2024届高考数学解题策略选择题解题策略

2024届高考数学解题策略选择题解题策略

考情解读

1.高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透

各种数学思想和方法，体现以考食“三基”为重点的导向，能否

在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的

基本要求是四个字——准确、迅速.

2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计

算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷

等方面.

解答选择题的基本策略是：

要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一

般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特

殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必

采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择

的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应

仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，

确保准确。

3.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.

直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大

,如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些

题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题

的方法.

1.直接法

有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成

的。这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关

公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合

理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对

号入座”作出相应的选择.从而确定选择支的方法。

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。

例1.若sin，>cos2H则x的取值范围是()

\.{x\2k7v--<x<2k7r+-,ksZ\

44

B.{x\2k7i+—<x<2k7i+—AfcZ|

44t

C.{x|k7r-—<x<k7r+—jkEZ}

44.

D.{x\k7r^—<x<k7v+—,keZ\

44

解：由sir?xAcos?x,得cos'x-sin?x<0,即cos2x<0,

所以:二+女乃<2^<四+左左，kwZ.故选D.

22

另解：数形结合法：由已知得卜inM>|cosx|,

画出y=|sinx|和)，=|cos入|的图象，由图象可知选D.

例2.设mb,c为实数，/(-=&+◎(»+'+”

g(x)=(ax+l)(ax2+bx+1).

记集合S=k|f(%)=0,xeR),T={x|g(x)=0,%eR).

若{S},{7}分别为集合S,7的元素个数，则下列结论不可能

是()

A.后}=1且{7}=0B.后}=1且{7}=1

C.{S}=1且{7}=0口.{S}=1且{7}=0

解:选D

2.特例法

有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答中所

提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进

行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊

形式，再进行判断往往十分简单。

用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特

殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例

有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位

置等.

02〃-2n

例3.如果n是正偶数，则C+C+…+C+C=（）

nnnn

nn-1〃-2w-1

A.2B.2C.2D.5—1）2

02

W：当〃=2时，代入得C+C=2,排除答案A、C；

22

024

当〃=4时，代入得C+C+C=8,排除答案力.

444

故选B.

另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有

02n〃•1

C+C+…+C+C—2

nnnn

故选B.VQ，bcs

而ES例4.设S是整数集Z的非空子集，如果，有，

vx,y,zev\/afb,CET则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非

Qbc6T空子集，M昨Z,且，有；，有

xyzev，则下列结论恒成立的是（）

A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的

B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的

C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D.T,丫中每一个关于乘法都是封闭的

思路分析：本题是一道新定义题，主要考查创新意识，本题较为

抽象，题意难于理解，但若“以退为进”，取一些特殊数集代入检

验，即可解决.

小结：当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，

用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到

正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答

本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法

解答的约占30%左右.

3.筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要

求的错误答案，找到符合题意的正确结论。

可通过筛除一些较易判定的、不合题意的结论，以缩小选

择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选

一''的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.如筛去不

合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。

2

例5.过抛物线y=4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点。

和Q,那么线段PQ的中点的轨迹方程是（）

22

A.y=2x-\B.y=2x-2

22

C.y=-2x+1D.=-2x+2

解:由已知可知轨迹曲线经过点（1,0）,开口向右，

由此排除答案A、C、D,

所以选B;

2

例6.设函数八公=取+历:+c(Q,b,CGR),若x=-l为

函数人幻小的一个极值点，则下列图象不可能为y=/(%)的图

象的是()

思路分析：本题主要考查二次函数的图像与性质，并利用函数

的导数研究函数极值等，旨在考查学生发现问题、分析问题、

解决问题的能力.

解：％=-1为函数/G)。'的一个极值点，则易得a=c.

2

选项48的函数为函数为八幻=。(工+1),则

II

=f(%)ex+/=u(x+1)(%+3)ez

x=-1为函数/("J的一个极值点，满足条件;

b

选项0中，对称轴"=一/且开口向下，

V<0,b>0.也满足条件;

b

X———V-]

选项。中，对称轴2a,且开口向上，

,Q>0,b>2a,不满足条件.

