2024-2025学年高三数学月考815

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024-2025学年高三数学月考815考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：100分钟；命题人：WNNwang05学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为（）A.B.C.D.2、设集合A={x|x2-x-6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|-3，x∈A}，则A∩B等于（）A.{x|0＜x＜3}B.{x|-1＜x＜0}C.{x|-2＜x＜0}D.{x|-3＜x＜3}3、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：

①函数f（x）一定是周期函数；

②函数f（x）在区间[-6，-4]上为增函数；

③直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；

④函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点．

其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.44、已知直线l1：x+y-1=0．那么直线l1与l2的夹角为（）A.60°B.120°C.30°D.150°5、已知过函数f

（x）=x2+bx上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0，数列{}的前n项和为Sn（n∈N），则=（）

A.1

B.

C.0

D.不存在

6、双曲线的左右焦点为,是双曲线右支上一点，满足条件,直线与圆相切，则双曲线的离心率为（）（A）

（B）

（C）

（D）

7、已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（）A.120°B.60°C.30°D.150°8、设a>b>0

，e

为自然对数的底数，若abA.abB.abC.abD.ab评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、若x＞，则的最小值为

；此时x=

．10、已知设-=2，则+的值为

．11、已知复数x2-6x+5+（x-2）i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为

．12、已知等差数列{an}（n∈N*）的首项a1＞0，设Sn为{an}的前n项和，且S4=S11，则当Sn取得最大值时n的值为

．13、从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为

．

14、下列命题中，正确的是

（1）平面向量与的夹角为，，，则（2）已知，其中θ∈，则（3）是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心

评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)15、判断集合A是否为集合B的子集，若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．

；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．

；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．

；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．

．16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（

1，5

）

．（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集，若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．

；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．

；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．

；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．

．18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．

（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（

1，5

）

．（判断对错）20、空集没有子集．

．21、任一集合必有两个或两个以上子集．

．22、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数

．评卷人得分四、简答题(共1题，共8分)23、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。

1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。

评卷人得分五、其他(共4题，共8分)24、请仔细阅读以下材料：

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．

求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．

证明

因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．

又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，

于是有．

①

同理有．

②

由①+②得．

故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．

请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：

（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．25、已知函数f（x）=，解不等式f（x）＜1．26、已知函数f（x）=|x-a|

（1）若不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，求a，b的值

（2）若不等式f（x+a+2）+f（x）≤4的解集非空，求实数a的取值范围．27、已知f（x）=，则不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是

．评卷人得分六、证明题(共4题，共36分)28、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E、F分别是PA、BD上的点且E、F分别是PA、BD的中点．求证：EF∥平面PBC．29、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{cn}是“M类数列”．

（1）若an=2n，bn=3.2n，n∈N*，判断数列{an}，{bn}是否为“M类数列”，并说明理由；

（2）若数列{an}是“M类数列”，则数列{an+an+1}、{an•an+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；

（3）若数列{an}满足：a1=1，an+an+1=3.2n（n∈N*），设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的表达式，并判断{an}是否是“M类数列”．30、如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，且垂直于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点，求证：平面ACE⊥平面PCD．31、已知函数f（x）=，x∈R．

（Ⅰ）证明：若x≠2，则有|f（x）-f（2）|＜|x-2|；

（Ⅱ）若数列{an}满足f（an）=2an+1-an，并且a1=1，证明1≤an≤3．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率等于面积之比，根据题意算出试验包含的总面积和符合条件的面积，两者求比值，得到要求的概率．所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC．要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC的边上或内部，所构成的区域为△EFG区域，最后得到试验发生的所有事件对应的面积，求比值得到结果．【解析】【解答】解：设事件M={硬币落下后与等边△ABC的网格线没有公共点}．

要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC的边上或内部，

故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC．

当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置．如图，

所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG区域，

因此事件M所构成的区域为△EFG区域．

经计算得△EFG的边长为2．

∴P（M）===．

故选：B．2、C【分析】【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解析】【解答】解：∵A={x|x2-x-6＜0，x∈R}={x|-2＜x＜3}=（-2，3），

B={y|y=|x|-3，x∈A}=[-3，0），

则A∩B=（-2，0），

故选：C．3、C【分析】【分析】①，令x=-2，易求f（-2）=0，利用f（x）为偶函数可知f（2）=0，于是可得f（x+4）=f（x），可判断①；

②，依题意易知函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，可判断②；

③，利用偶函数f（x）是周期为4的函数的性质可判断③；

④，利用函数的单调性质及周期性可判断④．【解析】【解答】解：对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，

