湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题 含解析

2024年十堰市六县市区一中教联体11月联考高二数学试卷考试卷满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】按照复数的除法运算求出复数z的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】..故选：B.2.无论为何值，直线过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点.【详解】由得：，由得∴直线恒过定点.故选：A.3.已知向量，，，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列出方程求解即可.【详解】由，又，则，解得．故选：B．4.直线关于对称的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点关于直线的对称点的基本方法如下：①与连线与直线垂直，即；②中点在直线上，即；③与到直线的距离相等，即；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.5.在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以为基底，则，，所以.因为.所以.所以.故选：D6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．故选：C7.将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（）A.事件与事件是对立事件B.事件与事件是相互独立事件C.事件与事件是互斥事件D.事件包含于事件【答案】D【解析】【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断.【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种．表示事件“没有出现1点”，包含,共25种.表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误．表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种,表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误．由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误．显然事件包含于事件，故D正确．综上所得，正确的只有D．故选：D.8.已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别计算点到四条直线的距离，结合点相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案．【详解】由题意，当到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”A，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；B，，直线为，所以点到直线的距离为，所以点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；C，，直线为，所以点到直线的距离为：，所以点到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；D，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点使成立，不是点的“相关直线”．故选：D．【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选稓的得0分.9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（）A.若圆关于直线对称，则B.点到直线的距离的最大值为C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】先确定直线过定点，圆心，半径，再逐项判断即可.【详解】直线：过定点，圆：，圆心，半径，对选项A：直线过圆心，则，解得，故选项A正确；对选项B：点O到直线l的距离的最大值为，故选项B正确；对选项C：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故选项C错误；对选项D：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，解得，故选项D正确.故选:ABD.10.已知点，动点满足，则下面结论正确的为（）A.点的轨迹方程为 B.点到原点的距离的最大值为5C.面积的最大值为4 D.的最大值为18【答案】ABD【解析】【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.【详解】设动点，则由得：，即，化简得：，即，所以A选项正确；所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；又，因（），所以（），则，所以D选项正确；故选：ABD.11.在边长为2正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A,取的中点，连接，，，确定即为截面即可判断B，由对称性得到进而可判断C,设点关于平面的对称点为，连接，可判断当与平面的交点为时，最小，即可判断D.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与所成角的余弦值为，故A正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，，∴梯形的高为，∴梯形的面积为，故B错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.故选:AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______．【答案】【解析】【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可.【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为，故这个球的表面积是.故答案为：13.某大学进行“羽毛球”､“美术”､“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”､“美术”､“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为.假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可.【详解】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，即，所以该同学一个社团都不能进入的概率为.故答案为：.14.过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点，因,故点在以为直径的圆上，因圆心，半径为，故圆方程为：，又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，于是，点到直线的距离为：，，故的面积为：，不妨设则，且，故，因在上单调递增，故，此时，即时，点时，面积的最大值为.故答案为：.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15已知两圆和．求：（1）取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【小问1详解】由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，则圆心分别为，半径分别为和，当两圆外切时，满足；【小问2详解】当时，有，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长．16.某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和80,90的概率；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，根据百分位数的定义列出方程，求解即得；（2）利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由题意得：，解得，因为，，设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，在80,90的有人，设为.则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：，，设事件“两人得分分别来自和80,90”，则，因此所以两人得分分别来自和80,90的概率为.17.如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点．（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理证结论；（2）构建空间直角坐标系，根据面面角的余弦值求，再由柱体体积公式求体积.【小问1详解】菱形中，则为等边三角形，又O是AC的中点，则，又平面ABC⊥平面，平面平面，平面，平面，又面，则面面.【小问2详解】由（1）知平面，又，O是AC的中点，则，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由，设，则，，，所以，，，设平面法向量，则，令，，得，设平面法向量，则，令，，可得，所以，由，解得，，，三棱柱的体积为.18.如图1，在梯形中，为的中点，与交于点.将沿折起到的位置，得到三棱锥，使得二面角为直二面角（如图2）.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小；（3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案.【小问1详解】证明：在梯形中，因为为的中点，所以，连接，所以四边形为平行四边形，因为，所以为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.【小问2详解】在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，所以，所以在三棱锥中，.因为平面平面，所以即为二面角的平面角，所以，即.如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量为n=x,y,z则，令，得.易知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角的大小为.【小问3详解】假设在线段上存在点，使得平面平面，设，因为，所以，所以，易知.设平面的一个法向量为，则，令，得.设平面的一个