故选项为。

小结：筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中

的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之

矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围

那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、

图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题

中约占40%.

4.验证法(代入法)

通过对试题的观察、分析确定，将各选择支逐个代入题干

中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证

手段，以判断选择支正误的方法。

例7.函数产sin(n/3—2x)+sin2x的最小正周期是()

A.n/2B.7i

C.2兀D.4兀

解:fix+n12)

=sin[7r/3—2(x+?r/2)]+sin(2(x+it/2)]

=一段)，

而/(x+7i)=sin[—2(x+7i)]+sin[2(x+7r)]=«v).

所以应选B.

2

例8.不等式0Wx-QX+QW1的解集是单元素集合，则Q的

值等于()

A.0B.2C.4D.6

思路分析：直接做，运算量大，易出错，故采用带入法.

解：略.

小结：代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题

意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

5.图象法(数形结合法)

在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照

图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

例9,(2知函教

J-x的力科

(x-l)*.x<2

仃两个不同的实般，则交数人的以俏：jJl，X()

A(0.1]B[-1.1)

C(0.1)D(0,1)

思路分析：本题主要考查函数与方程，考查对分段函数的理解以

及数形结合的应用，将方程有两个不同实根转化为两个函数图

象有两个不同的交点的问题.

解：作出函数/lx)的图象，如图，由图可知，

当0<k<1时，函数/(X)与y=%的图象有两个不同的交点，

所以所求实数〃的取值范围是(°，1).

例1().足数y=1［的18'TJW数尸=2Mmr(-2«x44)

的图4所4交上的他坐标之和笛广《)

A.2B.4C.6D.8

解：如图，两个函数都关于点(1,0)成中心对称，两个图象

在［-2,4］上共有8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2,

故所有交点的横坐标之和为8.

严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形

结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用

图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,

否则错误的图象反而会导致错误的选择.

如：

例11.函数)=|x—1|+1的图象与函数)=2的图象交点的个数

为()

A.lB.2C.3D.4

分析：本题如果图象画得不准确，很容易误B,答案为C

小结：数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断

是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可

以用数形结合思想求解的题目约占50%左右.

6、极限法

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限

思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难

度，优化解题过程.

例12/对任意8G(0,K/2)都有()

A.sin(sinO)VcosOVcos(cos0)B.sin(sin〃)>cosO>cos(cos0)

C.sin(cos<9)<cos(sin0<cosi9D.sin(cos0<cos^<cos(sin^)

解：当0—>0时，sin(sin0—>0,cos。一>1,cos(cos^)—>cos1,

故排除A,B.

当〃一*71/2时，cos(sin0—*cosl,cos。-0,故排除C,

因此选D.

小结：用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择

支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。

7.估值法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可

以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当

然自然加强了思维的层次.

例13.已知过球面上4、8、C三点的截面和球心的距离等于

球半径的一半，且则球面面积是（）

<16-8―卜64

A.—兀B.—兀C.47rD.—兀

939

解•・•球的半径R不小于aABc的外接圆半径一=手，

22

则S=4兀RN471r=16而3>5兀，故选D.

球

小结：估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了

时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问

题、解决问题的一种重要的运算方法.

七、总结提炼

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什

么“策略”，"手段”都是无关紧要的.所以人称可以“不择手段”.

但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原

因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法

进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提

供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.

总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都

可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求

简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.

这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度,

为后续解题节省时间.

总结

数学选择题的解题思路

（1）仔细审题，吃透题意

（2）反复析题，去伪存真

（3）抓住关键，全面分析

（4）反复检查，认真核对

面对选择题，我们的口号是：“不择手段，多快好省

友情提醒：小题小做，小题巧做，切忌小题大做。

填空题的解题策略

考情解读

填空题是高考题中客观性题型之一，同选择题一样，填空题

也属小题，具有跨度大，覆盖面广，概念性强，运算量不大，

不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点.可以有目的、

和谐地综合一些问题，同时也可以考查学生对数学概念的理解、

数量问题的计算解决能力和推理论证能力.

