七年级数学 第04讲 有理数的加减（原卷版）

第04讲有理数的加减1.理解有理数加法和减法法则；2.能利用加法和减法法则进行简单的有理数的加法、减法运算；3.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；4.通过将减法转化成加法，初步培养学生数学的归一思想知识点1：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点2：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点3：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b考点1：有理数加减法的概念辨析例1.（2023春•闵行区期中）如果两个数的和是正数，那么（）A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能【变式1-1】（2022秋•定州市期末）下列问题情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（）A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离【变式1-2】（2022秋•宜兴市月考）下列说法正确的是（）A．减去一个数等于加上一个数 B．两个相反数相减得0 C．两个数相减差一定小于被减数 D．两个数相减，差不一定小于被减数【变式1-3】（2021秋•信都区期中）在应用有理数减法法则，对进行运算时，下列说法正确的是（）A．①、②均需变成“+” B．只有①变成“+” C．只有①变成“×” D．只有②变成“+”考点二：有理数加减法在数轴上的运用例2.（2020•新华区一模）数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值（）A．是正数 B．是零 C．是负数 D．正、负无法确定【变式2-1】（2022秋•永春县校级期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）A．.a＜0 B．b＞0 C．a+b＞0 D．a+b＜0【变式2-2】（2022秋•安徽期中）有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示则下列四个选项正确的是（）A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a+b＞0 D．﹣a+b＞0【变式2-3】（2022秋•宾阳县期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a+1＞0 D．a﹣b＞0考点三：有理数加减法混合运算例3.（2023春•南岗区校级月考）计算：（1）（﹣0.9）+1.5；（2）；（3）；（4）．【变式3-1】（2023春•惠阳区校级月考）计算：（﹣8）+（﹣1.2）+（﹣0.6）+（﹣2.4）．【变式3-2】（2021秋•鱼台县期末）计算（1）4.7+（﹣0.8）+5.3+（﹣8.2）；（2）（﹣）+（+）+（﹣）．例4.（2022秋•汉阳区校级期末）计算：（1）7+（﹣2）﹣3.4；（2）（﹣21.6）+3﹣7.4+（﹣）；（3）31+（﹣）+0.25；（4）7﹣（﹣）+1.5；（5）49﹣（﹣20.6）﹣；（6）（﹣）﹣7﹣（﹣3.2）+（﹣1）【变式4-1】（2022秋•花垣县月考）计算：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17；（2）．【变式4-2】（2022秋•浑南区月考）计算：（1）（﹣72）﹣（﹣37）﹣（﹣22）﹣17；（2）（﹣2）﹣（+3）﹣（+4）+（﹣3）；（3）1+（﹣7）﹣（﹣3.25）﹣；（4）20﹣（﹣6）﹣|﹣3|；（5）13﹣（﹣12）+（﹣21）；（6）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6．【变式4-3】（2022秋•文圣区校级月考）计算：（1）﹣3﹣3；（2）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6；（3）﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）；（4）11.125﹣1+4﹣4.75；（5）﹣165+265﹣78﹣22+65；（6）（﹣7.3）﹣（﹣6）+|﹣3.3|+1．考点四：有理数加减法与绝对值的综合例5.（2022秋•东莞市期中）计算：（1）5+（﹣6）﹣3+9﹣（﹣4）；（2）．【变式5-1】（2022秋•兰考县月考）计算：（1）20+（﹣14）﹣（﹣18）+13；（2）﹣﹣|﹣|﹣+1．【变式5-2】（2022秋•泌阳县校级月考）计算：（1）﹣32﹣（﹣17）﹣|﹣23|+（﹣15）；（2）（﹣0.6）+2+10+（﹣1）+（﹣2.5）．【变式5-3】（2022秋•靖江市月考）计算：（1）0﹣4﹣（﹣5）；（2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+；（4）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；（5）﹣|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；（6）（﹣3）﹣（﹣2.4）+（﹣）﹣（+4）．考点五：有理数加减法中的规律计算例6.（2022秋•新邵县期中）阅读：对于，可以按如下方法计算：原式＝＝＝．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：．【变式6-1】（2022秋•陈仓区校级月考）2+2﹣4+6﹣8+10﹣12+……+98﹣100．【变式6-2】（2022秋•越秀区校级期中）阅读下面的解题方法．计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）．解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣）＝﹣．上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣2021）+4043+（﹣2022）+1．【变式6-3】（2022秋•乳山市期中）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7．【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：①|7﹣21|＝；②＝；③＝．【拓广应用】（2）计算：④；⑤．考点六：有理数加减法的实际应应用例7．（2022秋•商河县校级期末）．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？【变式7-1】（2022秋•兴化市校级期末）在2022年8月的北碚山火救灾中，位于山腰的2号物资集散地作为重要的物资中转站，8月21日结束时还剩矿泉水16箱，集散地矿泉水的进出情况如下表（运进记作“+”．运出记作“﹣”），经过五天奋战，8月26日结束时还剩矿泉水36箱．时间8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日运进+54+52+40+64b运出﹣30a﹣50﹣52﹣22与前一天相比（增加记作“+”，减少记作“﹣”）+24+16﹣10+12c（1）直接写出a、b、c的值：a＝﹣36；b＝0；c＝﹣22；（2）请通过计算求出哪一天结束时2号物资集散地矿泉水数量最多？