第01讲 一元二次方程（解析版）

第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．

(2)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．

【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

对任何实数a，它都是一个一元二次方程．

(2)经整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，

当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．

【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．

例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤含有2个未知数，不是一元方程；⑦化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程

3x2+4x-2=0．

各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．

(2)两边同乘-12，得到整数系数方程

6x2-20x+9=0．

各项的系数分别是：．

【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件

m2-8≠0，即m≠±．

可知它的各项系数分别是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

参数m的取值范围是不等于±的一切实数．

【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）．【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x的方程2x2-【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于的方程的解，求实数的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于的方程的解，∴∴①当∴∴原方程为：∴此方程有两个不相等的根．解得：②当∴∴【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是x2-ax+7=0（2）已知关于x的一元二次方程有一个根是0，求m的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（

）A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是【答案】B【分析】通过观察表格可得时，，即可求解．【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，∴时，，∴解的整数部分是，十分位是．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，，∴；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为_______．【答案】【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．【详解】解：依题意得，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．5．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）若m是方程的一个根，则代数式的值为________．【答案】2022【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴；故答案为：2022．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴且，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．三、解答题7．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）先化简再求值：，其中a是方程的根．【答案】，．【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把化为，再整体代入计算即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法求值”是解本题的关键．8．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．(1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是（只填序号）；(2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；(3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)②③(2)(3)【分析】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对“反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点；（2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可；（3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可．（1）解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对“反换点”，且即①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n）代入，则有即将Q（－n，－m）代入，则有即与矛盾∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上∴图象上不存在“反换点”故①不符合题意；②假设图象上存在“反换点”，将P（m，n）代入，则有即将Q（－n，－m）代入，则有即与相同∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上∴图象上存在“反换点”故②符合题意；③假设图象上存在“反换点”，将P（m，n）代入，则有①将Q（－n，－m）代入，则有即②将①代入②中得即解得或（舍去）∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上∴图象上存在“反换点”故③符合题意；故答案为：②③．（2）解：设，则，其中∴解得∴将代入得解得∴的值为．（3）解：假设图象上存在“反换点”则有①+②式得∴或（舍去）将代入①中得解得或当时，，此时，，两点的中点坐标为；当时，，此时，，两点的中点坐标为；∴存在“反换点”，线段中点坐标为．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程．一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、【答案】D【分析】将一元二次方程化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，得，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，则，解得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为（）x4.674.614.564.514.464.414.35A． B． C． D．【答案】C【分析】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应x的值为−1.12和−1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的x的值，由此判断即可．【详解】解：∵x=−1.12时，；x=−1.11时，；∴时，对应x应满足−1.12<x<−1.11，∴原方程的近似解为：−1.117．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．二、填空题4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______．【答案】【分析】利用整体思想设，得到方程，再根据即可得到的值，最后得出结论．【详解】解：∵在中，设∴∵有一个根∴在中∴即在中，∴故答案为：【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为_________【答案】【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程的两个根分别是2、1，则______．【答案】【分析】把代入得出，整理即可得出答案．【详解】解：把代入得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出．三、解答题7．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或(2)【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．8．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】(1)m＝1；x＝﹣1(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．9．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．（2）如果是方程的一个根，求的值．【答案】（1）且；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把代入中得到，再由进行求解即可．【详解】解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴且；（2）∵是方程的一个根，∴，即∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．10．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．【答案】1【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．11．（2022秋·九年级课时练习）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝；(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．【答案】(1)±3(2)见解析【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，故答案为：±3．（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x