解填空题注意以下几点：

⑴填空题虽然题量少，但每年考生的失分率较高.

⑵填空题缺少选择肢的信息，故解答题的求解思路可以原封不

动地移植到填空题上.

⑶填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的

有关策略、方法有时也适合于填空题.

（4）近几年来，高考试卷把填空题当做创新改革的“试验田”，相继

推出了阅读理解型、发散开放型、多项选择型等开放性填空题，

使填空题难度加大，对学生思维能力和分析问题、解决问题的

能力提出了更高要求.

题型一直接法

涉及数学定理、定义、法则、公式的问题，常从题设条件

出发，通过运算或推理，直接求得结论.

例1.定义在R上的函数f(x)满足

f(x)=/l0g2(4"X)U"0),财'(3)的值为

“L1/U-D-/U-2)(x>0)八)

解：/(3)=/(2)-/(1)

=/(I)-/(0)-/(0)4-/(-l)

=/(0)-/(-l)-2f(0)+/(-l)

=-/(0)=-log24=-2,

因此应填-2.

例2.数列｛4｝满足：log2aM=1+log2«z,,若q=10,贝收=

解：因为log2a“+i=1+log2afl,

所以｛10g24｝为等差数列,

所以log2%=噢24+(〃T)xl=k)g2(aiX2"T),

故％=4X2"T,

因为〃3=1。，所以10=qx22,得4=2，

因此4=CLx27=UIx27=320,

X122

因此应填320.

题型二特殊法

当填空题结论唯一或其值为定值时，我们只需把题中的参

变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、

特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替，即可得到结论.

例3.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.若〃、b、c

成等差数列，则cos八卜cosC=__________.

1+cosAcosC

解：令。=3,b=4,c=5,则AA8C为直角三角形，

44

cosA=—,cosC=0,从而麻求值为一.

55

例4.已知SA,SB,SC两两所成角均为60。，则平面SAB与平面SAC

所成的二面角的余弦值为.

解：取SA=SB=SC,将问题置于正四面』£一1一一

体中研究，不难得平面SAB与平面SAC

所成二面角的余弦值为LB

3

题型三图象法

根据题设条件的几何意义，画出辅助图形，借助图形的直

观性，迅速作出判断的方法.

例5.已知双曲线与-==1（〃>0,〃>0）的右焦点为尸，若过点尸

且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此

双曲线离心率的取值范围是.

22

解：双曲线5-二〃>0）的右焦点为F,

a~b~

若过点户且倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2,

a

所以226，

a

离心率e?=二="24,所以e22.

a-a-

答案为2,+8）

例6.若函数/'（工）=々卜-4在［0,+oo）上为增函数，则实数。、加勺

取值范围分别是________.

解：由已知可画出下图,

符合题设，

故。〉OS.b<0

答案为(0,+8)，(-oo,01.

题型四等价转化

从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的和

未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的

和已知的问题来解决.

例7.不等式五的解集为(4,/?),则〃=_____,b=_____

2

解：设6=3则原不等式可转化为〃2T+3<0,

2

所以。>0»且2与>4)是方程力1=0的两根，

由此可得：tz=—»b=36.

8

例8.一个布袋中装有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、

质地完全相同)，现从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球为

2个黄色球和1个白色球的概率.

解：把3个黄色球标记为4、B、C,

3个白色球记为1,2,3,

从6个球中随机摸出3个球的基本事件为：

ABC,A81,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,

BCI,BC2,BC3,812,813,823,C12,C13,C23,123,

共20个.

设事件A=｛摸出3个球为2个黄色球和1个白色球｝,

则事件4包含的基本事件有9个,

所以P(A)高

题型五开放型填空题

(一)多选型填空题

给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命

题或结论.