∴令x=-2，则f（2）=f（-2）+f（2），

∴f（-2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），

∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；

对于②，∵x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，

∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，又其周期为4，

∴函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，故②错误；

对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，

∴直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；

对于④，∵f（-2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，

∴f（-6）=f（-2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[-6，-4]，[-2，0]，[2，4]上均为减函数；

在区间[-4，-2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，

∴函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．

综上所述，正确命题的个数是3个，

故选：C．4、C【分析】【分析】求出l1与l2的斜率，即可得到它们的倾斜角，根据两条直线的夹角的定义求出直线l1与l2的夹角．【解析】【解答】解：由直线l1：x+y-1=0，可得直线直线l1的斜率等于0，倾斜角等于0°，

直线l2的斜率为-，倾斜角为120°，故直线l1与l2的夹角为60°，

故选A．5、C【分析】

由题意可得

点A（1，f（1））在切线为3x-y-1=0上

∴点A的坐标为（1，2）

又∵点A在函数f

（x）=x2+bx上

∴b=1

∴f（x）=x2+x

∴

∴

=

=

故选C．

【解析】【答案】由过函数f

（x）=x2+bx上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0可得f（x）=x2+x，可得所以，所以．

6、D【分析】试题分析：根据题意画出图像，取得中点记为点，连接，设直线与圆的切点为，连接,在中，点分别是的中点，所以,又因为在中，点为的中点，所以,所以在中，，所以，根据双曲线的定义知：即：解得：两边平方得：再结合化简整理，解得，所以答案为D.考点：1.直线和圆的位置关系；2.三角形的中位线；3.双曲线的定义.

【解析】【答案】D7、C【分析】【分析】利用面积向量的数量积，直接求解直线l与平面α所成的角的正弦值即可得出结果．【解析】【解答】解：直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，

直线l与平面α所成的角的正弦值=|cos＜，＞|===．

直线l与平面α所成的角为：30°．

故选：C．8、C【分析】解：由a>b>0

，e

为自然对数的底数，设a=4

，b=2

，

则ab=ba

，即42=24

，

故A，B

，D

均不正确，【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【分析】由题意可得t=2x-3＞0，换元可得原式=2t++1，由基本不等式可得．【解析】【解答】解：∵x＞，∴t=2x-3＞0，∴x=，

∴=

==2t++1≥2+1=9

当且仅当2t=即t=2即x=时取等号，

故答案为：9；．10、略

【分析】【分析】利用“有理化因式”即可得出．【解析】【解答】解：∵-=2，

∴=2，

化为+=5．

故答案为：5．11、略

【分析】【分析】利用复数的点所在象限，推出不等式，求解即可．【解析】【解答】解：复数x2-6x+5+（x-2）i在复平面内对应的点在第三象限，

可得，解得x∈（1，2）．

故答案为：（1，2）．12、略

【分析】【分析】由S4=S11，得S11-S4=a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=7a8=0，从而a8=0，a7＞0，由此得到当n=7或n=9时Sn取得最大值．【解析】【解答】解：∵S4=S11，

∴S11-S4=a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=7a8=0，

∴a8=0，

∵a1＞0，

∴数列{an}为递减数列，

∴a7＞0，

∴当n=7或n=8时Sn取得最大值．

故答案为：7或8．13、略

【分析】试题分析：从9个数中任取两个不同的数为36个，符合条件的有(1，3)，(2，6)，(3，9)三个，故概率为考点：古典概型.

【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】试题分析：对于（1）平面向量与的夹角为，，，则结合成立。对于（2）根据向量的数量积为零说明是垂直关系，因此成立。对于（3）由于是所在平面上一定点，动点P满足：，，说明点P在AB,AC的单位向量构成的平行四边形的对角线上，即为角平分线，因此过内心，成立。故答案为①②③考点：向量的运用【解析】【答案】①②③三、判断题(共8题，共16分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1，3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A，而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅，∴A不是B的子集；

（4）A，B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4，其中a＞0，a≠1，

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1，

∴f（x）=1+4=5，

∴点P的坐标为（1，5），

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1，3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A，而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅，∴A不是B的子集；

（4）A，B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，

故函数y=sinx不是奇函数，

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4，其中a＞0，a≠1，

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1，

∴f（x）=1+4=5，

∴点P的坐标为（1，5），

故答案为：√20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，

即空集是其本身的子集，则原命题错误，

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素，∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．22、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时，f（x）=（2k+1）x，

