2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省“A9协作体”高二第一学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+y−3=0的倾斜角是(

)A.π6 B.π3 C.2π32.向量a=(x,1,2)，b=(1,−y,8)，若a//bA.x=−14，y=14 B.x=14，y=−4

C.x=13.若点P(1,m)在圆C:x2+y2−2x+2y+1=0A.(−∞,−2) B.[−2,0] C.(0,2) D.(−2,0)4.若直线ax+(a−3)y+3=0与直线x+ay−3=0垂直，则a的值是(

)A.2 B.0 C.0或2 D.2或−25.已知椭圆x24+y29=1的下焦点是F1，上焦点是F2，点PA.2:7 B.1:7 C.1:2 D.3:46.已知平面上两定点A，B，则满足|PA||PB|=k(常数k>0且k≠1)的动点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在△PAB中，AB=4，PA=2PB，则△PAB面积的最大值是(

)A.4 B.83 C.323 7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于AA.255 B.55 8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A、B、C，其中A在C正西60km处，B在C正东100km处，台风中心在C城市西偏南30∘方向200km处，且以每小时40km的速度沿东偏北30∘方向直线移动，距台风中心1034km内的地区必须保持一级警戒，则从A地解除一级警戒到B地进入一级警戒所需时间(单位：小时A.(1,32) B.(32,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项正确的是(

)A.空间向量a=(1,−1,−2)与b=(−2,2,4)垂直

B.已知空间向量a=(1,2,0)，b=(−1,0,3)，则b在a方向上的投影向量的模为55

C.已知向量a=(2,x,4)，b=(−1,2,1)，c=(0,1,1)，若{a,b,c}可作为一组基底，则10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32A.过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为8

B.存在点P，使得PF1的长度为4

C.椭圆上存在4个不同的点P，使得P11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有(

)A.曲线x2+y2=|x|+|y|恰好经过9个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

B.曲线x2+y2=|x|−|y|夹在直线y=2−12和直线y=1−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l:mx+(m+1)y+2=0(m∈R)经过的定点坐标为

．13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是14.若点P1(x1,y1)在椭圆x24+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的顶点C在直线l:x−y+2=0上运动，点A为(0,−2)，点B为(2,0)．(1)求直线AB的方程;(2)△ABC的面积是否为定值?若是，求出该值.若不是，说明理由．16.(本小题15分)在平面直角坐标系xoy中，已知圆C:x2+y(1)若斜率为1的直线l过点B，且与圆C相交，截得的弦长为2，求圆C的半径(2)已知点P在圆C上，且∠APB=90°，若点P存在两个位置，求实数m的取值范围．17.(本小题15分)

如图，AB/​/CD，AD⊥AB，且AB=2CD=2AD=2，平面ABCD⊥平面BCFE，四边形BCFE为正方形．

(1)求证：BF⊥AE．(2)若点P在线段DF上，且点P到平面ACF距离为23，求平面PAC与平面PAB18.(本小题17分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点(0,3)在椭圆上，过F1的直线交椭圆于B、D(1)求椭圆的方程;(2)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1(3)求四边形ABCD的面积的最小值．19.(本小题17分)在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面都能用方程Ax+By+Cz+D=0表示.(其中A，B，C，D∈R且A2+B2+C2≠0)，且空间向量n=(A,B,C)为该平面的一个法向量(1)若平面α3与平面α4互相垂直，求实数m(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(x0,y(3)若四个平面α1，α2，α3，α4围成的四面体的外接球体积为参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.(2,−2)

13.214.4−215.解：(1)由A(0,−2)，B(2,0)得kAB=−2−00−2=1，

由点斜式方程y−(−2)=x−0，化简得x−y−2=0；

(2)△ABC的面积为定值；

由于kAB=1=k1，故AB//l，

又点C在直线l:x−y+2=0上运动，故点C到直线AB16.解：(1)圆C:x2+y2−4x+m=0可化为(x−2)2+y2=4−m，

圆心为(2,0)，半径r=4−m，

直线l的方程为x−y−1=0，圆心到直线距离为d=12．

由弦长公式l=2r2−d2=2r2−12=2，得r=1；

(2)因为17.(1)证明：如图，连接CE，AC，∵AC2=AD2+CD2=2，

∴AC=2，又BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥平面BCFE，而BF⊂平面BCFE，∴AC⊥BF，

而四边形BCFE为正方形，则BF⊥CE，且AC∩CE=C，AC，CE⊂平面ACE，

∴BF⊥平面ACE，

∵AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE．

(2)解：∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，CF⊥BC，CF⊂平面BCFE，

∴CF⊥平面ABCD，又CF⊂平面ACF，

故平面ACF⊥平面ABCD，

从而点D到平面ACF的距离为点D到直线AC的距离，且为22，

又点P在线段DF上，且点P到平面ACF距离为23，故点P为线段DF的三等分点(靠近D点)，

如图，取AB中点M，以C为原点，CD所在直线为x轴，CM所在直线为y轴，CF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(−1,1,0)，D(1,0,0)，F(0,0,2)，P(23,0,23)，

又AB=(−2,0,0)，PA=(13,1,−18.解：(1)当直线BD的斜率为0时，直线AC垂直于x轴，

∴|BD|=2a，|AC|=2b2a，即|BD|+|AC|=2a+2b2a=7，

(0,3)在椭圆上，所以b=3，结合a>b>0

解得：a=2，b=3，所以椭圆方程为x24+y23=1;

(2)所以F1(−1,0)，F2(1,0)，设P(x,y)，则PF1⋅PF2=x2+y2−1=x2+3(1−x24)−1=x24+2，

因为x∈[−2,2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1⋅PF2有最小值2，

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1⋅PF2有最大值3，

所以PF1⋅PF2的取值范围为[2,3]；

(3)(i)当BD19.解：(1)平面α3的法向量n1=(1,1,1)，平面α4的法向量n2=(1,1,m)，

所以n1⋅n2=1×1+1×1+1×m=0，故m=−2．

(2)证明：不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取一点Q(0,0,−DC)，

则向量QP=(x0,y0,z0+DC)