例9.设函数了(x)=s\x\(cox+(p)((o>0f-—<(p<—),

给出以下四个论断：22

①/'("的图象关于直线上唾对称；

②打工)的图象关于点((,0)对称；

③f(x)的的周期为4

④在［-5,0］上是增函数.

以其中的两个论断为条件，余下的论断为结论，写

出你认为正确的一个命题.

解:由③,〃力的周期为",则。=2,

所以/(x)=sin(2r+(p).

由①f(x)的图象关于直线x噌对称，

贝Ij2x—+G?=2k冗±—(kGZ).

122

>L-—<(p<—,所以p=

223

所以/(x)=sin(2x+/).故②④成立•

答案：①③n②®

(二)探索型填空题

从给定的题设中探究其相应的结论，或从题目的要求中探

究其必须具备的相应条件.

例10.如右图，在正方体中，过顶点A的一个平面，它与正方

体的12条棱所成的角都相等，这个平面可以是(写出你

认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况).

W：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以只

需考虑与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.

正方体是我们较为熟悉的基本图形，连接A%、BC.AC,

则8-AqC是正三棱锥，所以84、BC、8%与平面ACq所成的

角相等.

(三)组合型填空题

给出若干个论断要求考生将其重新组合，使其构成符合题

意的命题.

例11.。、〃是两个不同的平面，/爪〃是平面a及2之外的

两条不同直线，给出四个论断：

(l)m!??；(2)aJ_£；

(3)/7±p；(4)m±p,

以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你

认为正确的一个命题.

解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：

(1)/7?_La,n±a_L/=m±m

(2)w_La,n±0,m_L〃na_L/?.

答案为(2)(3)(4)n⑴或⑴(3)(4)n(2)

(四)新定义型填空题

即定义新情景，给出一定容量的新信息(考生未见过)，要求

考生依据新信息进行解题.

例12.设函数“力的定义域为D若存在非零实数/使得

对于任意xe"(M£。)，有5/(X+/)>/(^),

则称/(x)为M上的/高调函数.现给出下列命题：

①函数f(x)=(g)'为R上的1高调函数；

②函数f(x)=sin2A为R上的〃高调函数；

③如果定义域为(-1，+⑹的函数/'(X)=f为［_1,+8)上

的〃7高调函数，那么实数〃7的取值范围是［2,+8).

其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)

解：①中，/("为减函数，

故不可能是/高调函数；

②中，/(x+p)=/(x),

故②正确；

③中，/(M=Y(xN_i)的图象如图所示,

要使削㈠+⑼”(-1)=1,

有〃222；时，_

X

恒葡(E+2)N/(K),故〃222即可，

③正确.

答案：②③

解答题的解题策略

在高考数学试题中，解答题的题量虽然比不上选择题，但是

其占分的比重最大，足见它在试卷中地位之重要.解答题也就是

通常所说的主观性试题，这种题型内涵丰富，包含的试题模式灵

活多变，其基本构架是：先给出一定的题设(即已知条件)，然后

提出一定的要求（即要达到的目标），再让考生解答，而且“题设”

和“要求”的模式多种多样.考生解答时，应把已知条件作为出发

点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后

达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和过程，

有条理、合逻辑、完整地陈述清楚.

1.新课程高考解答题又有以下新的特点：

⑴从近几年看，解答题的出处较稳定，一般为数列、三角函数

（包括解三角形）、概率、立体几何（与向量整合）、函数与导数及

不等式、解析几何等.

⑵解法灵活多样，入口宽，得部分分易，得满分难，几乎每题

都有坡度，层层设关卡，能较好地区分考生的能力层次.

⑶侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学应用的融合，如

函数与导数、数列结合，向量与解析几何内容的结合等.

（4）运算与推理互相渗透，推理证明与计算紧密结合，运算能力

强弱对解题的成败有很大影响.在考查逻辑推理能力时，常常

与运算能力结合考查，推导与证明问题的结论，往往要通过具

体的运算；在计算题中，也较多地掺进了逻辑推理的成分，边

推理边计算.

