所以；【小问2详解】由（1）根据正弦定理，得，解得，由余弦定理，得，解得，所以的周长为.16.已知函数（1）若，求的值；（2）证明：函数的图象关于对称；（3）现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）代入数据直接计算即可；（2）计算得到证明；（3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑x=0和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.小问1详解】由题设，解得；【小问2详解】，，故，即函数的图象关于对称；【小问3详解】函数的图象关于对称，函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，不等式恒成立，等价于，整理得当时，不等式成立，此时；当时，，而，当时等号成立，故，即；综上所述：的取值范围为.17.中，内角所对的边分别为，．（1）求；（2）如图，点为边上一点，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得，的值，即可求得答案.（2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案.【小问1详解】∵，∴，∴，由正弦定理，可得，∵，∴，，∵，∴，则，∴＝．【小问2详解】，又，∵，∴，∵，∴，则，∴sin＝＝，又，∴在中，由正弦定理，可得，∴，，∴＝＝＝．18.已知为数列的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【小问1详解】法一:当时，，即，由，得，由，得，两式相减得：．又，满足上式．所以当时，，又当时，，两式相减得：，所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为奇数），数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为偶数），所以，即的通项公式是．法二：因为，所以，同理可得，故，因为，所以，即，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式是.【小问2详解】因为，故当时，①，当时，②，①、②两式相减得：，因为，，所以，因为，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以；当n为偶数时，,当n为奇数时，，综上，.19.若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系．（1）若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由；（2）设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围；（3）当时，证明：．【答案】（1）具有Bernoulli型关系，理由见解析；（2）,（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义判断是否满足即可；（2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解；（3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再根据的范围求出的范围，进而可求出的范围，最后可得的范围．【小问1详解】依题意，是否具有型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：①，②，，，具有型关系．【小问2详解】令，，，则，①当时，显然有，成立；②当时，若，则，即，在区间上单调递减，若，则，即，若