2024-2025学年云南省昆明市寻甸一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明市寻甸一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={1,2}，B={−1,0,1}，则∁U(A∪B)=(

)A.{−2,3} B.{−2,2,3} C.{−2,−1,0,3} D.{−2,−1,0,2,3}2.已知圆C1：x2+y2=1与圆CA.(0,22) B.(22,+∞)3.若两定点A(1,0)，B(4,0)，动点M满足2|MA|=|MB|，则动点M的轨迹围成区域的面积为(

)A.2π B.5π C.3π D.4π4.设点P(x0,0)，若在圆C：x2+(y−2)2=3上存在M，A.±1 B.±2 C.±2 5.直线kx−y+1=0(k∈R)与椭圆x24+y2mA.(1,4] B.[1,4) C.[1,4)∪(4,+∞) D.(4,+∞)6.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1A.6 B.112 C.92 7.设F1，F2分别是离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点A.15 B.25 C.28.直线y=kx与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点(点A在第一象限)，过点A作x轴的垂线，垂足为E，AE的中点为M，设直线A.12 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=2i71−iA.a=1时，z的虚部为2

B.a=1时，|z|=22

C.当复数z为纯虚数时，z−=4i

D.10.已知椭圆C：x216+y212=1，且两个焦点分别为F1，A.C的短轴长为23 B.△PF1F2的周长为12

C.|PF11.若圆C：x2+y2−2x−6y−6=0上恰有三个点到直线l：y=kx−1的距离为2，则A.−4−3133 B.−4−2133三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线2x+y−1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴，则13.法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线(当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点)的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：x214.已知函数f(x)=cos2x−msinx(m>1)，若函数y=f(x)在区间(0,nπ)上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l过直线x+y−1=0和2x−3y+8=0的交点P，且与直线m：4x+y−3=0平行．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与直线m的距离．16.(本小题15分)

已知圆C方程为x2+y2−4x+8y+2m=0．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求与圆C相切于点D(−2,2)的直线方程；

(3)直线l：x+2y−4=0与圆C交于A，B两点，若17.(本小题15分)

已知圆F1：(x+3)2+y2=1，圆F2经过三点A(3,9)，B(12,0)，D(−6,0)．

(1)求圆F2的方程，并判断两圆位置关系；

(2)若动圆P18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA=AB=12PC=2，点F为PD的中点．

(1)已知点G为线段BC的中点，求证：CF//平面PAG；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，求：

(i)直线CD到平面ABF的距离；

(ii)二面角C−AB−F的余弦值．

条件①：PA⊥平面ABCD；

条件②：AD=22；

条件③：平面19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−3,0)，且点(3,12)在椭圆C上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)已知M(−1,0)，N(1,0)，点P为椭圆C上一点．

(i)若点P在第一象限内，NP延长线交y轴于点Q，△ONP与△MPQ的面积之比为1：2，求点P坐标；

(ii)设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B参考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.C

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.BD

11.BC

12.−1

13.x214.{4051,4052}

15.解：(1)直线l过直线x+y−1=0和2x−3y+8=0的交点P，

由x+y−1=02x−3y+8=0，解得x=−1y=2，即点P(−1,2)，

因为直线m的斜率为−4，

所以直线l的方程为y−2=−4(x+1)，整理得4x+y+2=0．

(2)直线l与直线m的距离为|−3−2|16.解：(1)x2+y2−4x+8y+2m=0，可化为(x−2)2+(y+4)2=20−2m，

所以20−2m>0，解得m<10，

故m的取值范围为{m|m<10}；

(2)将点D(−2,2)代入圆C方程得m=−16，

圆C为(x−2)2+(y+4)2=52，圆心坐标C(2,−4)，得直线CD的斜率为−32，

故切线的斜率为23，

切线方程为y−2=23(x+2)，整理得2x−3y+10=0；

(3)由(1)17.解：(1)设圆F2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，

因为圆F2经过三点A(3,9)，B(12,0)，D(−6,0)，

所以90+3D+9E+F=0144+12D+F=036−6D+F=0，

解得D=−6，E=0，F=−72，

则圆F2的方程为x2+y2−6x−72=0，

即(x−3)2+y2=81，

因为圆F1的圆心为F1(−3,0)，半径r=1，圆F2的圆心为F2(3,0)，半径R=9，

所以圆心距|F1F2|=6<8 =R−r，

则两圆内含；

(2)因为圆F1与圆F2内含，

所以动圆P与圆F1外切，与圆F2内切，

18.解：(1)证明：取PA的中点E，连接EF，EG．

因为点F为PD的中点，所以EF/​/AD，EF=12AD．

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以BC/​/AD，BC=AD．

因为点G为线段BC的中点，所以CG=12BC．

所以EF/​/CG，EF=CG．

所以四边形EFCG是平行四边形，所以FC/​/EG．

因为EG⊂平面PAG，FC⊄平面PAG，

所以CF/​/平面PAG．

(2)选择条件①②：连接AC，因为

PA⊥平面ABCD，直线AC⊂平面ABCD，

则PA⊥AC，即∠PAC=π2．

因为PA=2，PC=4，所以AC=23．

因为AD=22，四边形ABCD是平行四边形，

所以AD//BC，且BC=22，

又AB=2，所以AC2=12=AB2+BC2．

所以∠ABC=90°，即AB⊥BC，所以AB⊥AD．

以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，D(0,22,0)，P(0,0,2)，C(2,22,0)，F(0,2,1)．

所以→AB=(2,0,0)，→AF=(0,2,1)，→AC=(2,22,0)，→AD=(0,22,0)．

设平面ABF的法向量为n=(x0,y0,z0)，则n⊥AB,n⊥AF，

所以n⋅AB=0n⋅AF=0，即2x0=02y0+z0=0，

解得x0=0，令y0=2，得z0=−2，所以n=(0,2,2)；

(ⅰ)因为CD/​/AB，CD⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以CD/​/平面ABF，

则直线CD到平面ABF的距离即为点D到平面ABF的距离，

则d=n⋅AD|n|=2×(22)6=263．

(ⅱ)因为m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，

所以cos〈n,m〉=n⋅m|n||m|=−26×1=−63，

由图可知，二面角C−AB−F是锐角，

所以二面角C−AB−F的余弦值为63；

选择条件①③：连接AC，因为

PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

19.(Ⅰ)解：由题意知，c=33a2+14b2=1c2=a2−b2，

解得a2=4，b2=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)(i)解：由题意知，直线NP的斜率一定存在，设其方程为y=k(x−1)