⑸注重探究能力和创新能力的考查.探索性试题是考查这种能

力的好素材，因此在试卷中占有重要的作用；同时加强了对应

用性问题的考查.

2.高考数学解答题的基本题型

我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但

总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数、

平面向量型解答题、立体几何型解答题、排列组合、二项式定理

及概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、

数列型解答题.这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知

识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学

的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识.

3.高考数学解答题的答题策略

⑴审题要慢，解答要快.审题是整个解题过程的“基础工程”题目

本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件,

提炼全部线索，形成整体认识.

⑵确保运算准确，立足一次成功.

⑶讲究书写规范，力争既而又全.这就要求考生在面对试题时

不但会而且要对，对而且全，全而规范.

(4)面对难题，讲究策略，争取得分.会做的题目当然要力求做

对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目应：

①缺步解答：②跳步解答.

解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，

或直接利用前面的结论做下面的(2)、(3)问.

总之，对高三学子来说：准确、规范、速度，高考必胜；

刻苦、坚韧、自信，势必成功！

题型一规范解题问题

立体几何的考查，主要有两类新题型，一是在考查对空间

几何体结构认识的前提下，综合性地考查对空间几何体的体积、

表面积的计算，考查空间线而位置关系，角与距离的计算，这类

试题以“图”引入，背景新颖，对考生的空间想象能力有较高要求;

二是在考查立体几何基本问题的前提下，将试题设计为“探索性”

的类型，改变了给出明确结论让考生证明的局面，这类试题由于

结论不明确，对考生的数学素养有较高要求.要想解决好如上所

述的立体几何新型试题，除了牢固掌握好立体几何的基础知识和

基本方法外，还要在空间想象能力、数学思想方法等方面下一番

工夫，只有这样考生才能面对新题型得心应手，将新题型转化为

所熟悉的常规题，以便顺利解决问题.在解答方面，除推理证明,

运用空间向量也是一种重要方法.这类题一定要注意解题规范，

条件充分.

例1.如图，四棱锥S—的底面是正方形，5。，平面488,

SD=AD=cb点七是SO上的点，且OE=〃(Ov及1).

(1)求证：对任意的,都有4C_LBE：

⑵若二面角C—AE—D的大小为60°,求2的值.A'VX

A-----------B

解：方法一：(1)证明：连结80,由底面A8CQ是正方形可得AC_L8D

・/SZ)_L平面ABCD,：.BD是3E在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACJ_8E.

(2)解・・・SQ_L平面ABC。，COu平面A3CO,

：.SD±CD.

又底面ABC。是正方形，・・・CD_L4D

又SDAAD=D,

，COJ_平面SAD.

过点。在平面SAD内作DFA.AE于F,连结CF,

则CF±AEf

故NCFQ是二面角C—AE—D的平面角，即NCFD=60。，

在RlZXADE中，9：AD=chDE=ka,AE=a^T\,

…—ADDEXa

于是,〃=k=而

在RlZSCO/中，由36℃=先=/+]'得，+1普'

即43万+3=32.

由2£（0』］,解得2=乎.

方法二：（1）证明：以。为原点，DA,Dt,次的方向分别作为

A,户z轴的正方向建立如图（2）所示的空间直角坐标系，

则0（0。0）,A30。），B（a,。,0）,C（0,。,0）,E（0,0,一〃）,

At?=(-a,«0),Si=(一一小一筋),

成=（。,0,一〃），或=（0,a,一筋）.

—ch0)-(—a,—a,/xt)=a2—<724-0/^=0,

即对任意的2£(0,1],都有AC_LB£

（2）解：9=（0,«0）为平面ADE的一个法向量.

设平面ACE的一个法向量为〃=（x,），，z）,

则n_LEA.n

In•EA—0»x-AL01

.一即

In*EC=0>v—As=0.

取S-1>Wn-(A,A3).

