2025版高考数学一轮复习第十章概率文第一讲随机事件的概率文第四讲随机事件的概率学案理含解析新人教版

PAGE第十章概率(文)第一讲随机事务的概率(文)第四讲随机事务的概率(理)学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一随机事务和确定事务(1)在条件S下，__必定要发生__的事务，叫做相对于条件S的必定事务，简称必定事务．(2)在条件S下，__不行能发生__的事务，叫做相对于条件S的不行能事务，简称不行能事务．(3)必定事务和不行能事务统称为相对于条件S的确定事务，简称确定事务．(4)在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事务，叫做相对于条件S的随机事务，简称随机事务．学问点二概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的__频数__，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事务A，由于事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率fn(A)__来估计概率P(A)．学问点三互斥事务与对立事务事务的关系与运算定义符号表示包含关系若事务A__发生__，则事务B__确定发生__，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)__B⊇A____(或A⊆B)__相等关系若B⊇A，且__A⊇B__，则称事务A与事务B相等__A＝B__并事务(和事务)若某事务发生__当且仅当事务A发生或事务B发生__，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)__A∪B____(或A＋B)__交事务(积事务)若某事务发生__当且仅当事务A发生且事务B发生__，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)__A∩B____(或AB)__互斥事务若A∩B为__不行能__事务，则称事务A与事务B互斥__A∩B＝∅__对立事务若A∩B为__不行能__事务，A∪B为__必定事务__，则称事务A与事务B互为对立事务__A∩B＝∅，____且A∪B＝Ω__eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__．(2)必定事务的概率：P(A)＝__1__．(3)不行能事务的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事务发生的频率与概率是相同的．(×)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事务的和事务是指两个事务都得发生．(×)(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)(5)对立事务确定是互斥事务、互斥事务不确定是对立事务．(√)题组二走进教材2．(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的对立事务是(D)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶[解析]“至少有一次中靶”的对立事务是“两次都不中靶”．故选D．3．(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__eq\f(5,6)__．[解析]掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)．题组三走向高考4．(2024·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(B)A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7[解析]设事务A为“不用现金支付”，事务B为“既用现金支付也用非现金支付”，事务C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B．5．(2024·新课标Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(A)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)[解析]O，A，B，C，D中任取3点，共有OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故选A．考点突破·互动探究考点一随机事务的关系——自主练透例1(1)(2024·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是(C)A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2024·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事务中，是对立事务的是(C)A．① B．②④C．③ D．①③(3)设条件甲：“事务A与事务B是对立事务”，结论乙：“概率满意P(A)＋P(B)＝1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事务，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事务，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事务，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事务，不符合题意．故选C．(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种状况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种状况，它与两个都是偶数是对立事务．又①中的事务可以同时发生，不是对立事务，故选C．(3)若事务A与事务B是对立事务，则A∪B为必定事务，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不确定是对立事务，如：事务A：“至少出现一次正面”，事务B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事务，故甲是乙的充分不必要条件．名师点拨(1)精确把握互斥事务与对立事务的概念：①互斥事务是不行能同时发生的事务，但也可以同时不发生；②对立事务是特殊的互斥事务，特殊在对立的两个事务不行能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务确定是互斥事务．〔变式训练1〕(2024·宁夏检测)抽查10件产品，设事务A为“至少有2件次品”，则事务A的对立事务为(B)A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品[解析]∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事务A“至少有2件次品”，∴事务A的对立事务为“至多有1件次品”．考点二随机事务的概率——多维探究角度1频率与概率例2(2024·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解析](1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50．故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025．(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372．故所求概率估计为1－eq\f(372,2000)＝0.814．(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率．角度2统计与概率例3(2024·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中有一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是(A)甲乙9883372109●9A．eq\f(4,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(9,10) D．eq\f(7,10)[解析]记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成果是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(442＋x,5)，令90＞eq\f(442＋x,5)，解得x＜8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)．故选A．名师点拨概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事务的概率．〔变式训练2〕(1)(2024·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必需有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)(2)(2024·吉林模拟)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××①估计顾客同时购买乙和丙的概率；②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；③假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析](1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种))，A城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P＝eq\f(1,6)．(2)①从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2．②从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3．③与①同理．可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1．所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三,互斥事务、对立事务的概率——师生共研例4(1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A、B、C．求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)(2024·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，随意抽取2个，下列事务发生概率为eq\f(9,10)的是(C)A．2个都是正品 B．恰有1个是正品C．至少有1个正品 D．至多有1个正品[解析](1)①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20)．②因为事务A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000)．故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000)．③P(eq\x\to(A∪B))＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000)．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000)．(2)从5个产品中任取2个的取法有eq\f(5×4,2)＝10种，其中2个都是正品的取法有eq\f(3×2,2)＝3种，故2个都是正品的概率P1＝eq\f(3,10)；其对立事务是“至多有1个正品”，概率为P2＝1－P1＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)．恰有1个正品的取法有3×2＝6种，故恰有1个正品的概率P3＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．至少有1个正品的概率P4＝P1＋P3＝eq\f(3,10)＋eq\f(6,10)＝eq\f(9,10)．名师点拨求困难的互斥事务的概率的两种方法(1)干脆求解法，将所求事务的概率分解为一些彼此互斥的事务的概率的和，运用互斥事务的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事务的对立事务的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即运用逆向思维(正难则反)．特殊是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕(1)(2024·西安二模)2024年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务BA．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务(2)依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．[解析](1)2024年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务B不能同时发生，但能同时不发生，故事务A和B(2)记A表示事务：该车主购买甲种保险；B表示事务：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事务：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事务：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因为D与C是对立事务，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名师讲坛·素养提升用正难则反的思想求互斥事务的概率例5(1)(理)(2024·浙江湖州期末)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__eq\f(2,5)__．(文)(2024·辽宁葫芦岛模拟)现有钉钉、腾讯、伯索云、直播云、云视讯5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为老师“停课不停学”的教学工具，则其中钉钉、腾讯、云视讯至多有2种被选取的概率为__eq\f(9,10)__．(2)(2024·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析](1)(理)5个不同编号的小球排列有Aeq\o\al(5,5)＝120种排法，只有黑色(或白色)小球相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种排法；黑色、白色小球分别相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法，故有相同颜色小球相邻的排法有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝72种排法，故所求概率P＝eq\f(120－72,120)＝eq\f(2,5)．(文)记钉钉—D，腾讯—T，伯索云—B，直播云—Z，云视讯—Y，从5种软件中选3种的选法与从中选2种的选法种数相同，有(D、T)，(D、B)，(D、Z)，(D、Y)，(T、B)，(T、Z)，(T、Y)，(B、Z)，(B、Y)，(Z、Y)共10种，记事务“钉钉、腾讯、云视讯至少有2种被选中”为A，则eq\o(A,\s\up6(－))为“钉钉、腾讯、云视讯中选3种”就1种，∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)．(2)记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F互斥．①记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44