第30讲三角函数解答题7种常见题型总结（原卷版）

第30讲三角函数解答题7种常见题型总结【题型目录】题型一：三角恒等变换的应用题型二：三角函数最值值域问题题型三：三角函数的单调性问题题型四：五点法作图问题题型五：三角函数不等式恒成立问题题型六：三角函数零点根的个数问题题型七：三角函数的应用性问题【典例例题】题型一：三角恒等变换的应用【例1】（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数.(1)若函数的图象过点，且，求的值；(2)若，且，求的值.【例2】（2022·重庆八中高三开学考试）已知，，.(1)求的值；(2)求的值.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【例4】（2022·江苏·高一开学考试）已知函数．(1)，为锐角，，，求及的值；(2)已知，，，求及的值．【题型专练】1．（2022·江苏镇江·高一期末）已知，．(1)求cos2α的值；(2)若，且，求角β．2．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知．(1)求和；(2)求．3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，．求：(1)；(2)．4．（2022·四川自贡·高一期末）已知函数.(1)求函数的周期和单调递减区间；(2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.5．（2023安徽·高三阶段练习（理））已知函数，满足.(1)求的解析式；(2)将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值.题型二：三角函数最值值域问题【例1】函数且满足___________.①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.（1）确定的值并求函数的单调区间；（2）求函数在上的值域.【例2】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求在区间［0，］上的最值.【例3】（2022·辽宁抚顺·高一期末）函数，函数的最小正周期为.(1)求函数的递增区间：(2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域.【例4】（2022·辽宁·高一期末）函数（1）说明函数的图像是由函数经过怎样的变换得到的；（2）函数，求函数的值域，并指出的最小正周期（不需要证明）.【例5】（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【例6】先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.（1）求函数的解析式；（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.【题型专练】1．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域．2．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数相邻两个零点之间的距离为，且的图像关于点（，0）对称．(1)求函数的解析式；(2)将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在[0，m]上的值域为[－1，2]，求m的取值范围．3．（2022·福建·高二学业考试）已知函数，求：(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的值域．(3)描述如何由的图象变换得到函数的图象．4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）已知，其中，给出三个条件：①关于直线对称；②；③图象沿x轴向左平移个单位可以得到一个偶函数．(1)在这三个条件中任选一个，求；(2)根据（1）所求函数表达式，求在上的值域．5．（2022·福建·莆田一中高一期中）已知函数，其中.函数图象的一个对称中心坐标为.(1)求的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求的最大值以及取得最大值时所有的集合.6．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一期中）已知函数﹒(1)求函数的最小正周期；(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域.7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数为奇函数，对，恒成立，且.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)若的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，求函数在上的值域．题型三：三角函数的单调性问题【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)若，求函数的单调递增区间．【例2】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.【例3】（2022·陕西咸阳·高一期末）已知函数（），且函数的最小正周期为.(1)求的解析式；(2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间.【例4】（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数的最小值为.(1)求函数的最大值；(2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.【例5】（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数的图象关于直线对称.(1)若的最小正周期为，求的解析式.(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．已知函数，______．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间．2．（2022·山东滨州·高二期末）已知函数的最小值为1.(1)求常数的值；(2)当时，求函数的单调递增区间.3．（2022·全国·高一课时练习）已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，当时，的最小值为．(1)求函数的解析式；(2)求函数图象的对称中心及在上的单调减区间．4．（2021·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知函数，其中.(1)求最小正周期；(2)若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，函数的图象关于直线对称，求的值；(2)在第一问的条件下，将的图像向右平移个单位得到函数，求在上的单调递增区间．6．（2022·山东省郯城第一中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数的解析式；(2)把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，在上是增函数，求的取值范围.题型四：五点法作图问题【例1】（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．(1)求函数的解析式，并补全表中数据；(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．【例2】（2022·全国·高一课时练习）某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．0050(1)请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；(2)若，求函数图象的对称中心及对称轴；(3)若，求函数的单调区间．【题型专练】1．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；(3)若，求的取值范围．2．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x001010000(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？题型五：三角函数不等式恒成立问题【例1】（2022·全国·高一课时练习）设函数．(1)求函数的定义域和单调区间;(2)求不等式的解集．【例2】（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象.（i）若，当时，的值域为，求实数m的取值范围；（ii）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围.【题型专练】1．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知函数，.(1)求函数的最小值；(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.(1)求函数的解析式；(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.3．（2022·北京延庆·高一期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间和图像的对称中心；(2)当时，求的值域；(3)求不等式的解集.4．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．(1)求的解析式(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．5．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数，．(1)求函数的最小正周期以及函数在区间上的最大值和最小值；(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求实数的取值范围．题型六：三角函数零点根的个数问题【例1】（2022·陕西西安·高一期末）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度后，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围.【例2】（2022·重庆八中高一期末）函数的一段图象如下图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象.求直线与函数的图象在内所有交点的横坐标之和.【例3】（2022·广东梅州·高一期末）已知函数最小正周期为.(1)求的值：(2)将函数的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数，若在上至少含有4个零点，求b的最小值.【例4】（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．(1)求函数与的解析式；(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．【例5】（2022·全国·高一）已知函数(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，已知关于x的方程在上有两个不同的解.①求实数m的取值范围；②证明：.【例6】（2022·湖北恩施·高一期中）已知函数的最小正周期为．(1)求f（x）的单调增区间；(2)将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在[0，b]（）上至少含有2022个零点，求b的最小值．【例7】已知函数（1）当时，求的单增区间；（2）将函数的图像向右平移个单位后得到函数，若关于的方程在上有解，那么当取某一确定值时，方程所有解的和记为，求所有可能值及相应的取值范围.【例8】（2022·山东潍坊·高二开学考试）已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.【题型专练】1．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数的部分图象如图．(1)求f（x）的表达式；(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．2．（2022·福建福州·高一期末）已知函数为奇函数，且当时，.(1)求f（x）的解析式；(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式：(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数m的取值范围．4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有2个不同实数解，求实数k的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示．(1)求函数的解析式．(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值．(3)设函数在区间上有两个不同的零点，求．6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数.(1)若，，求的对称中心；(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；7．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数．(1)若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；(2)若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围．（参考公式：．）8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于直线对称，且在区间上单调递增；(1)求解析式．(2)若，将函数的图象所有的点向右平移个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；若在上恰有两个零点，求的取值范围．9．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）已知函数．(1)将函数形式化简为的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；(2)求函数的最小值与此时所有的取值；(3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，如果在区间上至少有100个最大值，那么求的取值范围．10．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式：(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．①当时，求函数的值域；②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．题型七：三角函数的应用性问题【例1】（2022·全国·高一课时练习）某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．(1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么?并求出的解析式；(2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物．【例2】（2022·江苏省如皋中学高一期末）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．(1)求的表达式；(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？【例4】（2022·广西桂林·高一期末）某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【例5】（2022·浙江省杭州学军中学高二开学考试）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.【题型专练】1．（2022·江苏苏州·高一期中）某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下：t（时）0246810121416182022249.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象.(1)根据以上数据，求出函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？2．（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径