2024学年景德镇市高二数学上学期期中考试卷及答案解析

学年景德镇市高二数学上学期期中考试卷满分：150分考试时间：120（分钟）2024.11第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.直线的方向向量是（）A. B. C. D.3.“”是“两条直线，平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨5.直线关于x=1对称直线，直线的方程是（）A.B.C. D.6.若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心7.四边形ABCD是矩形，，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕旋转至与四边形重合，则直线所成角在旋转过程中（）A.逐步变大B.逐步变小C先变小后变大D.先变大后变小8.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的有（）A.若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则B.若非零向量，，满足，，则有C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件D.若是空间的一组基，则也是空间的一组基10.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五边形 D.正六边形11.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线，的方向向量分别为，，若，则__________.13.有一根高为，底面半径为1圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.14.如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点.则______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线．（1）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．16.如图，平面，，，，，．（1）求证：平面ADE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；17.如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，.

（1）若M为中点，求证：平面；（2）求直线与直线所成角的大小；（3）设平面平面，试判断l与平面能否垂直？并证明你的结论.18.如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．（1）若为中点，求证：；（2）若平面，求线段长度的最小值．19.在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面的一般式方程.（2）求到直线距离.（3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.乐平三中2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试卷满分：150分考试时间：120（分钟）第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：；故选：C2.直线的方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可.【详解】直线的斜率为12，所以方向向量是.故选：A.3.“”是“两条直线，平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用直线平行的条件计算可得结论.【详解】当时，两条直线，，两直线平行，所以“”是“两条直线，平行”的充分条件；因为直线的斜率存在且为，由两直线平行，所以的斜率存在且为，所以，解得或，当时，直线方程均为，此时直线重合，故不符合题意，舍去；所以“”是“两条直线，平行”的充要条件.故选：C.4.定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】做出容器的轴截面，如图所示，则，，，则为中点，则，，由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积，则降雨高度为，所以降雨级别为中雨，故选：B.5.直线关于x=1对称直线，直线的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知直线与直线交于点，求出原点关于直线对称的对称点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线与直线交于点，直线过原点，因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：C6.若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】【分析】根据且，，利用线面垂直的判定定理得到，即可.【详解】解：如图所示：因为，且，所以平面，则，同理得，所以O是的垂心．故选：D7.四边形ABCD是矩形，，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕旋转至与四边形重合，则直线所成角在旋转过程中（）A.逐步变大B.逐步变小C.先变小后变大D.先变大后变小【答案】D【解析】【分析】根据初始时刻ED与BF所成角可判断BC，由题可知在平面内的投影一直落在直线上，进而某一时刻，可得与所成角为，可判断AD.【详解】由题可知初始时刻与所成角为0，故错误，在四边形AEFD绕旋转过程中，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故在平面内的投影一直落在直线上，所以一定存在某一时刻，而平面，，又平面，所以平面，此时与所成角为，然后开始变小，故直线所成角在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确.故选：D.8.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件求出以三个小球球心、、构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可.【详解】三个小球的球心、、构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为．设半球的球心为，小球与半球底面切于点．如图，经过点、、作半球的截面，半圆的半径，于点．则．在中，由．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的有（）A.若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则B.若非零向量，，满足，，则有C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件D.若是空间的一组基，则也是空间的一组基【答案】AD【解析】【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底，∴，只能为共线向量，∴，A对；B选项，取，，，显然满足，，但与不平行，B不对；C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是，此时直线没有斜率，所以C选项错误.D选项，∵，，为一组基底，∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t，使，∴，，也是一组基底，D对；故选：AD10.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五边形 D.正六边形【答案】ABC【解析】【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC．11.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线，的方向向量分别为，，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.【详解】由已知，即，则，解得，故答案为：.13.有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.【答案】【解析】【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度即为的长，又，填.【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.14.如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点.则______.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解.【详解】依题意，设，则，，，由为底面中心，连接，，，又因为四点共面，所以且，所以，即，即.故答案为：【点睛】关键点睛：空间向量的有效运用：空间向量是解决空间几何问题的有力工具.通过设定向量的关系，可以有效地将几何问题转化为代数问题，简化求解过程.共面条件的判断：四点共面的条件在空间几何中非常重要.利用这一条件，可以将空间中的复杂关系转化为简单的线性关系，方便求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线．（1）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．【答案】（1）（2）的最小值为，此时直线的方程为【解析】【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当时，方程可化为，不经过第一象限；当时，方程可化为，要使直线不经过第一象限，则解得．综上，k的取值范围为．【小问2详解】由题意可得，由取得，取得，所以，当且仅当时，即时取等号，综上，此时，直线的方程为．16.如图，平面，，，，，．（1）求证：平面ADE；（2）求直线与平面所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面平面ADE，再由面面平行的性质可得结论；（2）由几何体特征建立以为原点的空间直角坐标系，利用空间向量求出直线的方向向量与平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由，平面，平面，则平面，由，平面，平面，则平面，而，平面，故平面平面，又平面BCF，则平面；【小问2详解】平面ABCD，平面，则，，又，以为原点，分别以为轴构建空间直角坐标系，如下图所示：又，，所以，，，，则，，，令平面的一个法向量，则，令，则，即，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．17.如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，.

（1）若M为中点，求证：平面；（2）求直线与直线所成角的大小；（3）设平面平面，试判断l与平面能否垂直？并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）（3）能垂直，证明见解析【解析】【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用线线平行可得是直线与直线所成角，利用面面垂直可得，结合已知条件可得，利用线面垂直可得，可得出的值，即可求解.（3）根据题意可得，利用平行的传递性，可证明平面.【小问1详解】连结，交于，连接，∵为矩形，∴为的中点，在中，，分别为，的中点，∴，因为面，面，所以平面.【小问2详解】∵，∴，∴是直线与直线所成角.∵矩形，∴，∵平面平面，又平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，，在中，∵，，∴，∵，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，在中，∵，∴，∴，从而直线与直线所成的角为；【小问3详解】l与平面垂直.证明如下：∵为矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵平面平面，∴，则，由（2）可知平面，∴平面.18.如图，平行六面体所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．（1）若为中点，求证：；（2）若平面，求线段长度的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由条件先求，，，再证明，由此完成证明；（2）建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程确定的关系，再求的最小值即可.【小问1详解】由已知，，，，所以，，，因为为中点，所以，又，所以，所