（3）由于地势陡峭，2号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？【变式7-2】（2022秋•宁强县期末）老师倡导同学们多读书，读好书，要求每天读课外书30分钟，小伟由于种种原因，实际每天读课外书的时间与老师要求时间相比有出入，下表是小伟某周的读课外书情况（增加记为正，减少记为负）．星期一二三四五六日增减/分钟+5﹣2﹣4+13﹣10+15﹣9（1）读课外书最多的一天比最少的一天多多少分钟？（2）根据记录的数据可知，小伟该周实际读课外书多少分钟？【变式7-3】（2022秋•息县期中）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg．班级一二三四五六超过（不足）（kg）+1+2﹣1.50﹣1（1）请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；（3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg（包括30kg）以内的2元/千克，超出30kg的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格．考点七：有理数加减法中新定义问题例8．（2021秋•盂县期末）先阅读下面材料，再完成任务：【材料】下列等式：4﹣＝4×+1，7﹣＝7×+1，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：（4，）、（7，）都是“共生有理数对”．【任务】（1）在两个数对（﹣2，1）、（2，）中，“共生有理数对”是（2，）；（2）请再写出一对“共生有理数对”（﹣，﹣3）；（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）（3）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值；（4）若（m，n）是“共生有理数对”，判断（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”．（填“是”或“不是”）【变式8-1】（2021春•随县期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}﹣{1}＝﹣1.4．【变式8-2】（2022秋•綦江区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离3．（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣3|＝2，那么x＝1或5．（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜4，求|x﹣4|+|x+4|的值．1．（2022•沈阳）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣82．（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．13．（2021•西宁）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（﹣2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（）A．（+3）+（+6） B．（+3）+（﹣6） C．（﹣3）+（+6） D．（﹣3）+（﹣6）4．（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．55．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃6．（2022•河北）与﹣3相等的是（）A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+7．（2021•河北）能与﹣（﹣）相加得0的是（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣+ D．﹣+8．（2022•台湾）算式+﹣（﹣）之值为何？（）A． B． C． D．9．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝．1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（）A．﹣3 B．﹣1 C． D．22．（2023•雁塔区校级模拟）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣2℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（）A．6℃ B．2℃ C．﹣2℃ D．﹣6℃3．（2021秋•藁城区校级月考）下列说法正确的是（）A．减去一个数，等于加上这个数 B．零减去一个数仍得这个数 C．互为相反数的两个数相减得零 D．相同的两个数的差为04．（2021秋•雁塔区校级月考）下列说法中正确的是（）A．比﹣3大的负数有3个 B．比﹣2大3的数是﹣5 C．比2小5的数是﹣3 D．比﹣3小2的数是﹣15．（2022秋•赣州期末）有理数a，b在数轴上的位置如图，则下列说法中，错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．b﹣a＞0 D．a+b＜06．（2022秋•花都区期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b0．（填“＞”、“＜”或“＝”）7．（2022秋•博兴县期末）在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是．8．（2022秋•松原期末）计算：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）．9．（2022秋•荣县期中）计算：（﹣21）﹣（﹣9）+|﹣8|﹣（﹣12）．10．（2022秋•小店区校级月考）计算题：（1）8+（﹣11）﹣|﹣5|；（2）12+（﹣）﹣（﹣8）﹣；（3）0.125+3﹣+5﹣0.25；（4）（﹣5）﹣（﹣12）﹣（+3）+（+6）．11．（2022秋•迎泽区校级月考）计算：（1）﹣6﹣（﹣13）+（﹣9）；（2）8+（﹣11）﹣|﹣5|；（3）；（4）．12．（2022秋•揭西县校级月考）阅读下题的计算方法：计算．解：原式＝＝＝＝上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣4）+（+8）+（﹣3）．13．（2022秋•望花区期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|平所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离；（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝2，那么x＝；（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x+8|的最小值是．14．（2022秋•咸安区期中）随着人们生活