I75T-nl

.*•cos60°3V2T*+1-2-I・

IQCl•I"IJ2N+1

III长(0.1].解和2手.

拓展提升——开阔思路提炼方法

⑴利用向量证明线面关系，要注意建立坐标系，构造向量.

⑵利用向量研究角.如果两个平面的法向量分别是〃2、〃，则这

两个平面所成的锐二面用或直二面儿的余弦值等于|cos〈〃?，〃〉|,

在立体几何中建立空间直角坐标系求解二面角的大小时，使用

向量的方法可以避免作二面角的平面角的麻烦.

题型二探究性问题

⑴未给出结论的通常称为归纳型问题.解答这类问题思路：

归纳一猜想一证明；

⑵结论不确定的，通常称之为存在型问题.解答思路：

假设一推理一定论；

⑶条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型.

解答思路：结论仁条件.答案往往不唯一；

(4)给定一些对象的某种关系，通过类比得到另一叱对象的关系.

解答思路：透彻理解条件，转换思维；

(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个(或几个)

为结论，通常称为重组型.解答思路：组合条件，逐一验证.

/v26

例2.如图，已知椭圆5+3=1色＞/»0)的离心率为岑，以该椭

圆上的点和椭圆的左、右焦点乃、色为顶点的三角形的周长为

4(^/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双

曲线上异于顶点的任一点，直线PFx和尸6与椭圆的交点分别

为A、8和C、D.

⑴求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线尸尸］、P尸2的斜率分别为心、fe,证明：正攵2=1；

⑶是否存在常数九使得|AB|+|CO|=44卦ICR恒成立？若存在,

求2的值：若不存在，请说明理由.

⑴解：设椭圆的半焦距为C,由题意知：

2»2。+2c=4(6+1),

所以a=2>\/^,c=2.

又片=店+修，因此6=2,

故椭圆的标准方程为5+3=1.

o4

由题意设等轴双曲线的标准方程为标一方=1(〃>0),因为等

轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以"2=2,

因此双曲线的标准方程为?一?=1.

(2)证明：设A(»,yi),Bg券)，尸(xo,yo),

_yo

则“之?&2=

xo~2

因为点P在双曲线x2-)2=4上，所以火?一)©=4,

_yo_yo_____胪

因此kik==1,

2xo+2xo_2x(r-4

即k\ki=\.

(3)解：由于PF\的方程为)，=%(x+2),

将其代入椭圆方程得(2h2+i)f+8俗2工+8玄2-8=(),

j士、1』EZH.-8短8^2—8

由韦达定理得笛+X2=2%2+|，X1X2=*2+]，

所以+%2«ri+x22—4X1X2

8小一8好+]

-4X2Z:i2+l=4^r2Ai2+r

k?+]

同理可得I。|=电2M+].

rilll_L,_!_____i_/2%2+i2H+1)

川|43|十|。「461炉+1+kT^\y

又kik?=l,所以

i1_____1_2ZF+I产+1%+1"+2)3也

丽十面[二砺2十玄2+J—8•

A:I+1_1_+1

故|4用+1CD|=唔4B\-\CD\.

o

因此，存在2=华，使|A8+|C0|=2|A用恒成立.

O

题型三应用性问题

解答应用性问题的思路与方法：

⑴审题：首先要认真仔细地分析题意，分成读懂和深刻理解两个

层次，认清问题的各项已知条件及所要解决的问题，分清题目中

所涉及的量中哪些是变量，哪些是常量及它们间的相互联系，

把“问题情景''译为数学语言，找出问题的主要关系.

⑵建模：把问题的主要关系近似化、形式化，然后建立恰当的

数学模型，将实际问题转化为数学问题.

(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法，

再用学过的数学知识去解决问题，得到正确合理的答案.

(4)检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果

应用于实际，做出解释或预测.

例3.如图，A,8是海面上位于东西方向相距5(3+4)海里的

两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西6()。的D点、有

一艘轮船发出求救信号，位于B