2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x−3)(x+2)<0}，B={x∈N|−1≤x≤5}，则A∩B=(

)A.[−1,3) B.{−1,0,1,2} C.(−2,5] D.{0,1,2}2.若复数z满足|z+i|=1，则复数z在复平面内的点的轨迹为(

)A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线3.抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为(

)A.2 B.1 C.12 D.4.已知圆M经过P(1,1)，Q(2,−2)两点，且圆心M在直线l：x−y+1=0，则圆M的标准方程是(

)A.(x−2)2+(y−3)2=5 B.(x−35.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)之间的关系式为P=P0e−λt(t≥0)，其中P0为初始污染物含量，P0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4ℎ过滤掉了80%的污染物A.4ℎ B.6ℎ C.8ℎ D.12ℎ6.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x+4)2+(y−1)2=r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线A.(3,7) B.[3,7] C.(3,+∞) D.[3,+∞)7.双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作斜率为正且与C的某条渐近线垂直的直线A.32 B.132 C.8.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱长为2，AC⊥BC，AC=BC=1，点D在上底面A1B1A.[1,62]B.[98二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sinxcosx−2sin2x，给出下列四个选项，正确的有A.函数f(x)的最小正周期是π

B.函数f(x)在区间[π8,5π8]上是减函数

C.函数f(x)的图象关于点(−π8,0)对称

D.10.已知点A，B在圆O：x2+y2=4上，点P在直线l：A.直线l与圆O相离

B.当|AB|=23时，|PA+PB|的最小值是25−1

C.当PA、PB为圆O的两条切线时，(OA+OB)⋅11.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为x2+y2=a2+bA.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b

B.若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为x23+y2=1

C.若l上任意一点Q都满足QA⋅QB>0，则b>1

D.若b=1，椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的三个顶点A(−6,3)，B(2,5)，C(7,−4)，则边AB的中线所在直线的一般式为______．13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)为偶函数.当0<x<2时，f(x)=log2(x+1)，则f(101)=14.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年−325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下问题：

(1)椭圆C的离心率为______；

(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，F2在l上的射影H在圆四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,1)，[1,2)，…，[8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a=b．

(1)求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；

(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a−b=2，sin(A−B)=sinA+sinB2．

(1)求c；

(2)若△ABC的内切圆在AB上的切点为D，求AD17.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，直线PN，QN相交于点N，且它们的斜率之积是−12．

(1)求动点N的轨迹方程；

(2)若点N的轨迹与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为M.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)求二面角F−AE−D的正弦值；

(3)设点G在PB上，且PGPB=19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，利用公式x′=ax+byy′=cx+dy①(其中a，b，c，d为常数)，将点P(x,y)变换为点P′(x′,y′)的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．

(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)绕原点O按逆时针旋转α角得到点P′(x′,y′)(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A；

(2)在平面直角坐标系xOy中，求双曲线xy=1绕原点O按逆时针旋转π4(到原点距离不变)得到的双曲线方程C；

(3)已知由(2)得到的双曲线C，上顶点为D，直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点(B在第一象限)，与x轴交于点T(6

参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.C

6.B

7.B

8.B

9.AB

10.ACD

11.BD

12.8x+9y−20=0

13.−1

14.12

x15.解：(1)由题意得：0.4a=b0.04+0.08+a+0.2+0.26+a+b+0.04+0.02=1，

解得a=0.15，b=0.06．

由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：

0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．

(2)由频率分布直方图得：

全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1−0.04−0.08=0.88，

∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：

400000×(1−0.04−0.08)=352000．

(3)∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

∴5≤x<6，

由0.15×(x−5)=0.85−0.73，解得：x=5.8，

因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．16.解：(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知a−b=2，sin(A−B)=sinA+sinB2，

由sin(A−B)=sinA+sinB2，则2sinAcosB−2cosAsinB=sinA+sinB，

整理得：sinA(2cosB−1)=sinB(1+2cosA)，

则角化边可得：a(2×a2+c2−b22ac−1)=b(1+2×b2+c2−a22bc)，

整理可得：c=2(a−b)，

又a−b=2，因此可得c=4；

(2)由(1)知c=4，a−b=2，

设△ABC的内切圆在AC，BC上的切点为M17.解：(1)由题，设N(x,y)，因为直线PN，QN的斜率之积是−12，

所以yx+2×yx−2=−12，

化简得：x22+y2=1(x≠±2)，

即动点N的轨迹方程为：x22+y2=1(x≠±2)；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为线段AB的中点为M，

所以M(x1+x22,y118.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

因为AD⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，

又因为PA=AD=CD=2，E为PD的中点，所以PD⊥AE，

因为CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．

(2)过点A作AD的垂线交BC于点M，

因为PA⊥平面ABCD，且AM，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AM，PA⊥AD，

故以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

因为E为PD的中点，则E(0,1,1)，

所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,−2),AP=(0,0,2)，

又PFPC=13，所以PF=13PC=(23,23,−23)，

故AF=AP+PF=(23,23,43)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥AE,n⊥AF，

所以n⋅AE=0n⋅AF=0，即y+z=023x+23y+43z=0，

令z=1，则y=−1，x=−1，所以n19.解：(1)设OP=OP′=r，∠POx=θ，则x=rcosθ，y=rsinθ，∠P′Ox=θ+α，

故x′=rcos(θ+α)=rcosθcosα−rsinθsinα=xcosα−ysinα，

y′=rsin(θ+α)=rsinθcosα+rcosθsinα=xsinα+ycosα，

所以坐标变换公式为x′=xcosα−ysinαy′=xsinα+ycosα，

该变换所对应的二阶矩阵为A=cosα−sinαsinαcosα；

(2)设曲线xy=1上任意一点(x,y)在旋转角是π4的旋转变换下