2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1-3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-1

PAGE基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[A组学业达标]1．函数y＝eq\f(cosx,1－x)的导数是()A.eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2)B.eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2)D.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,1－x)))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).答案：C2．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2解析：∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数．所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B4．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)在x＝0处的导数值为()A．－6 B．0C．6 D．1解析：∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6.答案：A5．若函数f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0 B．－1C．1 D．2解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.答案：B6．若函数f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c＝________.解析：∵f(x)＝eq\f(ex,x)，∴f(c)＝eq\f(ec,c).又f′(x)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2)，∴f′(c)＝eq\f(ecc－1,c2).由题意，知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq\f(ec,c)＋eq\f(ecc－1,c2)＝0，∴2c－1＝0，解得c＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．解析：设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，则y0＝e，则P点坐标为(e，e)．答案：(e，e)8．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：∵f(x)＝ax－lnx，∴f(1)＝a，即切点是(1，a)．∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1，即l在y轴上的截距为1.答案：19．求下列函数的导数．(1)f(x)＝e－x(sinx＋cosx)；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(3)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x>0)．解析：(1)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx＋sinx,ex)))′＝eq\f(cosx－sinxex－excosx＋sinx,e2x)＝eq\f(－2sinx,ex)＝－2e－xsinx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex＋1,ex－1)))′＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).(3)法一：y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.法二：因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.10．求过曲线y＝sinx在x＝eq\f(π,4)处的点且与此处切线垂直的直线方程．解析：由于y′＝(sinx)′＝cosx，则y′|x＝eq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，从而与切线垂直的直线的斜率为－eq\r(2)，依点斜式得符合题意的直线方程为y－eq\f(\r(2),2)＝－eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，即eq\r(2)x＋y－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),4)π＝0.[B组实力提升]11．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq\f(a,b)的值为()A．－eq\f(1,2e) B．－eq\f(2,e)C.eq\f(2,e) D.eq\f(1,2e)解析：y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2e)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,2e).答案：D12．若直线y＝eq\f(1,2)x＋b与曲线y＝－eq\f(1,2)x＋lnx相切，则实数b的值为()A．－2 B．－1C．－eq\f(1,2) D．1解析：设切点为(x0，y0)．由y＝－eq\f(1,2)x＋lnx，得y′＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,x)，所以－eq\f(1,2)＋eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝1，y0＝－eq\f(1,2)，代入直线y＝eq\f(1,2)x＋b，得－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋b，解得b＝－1，故选B.答案：B13．曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为________．解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得导数值为eq\f(1,2)，即为所求切线的斜率．答案：eq\f(1,2)14．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋eq\f(1,x)，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，axeq\o\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\o\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))答案：815．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满意f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a,3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).则f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.16．已知曲线y＝f(x)＝eq\f(x2,a)－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f′(x)＝eq\f(2x,a)，切线斜率k＝f′(1)＝eq\f(2,a)，所以切线l的方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝eq\f(2,a)(x－1)，即2x－ay－a－1＝0.令y＝0，得x＝eq\f(a＋1,2)；令x＝0，得y＝－eq\f(a＋1,a).所以l与