定义域为R关于原点对称，

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x），

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、简答题(共1题，共8分)23、略

【分析】

1.、是异面直线，

（1分）

法一（反证法）假设、共面为．

,,

,,．

,又

．

这与为梯形矛盾．故假设不成立．

即、是异面直线．

（5分）

法二：在取一点M，使,又,

是平行四边形．

，

则确定平面,

与是异面直线．

2.法一:延长，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，

设

则△NDE中，，

，平面平面,

平面．

过E作于H，连结AH，

则．

是二面角的平面角，

则．

（8分）

,,

,

此时在△EFC中，

．

（10分）

又平面,

是直线与平面所成的角,

．

（12分）

即当直线与平面所成角为时，

二面角的大小为。

法二：，面面

平面．

又．

故可以以E为原点，为x轴，为轴，

为Z轴建立空间直角坐标系，

可求设．

则，，

得平面的法向量,

则有，

可取．

平面的法向量

．

．（8分）

此时，．

设与平面所成角为，

则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）

【解析】略

【解析】【答案】五、其他(共4题，共8分)24、略

【分析】【分析】（1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；

（2）利用（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．【解析】【解答】解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．

原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，

下面证明原命题的逆否命题为真命题：

因为a，b∈R+，由ab≤1，得：，

又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数

所以…（1）

同理有：…（2）

由（1）+（2）得：

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题．

（2）由（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，

①当2a＞1时，即时，不等式的解集为：（log2aa，+∞）；

②当0＜2a＜1时，即时，不等式的解集为：（-∞，log2aa）；

③当2a=1时，即时，不等式的解集为：R．25、略

【分析】【分析】利用分段函数，分别建立不等式，即可求得不等式的解集．【解析】【解答】解：当x≤0时，由x2+x+1＜1得x2+x＜0，

∴-1＜x＜0；

当x＞0时，由-x2+x+1＜1得-x2+x＜0，

∴x＞1，

∴不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．26、略

【分析】【分析】（1）f（x）≤b可化为|x-a|≤b，可得不等式的解集，利用不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，建立方程组，可求a，b的值；

（2）不等式f（x+a+2）+f（x）≤4等价于不等式|x+2|+|x-a|≤4，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．【解析】【解答】解：（1）f（x）≤b可化为|x-a|≤b，

∴a-b≤x≤a+b，

∵不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，

∴，

∴a=3，b=2；

（2）不等式f（x+a+2）+f（x）≤4等价于不等式|x+2|+|x-a|≤4，

由绝对值的意义可得，|x+2|+|x-a|表示数轴上的x对应点与-2，a的距离的和，其最小值为|2+a|，

∴|2+a|≤4，

∴-6≤a≤2．27、（-∞，1]【分析】【分析】由题意，可按x+1≥1与x+1＜1分为两类，分别求解不等式，然后再将所得的解集求并，即可得到不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集【解析】【解答】解：由题意f（x）=，

∴（x+1）f（x+1）+x=

当x≥0，x+1≥1，此时有f（x+1）=1，不等式（x+1）f（x+1）+x≤3变为2x+1≤3解得x≤1，故有0≤x≤1

当x＜0，x+1＜1，此时有f（x+1）=-1，不等式（x+1）f（x+1）+x≤3变为-1≤3恒成立，故x＜0

综上，不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是（-∞，0）∪[0，1]即（-∞，1]

故答案为（-∞，1]六、证明题(共4题，共36分)28、略

【分析】【分析】由三角形中位线定理得EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．【解析】【解答】证明：∵点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，

E、F分别是PA、BD上的点且E、F分别是PA、BD的中点，

∴AC∩BD=F，∴EF∥PC，

∵EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC．29、略

【分析】【分析】（1）运用M类数列定义判断，

（2）{an}是“M类数列”，得出an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，求解an+1+an+2，an+1an+2的式子，结合定义判断即可

（3）整体运用an+an+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，Sn=3（2+23+…+2n-1）=2n+1-2，n为奇数时，Sn=1+3（22+24+…+2n-1）=2n+1-3，化简即可得出Sn，再运用反证法证明即可．【解析】【解答】解：（1）因为an+1=an+2，p=1，q=2是“M类数列”，

bn+1=2bn，p=2，q=0是“M类数列”．

（2）因为{an}是“M类数列”，所以an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，

所以an+1+an+2=p（an+1+an+2）+2q，因此，{an+an+1}是“M类数列”．

因为{an}是“M类数列”，所以an+1=pan+q，an+2=pan+1+q，

所以an+1an+2=p2（anan+1）+pq（an+an+1）+q2，

当q=0时，是“M类数列”；

当q≠0时，不是“M类数列”；

（3）当n为偶数时，Sn=3（2+23+…+2n-1）=2n+1-